книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

Из этой формулы следует, что при действительной функции 5 (ш) спектральная плотность дискретного процесса S*(z) тоже действи­ тельная функция при z — eiaT, т. е. когда z принимает значения на единичной окружности.

Этот же факт следует из физических соображений, ибо спек­ тральная плотность дискретного процесса с точностью до множителя Т представляет собой среднюю энергию, выделяемую случайным про­ цессом на частоте со за единицу времени в единичной полосе частот. И наконец, это ясно просто из того, что спектральная функция представляет преобразование Фурье от вещественной, четной функции корреляции R(iT).

Отсюда следует, что спектральная плотность вещественного дис­

нений. При этом получаются так называемые возвратные уравнения. Характерной особенностью этих уравнений является то, что если

учесть, что на единичной окружности справедливо равенство \/z = z. где z — величина, комплексно-сопряженная г, то спектральную плот­ ность можно представить в виде квадрата абсолютного значения некоторой функции г, все нули и полюсы которой лежат внутри единичного круга.

только комплексно-сопряженные в силу вещественности коэффи­

Г Л А В А XIII

СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

1.Введение

Впредыдущей главе были рассмотрены основные вопросы ана­ лиза дискретных систем управления. При этом считались известными передаточные функции системы и требовалось по известным харак­ теристикам входного сигнала определить статистические характери­ стики величины на выходе системы. Однако для дискретных систем, так же как и для непрерывных систем, существенный интерес пред­ ставляет и обратная задача, заключающаяся в том, чтобы, зная характеристики управляющего и возмущающего воздействий (или полезного сигнала и помехи), найти передаточную функцию дискрет­ ной системы таким образом, чтобы обеспечить наивысшую в приня­ том смысле точность воспроизведения заданного закона преобразования управляющего воздействия. Рассмотрению этой задачи и посвящена настоящая глава.

Методы и результаты, излагаемые ниже, представляют собой обобщение на дискретные системы методов и результатов, изложен­ ных ранее применительно к непрерывным системам.

Впервых параграфах излагается метод синтеза дискретных систем на основе критерия минимума среднеквадратической ошибки.

Затем рассматриваются методы определения оптимальной передаточ­ ной функции дискретных систем с конечной, памятью (конечное время наблюдения), когда управляющее, воздействие, помимо стационарной

случайной составляющей, содержит составляющую, заданную своим аналитическим выражением.

И наконец, в последних параграфах выводятся условия, которым должна удовлетворять импульсная переходная функция дискретной системы, обеспечивающая минимум суммы квадратов случайной и динамической ошибок.

дискретной системы наилучшим образом «упреждала» входной сигнал

Если г -преобразование первой последовательности обозначить Ж*(д), то для второй 2-преобразование будет zATM(z).

Оператор Я* (г), равный отношению 2-преобразования Я* (2) же­

лаемого выходного сигнала h(t) к 2-преобразованию входного сигнала, назовем преобразующим оператором,

желаемую выходную величину. Удобной мерой точности работы дискретной системы является среднеквадратическая ошибка е2.

3] УСЛОВИЯ МИНИМУМА СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ 57 Г

входного сигналов и Rh(iT) — функция корреляции желаемого выход­ ного сигнала.

Задача состоит в том, чтобы, зная корреляционные функции ^ (^ Г ) , /?Л?(/,Г), найти импульсную переходную функцию k(ltT), обеспечи­ вающую минимум среднего значения квадрата ошибки е2.

3. Условия минимума среднеквадратической ошибки

Найдем соотношение, которому должна удовлетворять импульсная переходная функция оптимальной системы при минимальном значе­

нии S2.

Из (13.1) видно, что с точностью до постоянной величины Rh(0) величина е2 определяется выражением

СО

I = - 2 T % k ( i T ) R ^ (/Г) + 1=0

Известно, что в случае непрерывных систем оптимальная импульс­ ная функция k (t) должна удовлетворять интегральному уравнению

Таким образом, доказано, что импульсная переходная функция оптимальной импульсной системы удовлетворяет соотношению

При этом среднеквадратическая ошибка принимает свое минимальное значение, которое равно

1

Так же как для непрерывных систем, в случае дискретных систем имеет смысл говорить об условии физической осуществимости. Под физически осуществимой дискретной системой понимается система с импульсной переходной функцией, равной нулю для отрицательных значений времени. Физически это значит, что в формировании выход­ ного сигнала в данный момент участвуют только предыдущие значе­ ния входного сигнала; влияние’последующих значений входного сиг­ нала равно нулю. Для физически осуществимой системы передаточная и импульсная переходная функции связаны соотношением

Передаточная функция физически осуществимой системы имеет полюсы только внутри единичного круга. Это является необходимым и достаточным условием физической осуществимости, так как в этом и только в этом случае передаточная функция Ф*(г) может быть разложена в односторонний ряд Лорана по отрицательным степеням z. Путь решения уравнения (13.3) — такой же, как в случае непрерыв­ ных систем.

4. Формула для оптимальной передаточной функции

Введем вспомогательные функции ^(/гГ) и ф2(/гГ), удовлетво­ ряющие условиям

и имеющие преобразования Фурье

W - i k o T ) * - ' /=о

о

^Гз (2 )= 2 Фг С1'7’) z ~l> где 2 = е-'шТ. |'=- оо

Подставляя (13.6) в (13.3), получим:

аргументов, между тем как в формуле (13.3) R^(iT) может не

4] ФОРМУЛА ДЛЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ 575

или

в* (2)= 2ра7’)г-'=Ф*(г)'й(2).

/ = 0

Следовательно,

Выясним смысл входящих в эту формулу выражений. Умножим обе части равенства (13.6) на z~l и просуммируем от — сю до -(-сю. В результате получим:

s ; ( * ) = ф ; cow ; со,

причем, так как W*(2) раскладывается в односторонний ряд Лорана по отрицательным степеням г, а ^ ( . г ) — по положительным сте­ пеням г, то все полюсы 43"* (г) лежат внутри единичного круга на плоскости г, а все полюсы 4^(2)— вне единичного круга.

Таким образом, задача нахождения функций 4TJ(.z) и Ч^(г) состоит