книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

\г \ = \

НМ

Из последних двух равенств следует, что

${lT) = ty{lT + AT).

Таким образом, для подсчета среднеквадратической ошибки опти­ мальной упреждающей системы необходимо:

2) разложив W*(z) в ряд Лорана по степеням г, взять сумму

37 Зак. 1083. В. В. Солодовников

их взаимная функция корреляции равна нулю. Относительно непре­ рывного полезного сигнала m(t) предположим, что его первая про­

времени и меняется скачком в начале каждого интервала, причем конечные точки интервалов подчинены распределению вероятности Пуассона.

Тогда спектральная плотность первой производной т (t) (см. § 9 гл. III) имеет вид

2ц

5 • (ш): ! + И3

т v '

где |а— величина, обратная среднему интервалу постоянства про­

изводной, и а- — квадрат среднеквадратического значения производной. Спектральная же плотность самого сигнала т (t) равна

Преобразование Лапласа, соответствующее этому выражению,

Предположим, что в рассматриваемом случае на выход импульсной следящей системы поступает полезный сигнал того же вида, но только в дискретные моменты времени. Такой полезный входной сигнал может иметь место в импульсных следящих системах радиолока­ ционных станций. Найдем спектральную плотность S*m(z) как д-пре-

образовапие, соответствующее выражению (13.19). Пользуясь табли­ цами приложения V, получим:

(13.20)

0

37*

A 0z (z — b ) ( z —

Sm M

„ « . - « с

Окончательно получим следующее выражение для оптимальной пере­ даточной функции:

Рассмотрим теперь реакцию на единичное ступенчатое воздействие на входе. Заметим, что, зная эту реакцию и не зная передаточной функции, можно .настроить следящую систему на этот переходный процесс и тем самым обеспечить минимум среднеквадратической ошибки системы.

г-преобразование для оптимального переходного процесса со­ гласно (12.51) и (13.24) определяется формулой

РУ * ( N + M ) - { d N + M ) z

(13.25)

б* (г — с) (г — с) (г — 1)

Найдем установившееся значение величины на выходе при еди­

с к а ч к е на в х о д е р а вн а н у л ю и, с л е д о в а т е л ь н о , с и с те м а о б л а д а е т

а с т а т и з м о м не н и ж е п е р в о г о п о р я д к а .

6. Сравнение оптимальных дискретной и непрерывной систем

И з ф о р м у л ы (1 3 .2 4 ) к а к ч а с т н ы й с л у ч а й п р и м а л о м Т п о л у ­

ч а е т с я о п т и м а л ь н а я п е р е д а то ч н а я ф у н к ц и я д л я н е п р е р ы в н о й с л е д ящ е й с и с т е м ы *) п р и н е п р е р ы в н о м п о л е зн о м в х о д н о м си гн а л е со с п е к т р а л ь ­ н о й п л о т н о с т ь ю

б р а т ь не в ы р а ж е н и е (1 3 .2 1 ), а в ы р а ж е н и е 5 * ( 2) = 7 \ S ^ (z ) - | - e 2, ч т о

в п о л н е п о н я т н о с т о ч к и з р е н и я с п е к т р о в д и с к р е т н ы х с и г н а л о в . В это м

с л у ч а е н е т р у д н о у б е д и т ь с я , ч т о к о э ф ф и ц и е н т ы D 0, D x за д а ю т с я

Ч т о б ы у б е д и т ь с я в э то м , н е о б х о д и м о в в ы р а ж е н и и

584 СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. XIII

Ф о р м у л а (1 3 .2 6 ) п е р е п и ш е т с я д л я э т о г о с л у ч а я с л е д у ю щ и м о б р а зо м :

на вх о д е н е п р е р ы в н о й с л е д я щ е й с и с т е м ы д е й с т в у е т н е п р е р ы в н ы й

б у д е т р авн а

0 “)3 + У“ У Л ^ + 2 ^ + ^ -

Е с л и с и г н а л о т ( 0 + е2 р а с с м а т р и в а т ь к а к д и с к р е т н ы й с п е р и о д о м Т,

то е г о с п е к т р а л ь н а я п л о т н о с т ь з а п и ш е т с я в виде

п о р я д к а м а л о с ти о т н о с и т е л ь н о Т.

В с и л у э т о г о в е л и ч и н ы р {, p lt — p lt — р { я в л я ю т с я к о р н я м и

у р а в н е н и я

В е л и ч и н ы р {. P i б у д у т к о р н я м и у р а в н е н и я

P 2+ P ] f р.2 + 2 (а + i f = 0.

ч а с т н ы й с л у ч а й из ф о р м у л ы (1 3 .2 6 ) п р и м ал ом 7 1).

В ы р а ж е н и е (1 3 .3 2 ) с у щ е с т в е н н о о т л и ч а е т с я о т о п т и м а л ьн о й п е р е д а ­ то ч н о й ф у н к ц и и , о п р е д е л я е м о й ф о р м у л о й (1 3 .2 6 ). Э т о о т ч е т л и в о п о ­

к а з ы в а е т , ч т о за д ача н а х о ж д е н и я о п т и м а л ь н о й п е р е д а то ч н о й ф у н к ц и и

д и с к р е т н о й с и с т е м ы 'д о л ж н а р е ш а т ь с я с а м о с т о я т е л ь н о и не м о ж е т

б ы т ь свед ен а к с о о т в е т с т в у ю щ е й за д аче д л я н е п р е р ы в н ы х с и с те м .

с к р е т н о й с и с т е м ы л и ш ь п р и д о с т а т о ч н о м ал ом 7 . .

ед и н и чн ом с т у п е н ч а т о м в о з д е й с т в и и на вх о д е д л я т р е х п е р и о д о в д и с к р е т н о с т и Т = 0 ,2 ; 0 ,0 6 ; 0 ,0 4 . Р а с ч е т п р о и з в о д и л с я в с о о т в е т ­

в д и с к р е т н ы х т о ч к а х . К а к у ж е у п о м и н а л о с ь , с д о с т а т о ч н о й д л я

п р а к т и к и т о ч н о с т ь ю ч а с т о м о ж н о с ч и т а т ь , ч т о н е п р е р ы в н ы й n e p e j

х о д н ы й п р о ц е с с в д и с к р е т н о й с и с те м е с о в п а д а е т с к р и в о й , п р о в е ­ д ен н о й ч е р е з д и с к р е т н ы е т о ч к и .

П р и д а н н ы х п а р а м е т р а х в х о д н о г о с и гн а л а ( а 2, р., е2) д л я зн а че н и й

]) См. работу, цитированную на стр. 582.