Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 6647 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

466	ТОЧНОСТЬ	ЛИНЕЙНЫХ			СИСТЕМ С		ПЕРЕМЕННЫМИ		ПАРАМЕТРАМИ [ГЛ. X
при	t > т. Начальные			условия		согласно (10.29)			имеют вид
	dt	k\(t,	т)	/ = т	- 3 .	^	/ г 2(/,	т)	= — 1.
		i(.	^ 1 ,^		= 0,		A:2(С	х)\|/с	=0.

Схема моделирования для получения k{t, т) как функции t изо бражена на рис. 10.4, а.

На основании вышеизложенного для определения импульсной переходной функции как функции т система уравнений имеет вид

(У ^	IV-- -с ■ + ь)k,(t, t — z)i +

+ [ b ( t — т ) + \ ] k ^ ( t , t — т) = 0,

d?k,(t, t — %). d \ ( t — di* “г dt L\ 2

+ 1 [ 6 ( ^ - т ) + 1 ] А 2 (/, / _ x) = 0.

Схема моделирования этих уравнений изображена на рис. 10.4, Как легко видеть, она может быть просто получена на основании изложенного правила из схемы рис. 10.4, а.


51	ХАРАКТЕР	ПРОЦЕССОВ		ПРИ	СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ			467
5.	Характер	процессов		на	выходе	линейных	систем
с переменными параметрами при случайных воздействиях
Перейдем теперь к изложению вопросов анализа динамической
точности	линейных	систем с	переменными			параметрами	при	воздей
ствии в виде стационарных			случайных процессов1)- Мы ограничимся

в дальнейшем случаем нормальных или гауссовых случайных воздей ствий, представляющих наибольший практический интерес. Так как при этом на выходе получается также нормальный случайный про цесс, что является следствием линейности системы, то для его пол ного описания в вероятностном смысле достаточно знания только корреляционных функций2).

Итак, пусть на вход системы, описываемой дифференциальным

уравнением (10.1), подан нормальный стационарный случайный		про
цесс / ( т) с средним значением, равным нулю, корреляционной		функ
цией /?/(т) и спектральной	плотностью 5^(х). Определим дисперсию
и корреляционную функцию	выходного процесса.

Для этого проще всего воспользоваться спектральным разложе нием стационарного процесса в виде3)

СО

/ ( 0 = 2 ^ / eJatd z ( ш).	(10.41)
— СО

где z (ш) — случайный процесс с некоррелированными приращениями, имеющий свойства

Л*(ш)Д*(ш') = {

° ’

10 ф1*';

(Ю.42)

о^(о)) ДО),

0) =

О) .

Подставляя

(10.41)

в (10.6),

получаем:

ии

jt(f) =

i-.

k{t,

X) J

е/ш1 dz(<s>)dl-.

СО

dz(w)e/a>t

k(t,

\)e~ ia,i‘~l)d \ =

2 k

J Ф (ycu, t) elml dz (ш).

(10.43)

') Более^подробно

об этом

см. книгу: П у г а ч е в

В. С., Теория случай

ных функций

ее

применение к

задачам автоматического

управления,

ГИТТЛ,

1957.

2) См., например, книгу, цитированную на стр. 464.

стационарных

3) См.,

например,

Я г л о м

А. М., Введение в

теорию

случайных

функций,

Успехи

матем. наук, № 5,

1952.

30*

468 ТОЧНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [ГЛ. X

Корреляционная функция этого процесса1)

R ^ t , Т) = * (0**00 =

1А.	СА»
/ Ф (у'со,	0 £,ш/ dz (ш) J Ф (yV ,	х) е1м 1 Лг(ш')
СД-1
= f Ф(Уи>.	О Ф* (_/«■>. О 5 / (С О ) в	(10.44)

Здесь использовано свойство (10.42) процесса г(ш). Отсюда дисперсия

	СО
D [*(0] = x 4 f ) — f		\| Ф (уto, О р S/(to) rfrn.	(10.45)
Сравнивая это	выражение с (5.10), мы видим, что оно		является
его обобщением	на случай, когда	передаточная функция	системы

изменяется со временем.

Уже из этих соотношений следует, что случайные процессы на выходе линейных систем с переменными параметрами не являются стационарными. Действительно, дисперсия этих процессов, как по казывает (10.45), зависит от времени, а корреляционная функция

является функцией t и т, а не разности			t — т.
Таким образом, случайные		процессы	на выходе линейных систем
с переменными	параметрами являются в общем случае нестационар
ными даже при	стационарных	случайных	воздействиях. Мы, однако,
укажем в дальнейшем случаи, когда это не имеет места.
Исследуем	свойства корреляционных		функций этих нестационар

ных процессов2). Из (10.6) корреляционная функция процесса на

выходе	линейной системы		с измененными		параметрами при подаче
на вход произвольного		(в	общем	случае	нестационарного)	случай
1)	Здесь звездочкой	обозначена		комплексно-сопряженная		величина,

так как предполагается, что процесс в общем случае может быть комплекс ным.

2) Эти вопросы, а также §§ 6, 7 настоящей главы изложены в работе: Б а т к о в А. М., Анализ и синтез линейных систем автоматического управ ления с переменными параметрами с применением моделирующих устройств. Доклад на совещании по автоматическому управлению и вычислительной технике. Москва, март 1957 г., в сб. Автоматическое управление и вычислительназ техника, Машгиз, 1958.

5] ХАРАКТЕР ПРОЦЕССОВ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ 469

ного	воздействия /(/)	может быть			записана		в виде
		I				-
Rx (t, т) = * (/)* (* ) =		J	k(t,	X)/(X)dX		f	k(x. 0)/(0)d0
		— CO			— o o
		/	X
	= J		j A ( f ,		Х)й(т,	0 ) ^ ( 0 , X)dXd0.		(10.46)
где	Rf{0, X) — корреляционная			функция		воздействия.

Очевидно, что (10.46) отражает очень общий случай. В даль

нейшем

мы ограничимся

рассмотрением частных видов воздействия.

А именно, мы предположим вначале, что

f(t)

является

«белым»

шумом,

а затем обобщим

полученные

результаты

на более

широкий

класс стационарных и нестационарных входных

случайных

воздей

ствий.

Итак,

предположим, что

/ ( 0 = 0,

Rf (t,

№ 8(# — х).

(10.47)

где N 2 =

const — спектральная плотность «белого» шума, а о (/ — т)—

дельта-функция Дирака.

Будем

считать,

далее, для упрощения вы

кладок

N 2 =

Для

этого

случая

(10.46)

принимает вид

J k(t, X)A(t, X)dX

при

(10.48)

— CO

J k ( t ,

X)&(t, X)dX

при

/ > т

(10.49)

D [ x ( t ) ] = J*ft*(0X)dX.

(10.50)

Для определения

свойств Rx (t,

т) применим к обеим частям (10.49)

оператор D(p,t). Учитывая, что

k(t,

т)

удовлетворяет

уравнению

(10.7),

получаем:

D (р , ОRx (0 0 =

f ft Сс. X) D (р,

t) [k (t,

X)] dX =

J k (т,

X) M (p,

t) 8 (/ — X)dX

при t > x,

— CO

где p = d/dO


470 ТОЧНОСТЬ	ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [ГЛ.			X
Так как под	знаком интеграла b(t — X) приложена в точке £ =			Х,
а рассматриваемый		интеграл	определен при х < t, то ой равен нулю.
Следовательно,		при t > т	корреляционная функция нестационар

ного процесса на выходе линейной системы с переменными парамет рами при подаче на ее вход «белого» шума удовлетворяет одно родному дифференциальному уравнению

D { p , t ) R x (t,	т) = 0,	t >	т.	(10.51)
Далее, сравнивая (10.48) с	(10.6),	легко	видеть,	что Rx {t, х)

при t < т можно рассматривать как выходной сигнал системы с им пульсной переходной функцией k(t, X) при подаче на ее вход в ка честве воздействия импульсной переходной функции этой же системы

как функции второго аргумента.	Таким образом,	имеем:
D(p, t) Rx ((, х)— М	(р, t) k(x, t),	if < x.	(10.52)

С другой стороны, рассуждая аналогично, получим, что корре ляционная функция Rx (t, х) удовлетворяет следующим уравнениям по аргументу х:

		D(p,	x)Rx (t,x) = 0,		x^>t,		(10.53)
D { p , x ) R x {t,x) = M ( p , x ) k { t , x ) ,					t > x,	p = - ^ .	(Ю.54)
Отметим, что		это	следует также и	из	симметричности		корреля
ционной функции относительно переменных t и х.							функции
Эти	уравнения	определяют поведение			корреляционной		функции
во всей	области	изменения аргументов		/	и х .	Очевидно,	что для

однозначности ее определения необходимо установить начальные

условия.	Для	уравнения	(10.51) они должны относиться к моменту
t = x+, т.	е.	необходимо	задать значения дисперсии и л — 1 произ

водных от корреляционной функции при t — x+. Для уравнения (10.52) они определяются для момента приложения входного воздействия и, следовательно, если система до подачи f(t) находилась в невозбу жденном состоянии, являются нулевыми').

Из соотношений (10.48)—(10.54) следуют приведенные ниже свой ства корреляционной функции рассматриваемого класса нестацио

нарных	процессов,	т. е.	процессов	на	выходе	линейных систем
с переменными параметрами, вызываемых					воздействием в виде		«бе
лого»	шума.		производных от		R(t, х) в областях		^ > х
1. Число непрерывных
и f < t	по обеим	переменным равно		количеству		непрерывных	про

изводных импульсной переходной функции. Если предположить, что коэффициенты уравнения (10.1) имеют п — 1 непрерывные произ-1

1) Здесь предполагается, что f(t) подается па вход системы при t = —со, однако все выражения остаются без изменения, если считать моментом при ложения t = 0 или, в общем случае, t = t0, т. е. рассматривать переходные процессы.

ХАРАКТЕР

ПРОЦЕССОВ

ПРИ СЛУЧАЙНЫХ

ВОЗДЕЙСТВИЯХ

4 7 1

водные1), то R(t, т)

имеет

этих

областях 2 п — 1 непрерывных

производных по t и т. Это

свойство доказывается непосредственным

дифференцированием (10.48) и (10.49).

2 (п — т — 1)

производных функции R(f, х) непрерывны при

t =

Действительно,

дифференцируя (10.49)

2 ( п — т — 1)

раз по

лучаем для последней производной:

an—am—з

1п—2 т - 2

X)rfX .

(10.55)

dtап-2/n—а R(t.

х)

/е(т, X) dt

/ = т +

С другой

стороны,

дифференцируя

(10.48),

будем иметь на осно

вании

свойств

(10.27)

функции

k(t,

х) при t — i

^2п-2т-2

j2n-2m-3

(•

(10.56)

dt‘i„^Zi=2 R (t, *0

H *.

V)d\

■

t=l~

-со

Все

внеинтегральные

члены

здесь обратятся

в нуль

при x =

t, так

как

порядок наивысшей

производной

по

t от

k(x, t),

содержащейся

в этих членах, не превосходит

п — т — 2.

Отсюда, вычитая (10.56) из (10.55), получаем доказательство

указанного

свойства.

производная

от

х) имеет скачок при

(2/г — 2 т — 1)-я

R(t,

t = x ,

который

равен

( — i )п- т~1 b%(t)la2„(t).

Доказательство

этого

свойства аналогично предыдущему. Из (10.49) следует, что

—2/И—1

j3n -2m -l

X)dX

(10.57)

Л2"-ЗШ—1

■о

t=1T

оо

Дифференцируя

(10.48),

получаем:

Jin-Zm—i

/ = X-	/
	•оо
+	д
	dt

ffin—2m-1

		+
1	jn —m—l-	(10.58)
z i H - .	-0	(10.58)
		f = T -

так как остальные внеинтегральные члены обращаются в нуль. Далее,

, продифференцировав (10.31) по х,	можно показать,	что
dn-,n-i	n-m—l bfji (t)
k(t, х)	n-m—l bfji (t)	(10.59)
k(t, х)	a«(0	(10.59)
dxn~m- 1	a«(0	•

') Это необходимо для существования оператора, сопряженного D (р, t) (10.38). Далее везде будем предполагать это условие выполненным.

472 ТОЧНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ с и с т е м с п е р е м е н н ы м и п а р а м е т р а м и [г л . X

Отсюда,	вычитая (10.57)		из (10.58), на основании (10.59) и (10.27)
получаем:
.‘271— 2/71— 1			j2/7—2т—1
^Зл-2/n-l	^	■О	= ( — о"-"1
		=Т'	/ = хт
			(10.60)

Аналогично можно определить и скачки производных более высокого

порядка от R(t, т)		при / = т.
4. Из	уравнений	(10.51) и (10.53) следует,			что
		2	«Р/СОФЛ*).	i	> х.
		1= l			(10.61)
	/?(/. т) =				(10.61)
		2 ? /со м о .		f < х .
		1 = 1
где ®г(/)	образуют	фундаментальную систему			решений однородного
дифференциального		уравнения
		D { p , t ) x { t ) = 0,			(10.62)
а фг(т) определяются начальными условиями,					накладываемыми на
R{t, х).

6. Обобщение результатов на случай не «белого» входного шума. Формирующие фильтры для стационарных и нестацйонарных случайных процессов

Выше был рассмотрен случай, когда на вход линейной системы с переменными параметрами подается «белый» шум. Здесь мы обоб щим полученные результаты на достаточно широкий класс стацио нарных и нестационарных случайных процессов на входе системы, показав, как изменением первоначальной системы можно свести этот

случай к «белому»		шуму на входе. Для этого рассмотрим вначале
вопрос о	получении	случайного процесса, заданного своей корреля
ционной	функцией	из «белого» шума. Системы, предназначенные

для этого, получили в литературеJ) название формирующих филь тров.

В случае необходимости получения стационарного шума с дробно рациональной спектральной плотностью из «белого» шума этот во

прос	решается, как		это	было показано в гл.‘	VII, § 6, достаточно
просто.					определении форми
Рассмотрим здесь более общий вопрос об
рующего		фильтра	для получения заданного нестационарного слу
1)	См.,	например,	книгу,	цитированную на стр. 464.


61	ОБОБЩЕНИЕ			РЕЗУЛЬТАТОВ		НА СЛУЧАЙ	НЕ «БЕЛОГО» ШУМА		473
чайного		процесса		из	«белого» шума. Мы		дадим	решение этого	во
проса для случая, когда заданный процесс							принадлежит к рассматри
ваемому классу, т. е.					когда известно, что он может быть получен из
«белого» шума как					решение линейного дифференциального уравне
ния с переменными коэффициентами.
Таким		образом,			рассматривается следующая задача: задана кор
реляционная			функция Rx (t, т)			нестационарного		случайного	про
цесса	х (0,		который		может быть получен применением к «белому»
шуму	произвольной линейной операции вида

Ц р , t)x{t) — K(p, 0 /( 0 ;

требуется определить операторы L(p, t) и К(р, t). Покажем один из возможных путей решения

(10.51), (10.54) и (10.31) имеем:

(10.63)

этой, задачи. Из

где

k0(t,

т) — импульсная

переходная функция,

соответствующая

(10.63)

при К(р,

/ ) = 1 .

Из

(9.61)

имеем:

( 10.66)

Rx (t,

т) =

срг (0 ф; (т),

t > Т,

/'= 1

где

п — порядок

дифференциального

оператора L(p, t), а срДО—

фундаментальная система решений уравнения (10.64).

Представив Rx (t, т)

виде (10.66),

можно определить <рг(7)>

t =

2......... п. При этом

число

определяется

количеством ли

нейно

независимых функций

переменной t

в (10.66).

Как известно из теории дифференциальных уравнении1), по фун

даментальной

системе решений

можно

определить

оператор L(p,t),

раскрывая

определитель

(га4~1)-го

порядка:

...

<fn

• ■•

L{p, t )x(t) =

Чп x

(10.67)

' J") J ”)

• • •

t n ' x

9Г 92

a) См., например, книгу, цитированную на стр. 462.

474 ТОЧНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ с и с т е м с п е р е м е н н ы м и п а р а м е т р а м и [г л . X

Определим теперь оператор К(р, t). Исходя из фундаментальной

системы решений <рД/),			можно	вычислить		k0(t,		т) по формуле1)
			? i	( 0	f 2 ( 0 . . .			<P/i	( 0
	( - 1	) "	4>i ( O		ч>2 ( 0 . . .			V» ( O
			- 1						( 10. 6 8 )
	a n ( O	w	( O

			<р Г	2) ( O 4>a " _ a ) ( O •				• ' d " - 2) (
где an(t) — коэффициент при				старшей		производной в операторе
L(p,t).	a W{t) — определитель Вронского,						соответствующий			урав
нению (10.64).
Обратимся теперь		к	уравнению		(10.65).		В этом		уравнении	левая
часть	нами уже определена и,			следовательно,				нам	известен резуль

тат действия		на известную функцию ka{t, т) произведения сопря
женных	операторов К(р, t)K*(p, /). Определив отсюда вид этого
произведения		и разложив	его на сопряженные множители, получим
К (р, t).	Этим	завершается	определение дифференциального уравне

ния формирующего фильтра для нестационарного случайного про цесса.

Таким образом, если известно, что случайный нестационарный (или стационарный) процесс, корреляционная функция которого за

дана,		может	быть	получен		при подаче на вход линейной системы
«белого» шума, то					дифференциальное уравнение этой системы мо
жет	быть определено.
Мы		предполагаем			наличие аналитического выражения для задан
ной	корреляционной				функции хотя бы в одной из		областей t > т
или	t < т.		Однако		вполне	очевидна возможность	аппроксимации
экспериментальных				кривых		выражениями вида (10.66). Кроме того,
метод		применим и в			случае, когда заданная корреляционная функ

ция может быть приблизительно представлена выражением вида (10.66).

Однако при этом необходимо учитывать возможность						получения фи
зически нереализуемых		фильтров.
Проиллюстрируем изложенный метод простейшим примером.
П р и м е р .	Пусть корреляционная			функция	нестационарного про
цесса задана в	виде	Зт_
		Зт_
		ti > О * .			т > 0.	(10.69)
	Rx {t< 0	=	t <	t,	т > 0.	(10.69)
		’	t <	Т,
		’

Из (10.66) следует, что соответствующий этой корреляционной функции формирующий фильтр описывается дифференциальным урав нением первого порядка, так как п — 1 и ср, (<) = 1/^2.

!) M i l l e r	К.	S.. The one-sided Green’s function, Journal of Applied
Physics, t . 22,	1951,	стр. 1054.


6]	ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ					НА СЛУЧАЙ НЕ «БЕЛОГО» ШУМА			475
Далее,		раскрывая (10.67), получаем,					отбрасывая общий множитель:
			L (р,			dx			(10.70)
			L (р,		t ) x = t - - \ - 2х				(10.70)
Из	(10.68) следует, что
			kQ(t,		т) =	-^ ,	7 > т .		(10.71)
Из	уравнения		(10.65)	получаем:				^Ут .
		К (Р.	) к (р,	т) ^		= L (р , т) /?,(/. Т) =		^Ут .	(10.72)
Отсюда		К (р,	i)K* (р,	т) = 9		и, следовательно,		К(р, т) =	3.

Таким образом, фильтр, формирующий нестационарный случайный

процесс		с	корреляционной	функцией
(10.69) описывается линейным дифферен
циальным		уравнением				ш ъ -
		dx
					fft)	- ■ Xft)
		t -jj- -j-2x — 3/(0-
Он	может		быть реализован в		виде
£С-фильтра с сопротивлением, изменяю-						Рис. 10.5.
щимся	по	закону R (t).= t/2		(рис.	10.5).	..........

Метод формирующих фильтров позволяет обобщить приведенные выше результаты на случай не «белого» случайного процесса на входе.

Действительно, если входной случайный процесс имеет корреля ционную функцию /?, (t, т), которая отлична от дельта-функции и задана, то для применения методов определения корреляционной функции процесса на выходе исследуемой системы необходимо:

1)рассчитать формирующий фильтр по заданной корреляционной функции;

2)рассматривая процесс на выходе формирующего фильтра как вход исследуемой системы, составить дифференциальное уравнение общей системы;

3)исследовать общую систему, как имеющую на входе «белый» шум. При этом необходимо изменить соответственно начальные усло вия вследствие изменения дифференциального уравнения.

Таким образом, изложенные выше свойства корреляционной функ

ции остаются в силе и для случая, когда на вход линейной системы

спеременными параметрами поступают:

1)стационарный процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью или

2)нестационарный процесс, который может быть получен приме нением линейной операции к «белому» шуму.

Действительно, если на вход системы, описываемой уравнением (10.1), подается шум с корреляционной функцией Ry(t, т) и можно получить этот процесс при помощи уравнения

L ( f , 0 l ( . 0 = K ( P , t ) n i ( t ) , .

. . . . . . .

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 6647 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ