книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

методов решения уравнения (10.7) или (10.17). Преимущество этого метода состоит в том, что при этом получается аналитическое выра­ жение для Ф(у'ш, t) или k(t, т), что упрощает вычисление выраже­ ний (10.6) и (10.14).

Рассмотрим кратко эти методы.

3. Приближенные методы определения передаточной функции линейной системы с переменными параметрами

Переходя к изложению приближенных методов определения пере­ даточных функций линейных систем с переменными параметрами, необходимо указать на возможность непосредственного применения

этого уравнения с помощью сравнительно несложных вычислений может быть получено в форме ряда, члены которого находятся по методу последовательных приближений. При этом вследствие того, что этот ряд при довольно общих условиях может быть представлен в виде убывающих геометрических прогрессий, обычно возможно записать решение в конечной форме. Этот метод позволяет опреде­ лить передаточную функцию системы, не зависящую от времени, для заданных воздействий, т. е. для различных входных сигналов будут получаться различные передаточные функции. Причина этого заключается в том, что, пользуясь этим методом, мы как бы ищем систему с постоянными параметрами, эквивалентную в смысле реакции на данный входной сигнал исследуемой переменной системе.

Поэтому, исходя из случайного характера воздействий, здесь более целесообразно рассматривать приближенные методы решения уравнения (10.17), которое приводит к передаточной функции, опре­ деляемой только параметрами системы и не зависящей от входных воздействий.

Итак, рассмотрим некоторые приближенные аналитические методы решения уравнения (10.17). Прежде всего решим вопрос о начальных условиях, которым должна удовлетворять искомая передаточная функция для возможности однозначного ее определения.

Можно показать2), что если функция Ф(/ш, t) на рассматривае­ мом промежутке не имеет скачков, то она является частным реше­

АН СССР, ОТН, № 12, 1945.

2) См. работу, цитированную на стр. 453 или более подробную работу — на стр. 454.

действие 1(0. определенные по (10.14) для приближенного и точного решений. Отклонение от точного решения не превышает при этом 4%.

где обозначено

-dn(L>( / ы ()

Если на рассматриваемом интервале изменения t происходит изме­ нение формы Ф (усо, t), т. е. характера переменности коэффициентов уравнения (10.1), то необходимо искать общие решения уравне­ ний (10.24), (10.25). Получающиеся при этом п произвольных постоянных определяются из условий (10.18). Для этого, очевидно, необходимо знать величину передаточной функции и ее производных до (п — 1)-го порядка в момент времени, непосредственно предше­ ствующий моменту изменения формы Ф(уш, t).

1) См. работу, цитированную на стр. 454.

дящемуся ряду (10.21) в случае, когда параметры системы являются периодическими функциями. Однако и в большинстве других случаев обычно практически достаточно определения двух-трех первых членов

4] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ 461

Здесь С определяется из начальных условий, получаемых из (10.18)

Ф(уш, ;0~) = Ф ( > , to)

по заданной функции Ф(у-ш, to) в момент, непосредственно предше­ ствующий моменту tQ изменения формы Ф (у‘ш, t).

Отметим, что при р 1 Ф (уи>, /) = Ф0 -(-Ф, дает хорошее при­ ближение к точному решению.

4. Приближенные методы определения импульсной переходной функции

Здесь удобно дать эквивалентное, но более строгое математи­ чески, определение импульсной переходной функции k(t. т), соот­ ветствующей системе (10.1).

Как известно2), неоднородное линейное дифференциальное урав­ нение, содержащее в правой части дельта-функцию и ее производ­ ные, при нулевых начальных условиях эквивалентно однородному дифференциальному уравнению с ненулевыми начальными условиями.

тистической динамики САУ с применением моделей. Канд. диссертация, Мос­ ковский инженерно-физический институт, 1958.

определения импульсной переходной функции сводится к решению линейного однородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами при ненулевых начальных условиях. При этом оче­ видно, что обычно более просто искать k0(t, т), а затем определять k(t, т) дифференцированием по формуле (10.31). Эта задача экви­ валентна, по существу, задаче определения передаточной функции и может быть приближенно решена методами, аналогичными изло­ женным в предыдущем параграфе.

Остановимся кратко на одном из них.

*) О сопряженных операторах см., например, С т е п а н о в В. В., Курс обыкновенных дифференциальных уравнений, ГИТТЛ, 1953.

464 ТОЧНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [ГЛ. X

на основе метода сопряженной системы]), который состоит в сле­ дующем.

Известно*2), что импульсная переходная функция заданной системы, т. е. функция, удовлетворяющая уравнению

рассматриваемая как функция ее второй переменной х при фиксиро­ ванных значениях первой, является решением дифференциального уравнения, сопряженного данному, т. е.

мdt

Однако при попытке решить (10.36) на модели возникает прин­ ципиальная трудность, состоящая в том, что область определения

чтобы определить вид импульсной переходной функции при решении сопряженного уравнения (в области физической осуществимости реше­

чайные процессы в задачах автоматического управления, ИЛ, Москва, 1958.

при решении (10.36) аналитическими методами может быть использован