книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

Для этой цели вычислим по участкам момент от погонных бимоментных потоков $ qB г ds.

j qBr ds = A

1—2

= _Д_2_Гс 0,0312/7;

8-24

Фиг. 30. Эпюра суммарных погонных каса­ тельных сил.

Суммарный поток погонных касательных сил определится по формуле

<7— 9'бр4'/в + /ов:

71 = <7бр + Яов=0,00144/7— 0,00112/7= 0,00032/7;

72 = 7бр+ Яйв = 0,0014477 + 0,00107/7— 0,00112/7= 0,0013977;

7г = ?бр + Яв3 + Яов=0,00144/7Д- 0,0017/7 - 0,00112/7= 0,00202/7;

7з = ?БР + <?в3 4- 9ов = 0,00144/7+ 0,00197/7- 0,00112Я= 0,00229/7.

Эпюра суммарных погонных касательных потоков q показана на фиг. 30.

Из этого примера совершенна очевидно, что вследствие стесне­ ния депланации в заделке возникают значительные дополнительные касательные силы, и ими пренебречь в расчетах нельзя.

78

Оболочка закручивается внешними распределенными крутящими нагрузками

Рассмотрим случай, когда на оболочку действует равномернораспределенный по длине внешний погонный крутящий момент

(фиг. 31).

Эта задача приводится к системе двух дифференциальных урав­ нений:

Ya33^2 С321^2 — О

(1.214)’

С23^ з + ?'22^2 + -^- = 0.

О

Здесь величина q2 определяется по формуле

ds

и представляет внешний погонный крутящий момент. В дальнейшем этот момент будем обозначать т.

Фиг. 31. Нагружение оболочки распреде­ ленным крутящим моментом.

В формуле q—q{z, s) выражает интенсивность заданной поверх­ ностной нагрузки, действующей в плоскостях пластинок оболочки.

Дифференциальные уравнения (1. 214) путем введения новой функции f(z) приводим к одному уравнению относительно f(z) вида

79

Выразим через функцию f(z) и ее производные искомые обобщен­ ные перемещения l/(z) и 6 (z), а также обобщенные силы B(z) и H(z). Имея в виду равенства (1. 190), получим

U (г) == С2 -ф C3k ch kz + C,k sh kz —.

В — —ak2(C3sh kz-^CtChkz) + —— .

&i /г2

Постоянные интегрирования C\, C3... C4 определяем из гранич­ ных условий в сечениях z=0 и z=l. Начало координат (фиг. 31) поместим в сечении заделки. Тогда

Раскрывая эти условия при помощи формул (1. 217) и решая их, находим постоянные коэффициенты:

ть2 Г &i(^/sh&Z4-1)

b2k2 _ ab-.^chkl

р mb^l

ak2bx

(1.219)

mb^l akzbx

—-----(^Zsh^Z + 1). ab^k4 ch kl

Нормальные бимоментные напряжения определяем по формуле (1. 185). Для рассматриваемого случая Зта формула примет вид

Напишем теперь решение дифференциального уравнения (1. 215) через показательные функции в форме ряда

/^С^С^+Сз^+С^-^. (1.221)

во

Подставляя это выражение и ее производные в равенства (1. 190), получим

В = — ak2 (C3ekzС4<?-**)+-^-;

k-ab- С2 + tnz. t>2

Определение постоянных интегрирования

Для удовлетворения граничным условиям при z—l следует при­ равнять нулю коэффициент при екг, т. е. положить

Используя выражения (1. 225), (1. 222) и (1. 185), напишем новую асимптотическую формулу для определения нормальных на­ пряжений в оболочке

s^=—^r^le-kz-^^). (1.226)

Сравнивая эту формулу с формулой (1. 122) для определения бимбментных напряжений при изгибе равномерно распределенной нагрузкой, видим, что они имеют одинаковое строение и отличаются друг от друга только геометрической и упругими характеристиками.

Пример. Построить кривые распределения бимоментных нормаль­ ных напряжений по формулам (1. 22'0) и (1. 226) при стесненном

кручении оболочки равномерно распределенным погонным момен­ том т=200 кг. Размеры оболочки показаны на фиг. 32.

График распределения нормальных напряжений вдоль верхнего пояса оболочки, полученный на основе формулы (1. 220), показан на фиг. 32 сплошной линией. Пунктиром нанесен график напря-

Фиг. 32. Графики распределения нормаль­ ных бимоментных .напряжений вдоль кес­ сона.

жений, вычисленный по формуле (1.226). Сравнивая графики рас­ пределения нормальных напряжений вдоль поясов кессона, можно сказать, что для определения бимоментных напряжений в заделке и близких к ней сечениях формула (1.226) вполне пригодна и дает хорошие результаты.

Глава V

СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ОБОЛОЧЕК

СУЧЕТОМ УПРУГОСТИ НЕРВЮР

§13. Дифференциальные уравнения оболочек

сучетом упругости нервюр типа пластины

При расчете оболочек с изменяемым в поперечном сечении кон­ туром необходимо учитывать упругость нервюр. Дифференциальные уравнения (1.7) можно применить и для оболочек, подкрепленных рамными нервюрами. В этом случае момент инерции /, входящий в последнюю формулу (1. 8), необходимо вычислять с учетам сред­ него (погонного) момента инерции рам. В самолетостроении обо­ лочки типа кессона крыла чаще подкрепляются распределенными по длине поперечными стеночными нервюрами (диафрагмами). Эти

82

нервюры состоят из тонкой стенки (пластины), окаймленной по кон­ туру рамкой, которая в свою очередь связывается со стенками обо­ лочки.

Известно, что окантовка стенки нервюры слабо сопротивляется сдвигающим силам, возникающим при искажении формы попереч­ ного сечения оболочки; эти силы воспринимаются стенкой нервюры.

Чтобы учесть упругость стенки нервюры при расчете оболочек с искажаемым контуром поперечного сечения, напишем выражения для работы внутренних сил нервюры на ее возможных перемещениях.

Пусть оболочка прямоугольного поперечного сечения обладает деформируемым контуром и подкреплена равномерно распределен­ ными по длине стеночными нервюрами.

Вотношении стенки нервюры примем следующие гипотезы:

1)стенка нервюры работает только на сдвиг;

2)касательные напряжения по высоте стенки распределяются равномерно;

3)изгибающие моменты, действующие в плоскости нервюры, воспринимаются стенками оболочки и элементами обрамления нервюры.

Сдвигающие силы, возникающие при искажении формы попереч­ ного сечения оболочки, будут деформировать нервюру, как показано

на фиг. 33.

На фиг. 33 стрелками показаны линейные перемещения, а бук­ вами в* и 6г обозначены угловые перемещения нервюры при обоб­ щенной поперечной депланации х=1. Этому элементарному дефор-, мированному состоянию нервюры в ее плоскости будет соответство­ вать силовое состояние, показанное на фиг. 34 и выраженное через единичные изгибающие моменты.

Работа внутренних единичных сил на элементарных перемеще­

или

4=91 + 92 = 2. (1.228)

Рассмотрим два случая работы нервюры.

h Стенка нервюры работает на растяжение и сжатие от сдвигаю­ щих сил в двух диагональных направлениях. Этот случай соответ­ ствует работе пластины на сдвиг да потери ею устойчивости.

До момента потери устойчивости деформация сдвига будет .опре­ делена формулой

где т* —касательные напряжения в пластине; G —модуль сдвига.

Имея в виду равенство (1. 228), можно написать

Работа внутренних сил действительного состояния на перемеще­ ниях виртуального состояния пластины будет

где rfp tZ2 — высота и ширина пластины; 8« — толщина пластины;

b — расстояние между нервюрами.

Подставляя значения (1. 230) в равенство (1. 231), получим

W1=-4Gd1d2^- x(z). (1.232)

2. Стенка нервюры работает только на растяжение в одном на­ правлении. Этот случай соответствует работе пластины после потери устойчивости.

84

Для того чтобы использовать дифференциальные уравнения рав­ новесия (1.7) при решении оболочки с искажаемым контуром попе­ речного сечения и подкрепленной упругими пластинчатыми нервю­ рами, нужно во вторую группу уравнений (1. 7) добавить слагаемое, учитывающее работу внутренних сил на деформациях сдвига стенки нервюры в виде равенств (1. 231) или (1. 236). При этом система дифференциальных уравнений равновесия оболочки (1. 7) примет вид

iik

(1.237)

^chlU\^rhkVk—

i k k

Коэффициенты этих уравнений вычисляются по формулам (1. 8), где в последней формуле момент инерции J вычисляется только для пластины шириной tfe=l.

где 8 — толщина соответствующей стенки оболочки.

t=4Gd,d2 —; 1 2 ь

(1.238)

t^2Gdxd2—.

Коэффициент t— 4Gd1d2— необходимо брать в случае работы

стенки нервюры на растяжение и сжатие в двух диагональных направлениях, а коэффициент t-ZOd^ — берется тогда, когда

стенка нервюры работает на растяжение только в одном диаго­ нальном направлении.

§ 14. Кручение кессона с изменяемым в поперечном сечении контуром

Применим теперь дифференциальные уравнения (1. 237) для ре­ шения прямоугольного кессона, подкрепленного равномерно расстав­ ленными по длине упругими нервюрами типа пластин и закручивае­ мого приложенным на свободном конце сосредоточенным внешним крутящим моментом Н. Допустим, что поперечное сечение кессона имеет две оси симметрии Ох и Оу (фиг. 35).

85

Стент нерйюрт

Фиг. 35. Схема оболочки, подкрепленной упругими нервюрами.

Фиг. 36. Эпюра функции искажения.

86

Представим перемещение какой-либо точки М кессона в форме

®(z, s) = e(z)«p2(s)4-x(z)<l>3(s). J

Здесь U (z)— обобщенная депланация при кручении; ?з(5)~ФУнк11ия, соответствующая депланации (см. фиг. 3, а); 6=1^2 —угол закручивания;

и представлена на фиг. 36.

Определение коэффициентов дифференциальных уравнений (1.237)

Коэффициенты дифференциальных уравнений вычисляются по

нений для случая кручения кессона с жестким контуром и опреде­

di , d2

EJ-l EJ2

где

§i и 82 —толщина вертикальной и гиризонтальной пластинок, составляющих контур кессона.

г=4С<Ы2—;

1 2 ь

8*—толщина стенки нервюры;

b — расстояние между нервюрами.

Дифференциальные уравнения равновесия оболочки

87