книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

ных продольных и поперечных сил, приложенных к передней нер­ вюре:

Фиг. 16. Эпюры распределения бимоментвых нормальных напря­ жений в трех продольных сечениях верхней панели кессона от заданных сил.

кону плоских сечений; последние слагаемые представляют напряже­ ния, возникающие от обобщенных сил (бимоментов), связанных с депланацией сечений.

На фиг. 16 показаны суммарные эпюры бимоментных напряже­ ний, вычисленных по формуле (1. 131), от действия продольных и поперечных сил. Геометрические размеры оболочки и значения на­ грузок даны на фигуре.

§ 8. О работе нервюр на депланациях, вызванных изгибом

а) Обобщение дифференциальных уравнений В. 3. Власова

Для придания тонкостенной оболочке большей жесткости ее под­ крепляют в поперечном направлении нервюрами или шпангоутами.

Пусть оболочка по длине подкреплена поперечными рамами (фиг. 17). Так как рамы связаны с оболочкой, то совместно с ней они будут претерпевать возможные продольные и поперечные де­ формации.

48

Третий член второй группы дифференциальных уравнений (1. 7) дает возможность учесть работу внутренних сил на деформациях изгиба полоски и рамы в плоскости ее расположения при деформации контура поперечного сечения оболочки.

В этом случае момент инерции, входящий в коэффициент вы­

числяется с учетом момента инерции сечений рам, равномерно рас­ пределенных по длине оболочки.

В настоящем параграфе рассматривается работа рамы вместе с оболочкой при депланациях сечений оболочки, вызванных изгибом поперечной силой. Рама (нервюра) будет так же, как и оболочка, перемещаться из своей плоскости в продольном

направлении z. Деформа­ ция изгиба при этом бу­ дет определяться переме­ щениями

«(z, s) = S^(2) ?, («)• (1.132)

Практически деформа­ цию рамы из ее плоскости можно представить так, как будто она находится в продольных направляю­ щих оболочки и имеет возможность перемещать­ ся только вдоль этих на­ правляющих.

Обозначим погонный момент инерции рамы

(1.133)

где 7Р — момент инерции сечения рамы относительно оси тп, па­ раллельной оси у (см. фиг. 17);

Ь — шаг (расстояние) между нервюрами по длине оболочки. При деформации изгиба рамы кривизна верхнего! элемента рамы

<7S2

Дифференциальное уравнение изогнутой оси верхнего элемента рамы запишется так:

7И(5)=-Д7П0Г(ад+ад-|-77з?"+ . . . ВДЛ (1-136)

Для того чтобы учесть работу рамы при изгибе из плоскости по­ перечного сечения в дифференциальных уравнениях оболочки, нужно

в первую группу уравнений (1. 7) добавить член, учитывающий ра­ боту внутренних сил изгиба рамы. Эта работа запишется так:

^али;-^Ьли- т/пог2^Ц-2^^ + -^-=°- О-141)

i i i k

В силу этого система дифференциальных уравнений (1.7) с учетом работы на изгиб рамных нервюр или шпангоутов в продоль­ ном и поперечном направлениях представится так:

расчета оболочек типа кессона крыла с учетом работы нервюр при депланациях, вызванных изгибом.

Рассмотрим изгиб оболочки, показанной на фиг. 18, под действи­ ем поперечной силы Q.

Представим продольные и поперечные перемещения точки М в

u{z, s) = (71(z)?1(s)+(72(z)<P2(s);1

50

Здесь искомое обобщенное продольное перемещение U\(z) вместе с выбранной функцией cpi(s) представляет собой угол поворота се-

Фиг. 18. Схема нагружения оболочки.

чения z=const относительно оси Ох. Функция q>i(s) изображена на фиг. 19, а:

c?i(s)=J/(s). (1.144)

Фиг. 19. Эпюры аппроксимирующих функций.

Искомое продольное обобщенное перемещение {/г(^) вместе с выбранной функцией <р2(-$) (см. фиг. 19, б) представляет депланацию сечения при изгибе

показана на фиг. 19, в.

Определение коэффициентов дифференциаль­ ных уравнений (1.142)

Коэффициенты дифференциальных уравнений (1. 142) опреде­ ляются по формулам (1. 8) и (1. 139). Для рассматриваемой обо­ лочки (фиг. 18) при выбранных аппроксимирующих функциях (фиг. 19) эти коэффициенты будут такими:

^12 = ^21===2c/:'р

^12 = ^21 — 2с/7р

гп = 2/71;

J«2

Вэтих выражениях

Раскрывая дифференциальные уравнения (1. 142) при помощи формул (1. 143), (1. 147) и (1. 148), приводим решение данной за­ дачи к системе трех дифференциальных уравнений:

С11 ^71 + ^12^2+ ^11^1— О-

Введем в рассмотрение новую функцию f(z) и способом, описан­ ным в § 4, выразим через нее искомые обобщенные перемещения f7I(z), U2(z) и У, (2).

52

Имея в виду формулы (1. 147), получим

U. ~2F1 [(WF.-b22-yJnore22) /' +

f (z) = C0-^C1z-)-C2z2-)-C3z3 + Cichkz-)-C5sh kz. (1.153)

Постоянные интегрирования Со, Сь .. С5 определим из граничных

условий в сечениях оболочки z=0 и z=l (см. фиг. 18). Начало коор­ динат поместим на свободном конце кессона.

При z=0 граничные условия будут статические:

53

Коэффициенты Ci и Сз, найденные из граничных условий, имеют значения

Формула для определения нормальных напряжений

Нормальные бимоментные напряжения будем определять по формуле

Развернутая формула для определения нормальных напряжений, связанных с депланациёй сечения, учитывающая работу рамных нервюр из плоскости поперечного сечения при изгибе кессона попе­ речной силой, будет

Пример. Определить нормальные бимоментные напряжения в се­ чении заделки кессона с учетом и без учета работы рамных нервюр из их плоскости и сравнить полученные результаты. Кессон изги­ бается поперечной сосредоточенной на свободном конце силой

Q=800 кг.

нервюр по формуле (1. 161). Для этой цели положим в выражениях (1. 152) и (1. 161) Лог —0. Геометрические характеристики, входящие в эти выражения; находим по формулам (1. 147).

54

В крайних точках верхней панели сечения заделки нормаль­

Найдем теперь напряжения в тех же точках поперечного сечения заделки с учетом работы рамных нервюр. Пусть сечение рамы имеет вид уголка с геометрическими характеристиками: площадь сечения

ния ав кр = —217 кг/см2, а в средней точке ойср = 223 кг/см2.

Сравнивая величины нормальных бимоментных наппяжений, по­ лученные при расчете оболочки с учетом и без учета работы рамных нервюр из плоскости поперечного сечения, можно сделать вывод, что учет работы нервюры практически не оказывает влияния на ре­ зультаты решения, поэтому при расчете кессонов на изгиб работой нервюры из ее плоскости на перемещениях, соответствующих депла­ нации сечения, можно пренебречь.

§ 9. Изгиб оболочки несимметричного поперечного сечения

Изложенные в предыдущих параграфах методы расчета оболо­ чек типа кессона крыла на изгиб могут быть распространены на оболочки более сложного поперечного сечения. В качестве примера рассмотрим изгиб оболочки, имеюший несимметричное поперечное сечение (фиг. 20). Будем считать, что оболочка находится под дей­ ствием вертикальной поперечной нагрузки, проходящей через центр изгиба и расположенной в вертикальной продольной плоскости сим­ метрии.

Оболочка подкреплена продольными и поперечными элементами. Продольные элементы (стрингеры) для упрощения расчетов можно привести к стенкам оболочки и в расчет вводить приведен­

ную толщину стенки.

ее ширины в поперечном сечении испытывает равномерные по ши­ рине положительные или отрицательные перемещения вдоль продоль­ ной оси. Вертикальные пластинки оболочки также перемещаются по закону плоскости. Закон этих перемещений показан на фиг. 21,6

55

и г. В действительности эти перемещения не подчиняются закону плоскости, а распределяются по ширине вертикальных и горизон­ тальных пластинок по криволинейному закону.

Фиг. 20. Схемы оболочки.

Желая уточнить решение, основанное на гипотезе плоских сече­

„Продольные и поперечные перемещения какой-либо точки сред­ ней поверхности оболочки примем в следующей форме:

и поперечные перемещения, зависящие от координаты z, а ф] (s), ?2(s) и (s) — аппроксимирующие функции.

56

Выбор аппроксимирующих функций

..Функция <pi(s) (фиг. 21, г) соответствует гипотезе плоских сече­ ний. Эта функция для произвольной точки контурной линии может быть определена как расстояние по вертикали до этой точки от ка­ кой-либо горизонтальной оси (Ох) сечения. За обобщенную коор­ динату ф2(«) (фиг. 21,3) принимаем функцию, соответствующую депланации сечений. Эта функция должна быть построена с учетом неравномерного распределения продольных перемещений в попереч­ ном сечении оболочки.

Функция ipi(s) соответствует поступательному перемещениюпоперечного сечения оболочки в вертикальном направлении. Так как поперечное сечение оболочки не является симметричным, то для

<P2 = sin на участках 1-3 и 2-4.

Первые две функции определяют закон плоских сечений. Соглас­ но принятым выражениям для функции ф2* считаем, что перемеще­

Имея первоначальные функции (1. 163), переходим к составле­ нию функций ф1(«) и ф2($). Эти функции с учетом несимметрично­ сти поперечного сечения составляем путем комбинирования функции (1. 163) с соблюдением условий ортогональности.

Пусть

57'