книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

креплением. Эпюра функции показана на фиг. 46, а.

Производная

от этой функции будет

®'(s) = 3x2j/34-3j/2a3.

(1.323)

Эпюра q/(s) показана на фиг.

46,5. Функцию ip(s), отражаю­

щую поворот поперечных сечений

оболочки под действием крутя­

щего момента, примем в таком виде:

<b(s) = A*(s),

(1.324)

где /г* (s) — длина перпендикуляра,

опущенного

из начала коор­

J

14 ooo

b=$ ?'2 (S)

(W2 + <ВД);

J

} (1.325)

r =

(d^F.-d^FJ-

относительно искомых

обобщенных

перемещений

и их

решение

Для рассматриваемой задачи

система

уравнений (1.7) примет

вид

aU"-bxU-b2V=Q- 1

(1.327)

bJJ' + £>39" = O.

J

Вводя новую функцию f(z) и обозначая

9 = af" — bxf,

1

(1.328)

1

f^ — k2f' = 0,

(1.329)

где

_______

/~ ьхь, — ь2

(1.330)

k=\/ —----- ?.

Г

abi

Интеграл уравнения (1.329)

напишем в такой форме:

/=Ci + C2z+C3ete + C4e-fe.

(1.331)

Тогда формулы (1.328) примут вид

67=62C2 + ^C3eta- b2kCie-kz-,

(1.332)

9 = ак2Съек2 + ak2Cie~kz-blCl - bxC^ - bxC^z-ЬхС,е-к:.

(1.333)

«(0,

s1) = (7(0)?1(s) = 0; 1

(1.335)

"° (0,

51з) = 8 (0) Ф(1-з) (s) = 0. |

Ввиду симметричности

оболочки граничные

условия в точке 2

удовлетворять не нужно.

В середине оболочки

при х=0 функция

Ф=0, следовательно, она

автоматически удовлетворяет граничным

условиям.

u(z,

s) = Y1Ui(z)

v (z, s) = £ V* (г)

(1.338)

i

k

/i = 1, . .

.

,

m\

\A = 1, . .

•

,

nJ,

где Ui(z) и

Уй (z)— искомые

обобщенные продольные и попе­

речные перемещения; а <P;(s)

и

($) —функции распределения

мой оболочки в

следующем виде:

(1.340)

Имея в виду (1.338) —(1.340),

получим

3= eILuV

(z = l,.

. . , m);

|

Для определения Ui(z)

и 14 (z) воспользуемся

принципом воз­

можных перемещений.

Выделим из оболочки сечениями z=const

и

z+dz=const эле­

ментарную полоску (раму)

шириной

dz, которая

находится под

действием внутренних нормальных и

касательных сил и

внешних

поверхностных

продольных p(z, s) и

поперечных q(z, s)

сил. По­

лоска обладает т продольными

(из плоскости поперечного-

сечения

оболочки) ига — поперечными

(в плоскости

поперечного

сечения

■оболочки) степенями свободы.

Запишем работу сил, действующих

на

выделенную

полоску

(фиг. 49), на

возможном перемещении из плоскости

поперечного

h ds

т

dz h.ds +

s+ds

ds

+ §>p(z, s) (s) dz ds — 0

(7

= 1,

. .

. , m). (1.342)

s+ds

s

- ф M (г' s^2j--lh-(-)- ds + фд (г,

s^h(s)dzdS=Q (1.343)

s

s

n).

(6=1, . . . ,

Заменим в-

полученных

уравнениях

переменную

интегрирова-

ния s на Sz/l.

В результате такой замены интегралы, по перемен-

ф|Шг. 49.

Элемент оболочки.

Фиг. 50. Зависимость аппро­

ксимирующих

функций от

положения

сечения.

ным контурам z=const в уравнениях

(1.342) и (1.343) преобра­

зуются в интегралы по контуру фиксированного сечения z=l.

Представим подынтегральные выражения в функции новой пе­

ременной Sz/l.

их изменение вдоль образую­

В силу линейности функций cpi(s)

щих оболочки

пропорционально

множителю z/l, т.

е. для каждой

функции <р»(s)

и

производной

от

нее

существуют

равенства

(фиг. 50) :

Ц£у) = ф?;.(5), <р’г(^)=?;.(5)

(4=1,. .

., m). (1.344)

Функции ipfc(s)

постоянны по всему контуру, поэтому вдоль об­

разующих оболочки они не изменяются и имеют место

равенства

фй(5-^-)=фй(5)

(6 = 1,

. . ., п).

(1.345)

Нормальные и касательные напряжения и производные от них

по координате z на Основании

(1.341),

(1.344) и

(1.345) будут

определяться формулами:

(1.346)

i

(i = l, . .

. ,

m);

vZ

1Jhb

ляш 02^ |_ I

JI

I

1 '■

k

1

'

Погонный изгибающий момент вдоль контура оболочки от пе­

ремещения о (г, s)

определится равенством

M(z, s) = У4иЛ(г)Л4Д5)

(6=1,

, и). (1.348)

ординаты

s, то

при. новой переменной Sбудет

определяться формулой

Мк(з^=Лмк(5)

(6=1...., «).

(1.349)

Подставляя (1.344)—(1.349) в уравнения (1.342), (1.343), по­

лучим

Е Гф

dz) (S) ?; G$) h{z+^3

dS -

S i

— </S]-G

s

/3

S

S' —-1/—

— dz dS-\-

Lldz \ I

k

+ фр(г,

s)<fj(S)dz~ dS = 0

(7=1,. • - ,m);

s

S

I i

}

(1.350)

z-^dz

7

XdS — G

(5) +

(т

(5)]

(5) h X

^^dS~H-r

k

^L‘>z^Mh(S'>^-dS+

k

s

+ ^)9(x s)i}k(S)dz-E-dS = Q

(6=1,. . . ,

n).

Сг

ац = Ф Ъ (5) Ъ (S) h dS-,

см = ф фй (5) <р'. (S) h dS-

j

s

s

b^^Sy^SyhdS,

rllk = ^h(S)^(S)hdS-,

(1.352)

S’

s

s

s

a?-z —а;у, b^ — b^,

shk = skh,

chi = cJk при z=k.

Свободные члены уравнений

(1.351), выражающие собой рабо­

ту внешних погонных нагрузок,

определяются по формулам:

у7у = фр(г, s)?7 (S)rf5;

qh = $q (z,

s) фй (S) dS.

(1.353)

s

s

s) = -|-p(2, S); q(z, s) = ~q(z, S').

(1.354)

p(z,

=

^2

(1.355)

S).

I*

jD7 (^) = ^o?y-.(s)/z^s,

Qh (z) = ф

($) й ds

(1.357)

(/ = 1, . .

. ,

т;

h = \, .

.

. , ri).

1 Благодаря этому статические

граничные

условия

в

сечении

z=l\ записываются следующим образом:

77 Е 2 Ui = 7?

(«) ds-,

I

S

(1.358)

где ро и <7о в правых частях уравнений

(1.

358)

вычисляются анало­

гично коэффициентам р, и

(1.

353).

Продольные и поперечные

перемещения

точек

оболочки

представим

равенства­

ми

(1.

338), оставляя

в

них

по одному

члену.

В соответствии с гипотезой плоских сече­

ний примем <p.i(s) = у($),

а

перемещение в

вертикально^ плоскости (по оси z/) положим

равным ф 1

(s) =y'(s).

Эпюры функций <pi(s)

и ^i(s) приведены на фиг. 3.

Фиг. 51. Схема иагруже-

Предположим, что коническая оболочка

обладает жестким контуром.

В этом случае

ния оболочки.

s®—0.

Дифференциальные

(1.356)

для

рассматриваемой

уравнения

задачи принимают вид

Р /Z3 ,\

,

z , т

z д

= 0;

I

dz

(1.360)

где йц = Л — момент инерции

поперечного

сечения z—l оболочки,

bn = c11 = rl\=F — площадь

поперечного

сечения вертикальных сте­

Интегрируя уравнения

(1.360), получаем

Z

[

1

dz \ I 7]

(1.361)

1