книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла
.pdfОпределение постоянных интегрирования
Для каждого частного случая закрепления кессона произволь ные постоянные общего решения должны быть определены из соот ветствующих граничных условий. Например, для оболочки, приве денной на фиг. 50, граничные условия имеют вид:
при z—l (сечение, жестко закреплено)
Z71(s) = 0; |
t72(z) = O; |
И1(г) = 0; |
|
при z — т (сечение может свободно депланироваться) |
|
||
G'i(z) = 0; |
и'2 (г) = 0; |
|
[ (1.386) |
G[C]1Z7] + c]2t/2 + r11l/'1]-^=-Q0. |
I |
||
Раскрывая граничные условия (1. 386), получаем систему линей ных алгебраических уравнений для определения произвольных по стоянных, которая представлена в табл. 17. Следует отметить, что система уравнений для определения произвольных постоянных имеет весьма простой вид и может быть решена без каких-либо за труднений при любых параметрах кессона.
Если поперечная |
погонная |
нагрузка, действующая |
на кессон, |
|
распределена, равномерно, |
то в |
формулах (1.377) —(1.379), |
||
(1.384), (1.385) и табл. 17 следует положить Ь=-—оо. |
|
|||
Пример. На основании решений, |
полученных в § 19, |
проведем |
||
расчет конического |
кессона, |
нагруженного перерезывающей си |
||
лой Qo в поперечном сечении z=tn (см. фиг. 52). Кессон подкреплен продольным набором (стрингерами) и поперечным набором —
системой диафрагм |
(нервюр), обеспечивающих жесткость контура. |
||||||
Торцовые сечения отстоят |
от |
вершины конуса на |
расстоянии 1= |
||||
= 213,5 |
см; т=93,5 см. |
|
|
Размеры торцового сечения |
|||
Длина кессона L=l—m=120 см. |
|||||||
z = l следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
= 18 |
см; tZ2 = 60 см; |
§2 = 0,2 см; |
|
§2=0,3 см.; |
Д7Г=3,5 см2. |
||
Угол |
конусности |
в |
плане |
а=16°. Материал |
кессона — дур- |
||
алюмин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
£=0,7.10+6 кг/см2, |
^ = —=2,67. |
|
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
а |
|
Характер закрепления торцовых сечений: z=Z—жестко заделано, z=m — свободно депланирует.
Подсчитаем геометрические характеристики, необходимые для решения рассматриваемых задач:
Fx = dfix = 3,6 см2;
F2=d2&2 = 18 см2;
Jx=.d2(^ + ^-+ д/) = 4244,4 см4;
139
Условие |
Ci |
С2 |
|
||
1 |
4-Л2 |
+/3 |
2 |
— 1 |
0 |
3 |
0 |
— NP |
|
|
/ т \—1 |
4 |
|
+2<т) |
|
|
|
5 |
+ 1 |
0 |
6 |
-[-£2 |
0 |
Таблица 17
Система уравнений для определения постоянных интегрирования
Сз |
с4 |
С5 С6 |
Правая часть |
0 |
0 |
+Р |
0 |
+ /3 |
+ р |
0 |
0 |
р |
|
+ NP 4-1 |
|
- — (Р-М) |
к |
||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
/ т \—* |
/ т \+* |
0 |
0 |
|
+(*’—1)PQ—) |
||
|
12PXG (Z — b)P \ |
6 |
l) |
|
|
+------------------------ |
Гр (2 — — Л — 6 — ] |
||||
^4P1G(Z-6)(P — 3)Р[ |
\ |
1 |
) |
/] |
|
?0/2 [3(3—Л1Н-ЛЧР—3)] |
qolb \2(M+N) + ТУР] |
||||
24p!G(Z—6)(Р —3) |
|
4P1G(Z—й)Р |
|||
. |
?</2 Г/ т\+ 2 _ з £. |
|
1 ] |
||
. |
12PiG (l — b) L\ I J |
|
Z\Z/ |
J |
|
_ _________4q!2_______ _ /21V 2
4Рхв(1— b)(P — 3) \Z/
0 |
0 |
__ Qo |
, ____ QqP |
’/ m \ + 2 |
. b / m \+1 ] |
|
0 0 |
4FjG(Z- b) |
(t) |
-27h) |
] |
||
|
|
2F}G |
|
|
|
|
с=^=1,145;
Ь22 = 2 (с2А; + F2) = 45,44 см2;
/ |
-F'2 |
£___3 |
|
= 5235 см4; |
||
|
<5 |
2 |
2 |
|
|
|
JV = 2-^ =28,96; |
|
|
|
|||
|
1<P |
|
26,885; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я* |
^22^ |
|
148,19; |
|
|
|
М |
= ~—■ = |
|
|
|
||
k = i f1 |
-±^-=10,881; |
|
|
|
||
|
|
|
117,4. |
|
|
|
Для граничных условий (1.386) |
находим постоянные |
интегри |
||||
рования: |
|
|
|
|
|
|
|
С1== —1,1731 - Ю-3^-; |
С4= —9,9924-10~6 —; |
|
|||
|
|
|
G |
4 |
G |
|
|
С2= +2,5904-10~4 —; |
С,= + 9,2396 -10~4 —; |
|
|||
|
2 |
|
G |
а |
G |
|
|
С3= - 1,056 • 1СН°—; |
С6 = -2,264 |
|
|||
|
3 |
|
G |
6 |
G |
|
Нормальные напряжения вдоль ребра А кессона (фиг. |
54) опре |
|||||
деляем по формуле (1.379), переходя для функций контурной коор динаты от текущего к фиксированному сечению при помощи зави симости (1.344).
|
<Pi (sh=-y = 9 см; |
<®2 ($)л = с ^- = 10,305 см. |
|
||||
|
Бимоменты в сечениях кессона вычисляем по формуле |
(1.380). |
|||||
|
Анализируя влияние каждого |
слагаемого в |
формулах |
(1.379), |
|||
(1.380), нетрудно' заметить, |
что |
член, включающий постоянную |
|||||
интегрирования |
С3, |
содержит |
относительную координату z—zH |
||||
в |
наибольшей |
по |
абсолютной |
величине отрицательной |
степени |
||
-х |
=—(/г+2) и |
поэтому играет |
роль только в |
непосредственной |
|||
близости от торцового сечения z=m, где бимомент или бимомент ные напряжения несущественны. Поэтому этим членом в практиче ских расчетах можно пренебречь.
Результаты расчета нормальных напряжений и бимоментов при
ведены в табл. 18. На фиг. 54 |
построены графики изменения <Ts , |
% вдоль ребра кессона, а на |
фиг. 55 — график изменения бимо- |
141
142
мента B(z) от силы Q = 1 вдоль кессона (пунктирные кривые соот ветствуют расчету при С3=0). На фиг. 54 приведены также графи ки изменения отношения бимоментных напряжений к напряжениям, распределяющимся по закону плоскости (т]=Ов/с?,).
Эпюра суммарных нормальных напряжений по контуру жестко заделанного сечения кессона показана на фиг. 56. Ввиду симметрии относительно оси у и антисимметрии относительно оси х графики построены только для четверти контура. Пунктирные прямые соот ветствуют напряжениям, вычисленным по балочной теории.
Фиг. 56. Эпюра суммарных нормальных на пряжений ио контуру кессона в сечении за делки.
Сравним значения бимоментов и бимоментных напряжений ко нического и призматического кессонов равной длины. Геометриче ские характеристики сечений призматической оболочки совпадают с соответствующими величинами широкого торца конического кес сона. Призматический кессон, так же как и конический, нагружен перерезывающей силой Qo на свободном конце. Решение для приз матического кессона нами получено в гл. III [формула (1.68)] и в § 10 [случай (с)].
Нормальные напряжения в призматическом кессоне вычислялись по формуле
В (г)------------- |
Q‘VtJ‘*______ sh kz, |
где
= 5,075-10-2 or1;
z—-продольная координата, отсчитываемая от свободного торца. Величины бимоментных напряжений вдоль ребра А (см. фиг. 54)
п бимоментов в сечениях призматического кессона приведены в табл. 19. На фиг. 57 и 58 построены графики бимоментных напря-
143
144
№ сечения на фиг. 54 и 55
Z
см
1
KZ CM Z
ав
кг см~^
’S=ayl+°B
кг см~ 2
С3=о
~°В
кг см~'2.
С 3=0
кг см *
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 18 |
|
|
|
|
|
Конический кессон |
|
|
|
|
|
7 |
|
6 |
|
5 |
|
4 |
3 |
|
2 |
1 |
т=93,5 |
113,5 |
133,5 |
153,5 |
173,5 |
193,5 |
1=213,5 |
||||
0 |
-1,5007 • 10- |
—2,1694 • |
10— '(?„ |
-2,4612 • 10- >Q0 |
-2,5688 • 10“'Qo |
—2,5905 • IO- |
—2,5445 • 10“ |
|||
0 |
-6,7937 • |
10~ 3Q0 |
-6,7632 • 10“3(?„ |
-7,1683 • IO-3<?„ |
—1,0152 • 10~2Q0 |
-1,9677 - 1O-2Qo |
-4,4224 • IO2Q8 |
|||
0 |
-1,5686 |
■ |
10“ 1<?„ |
—2,237 . |
10~ |
—2,5329 • IO-’Qo |
-2,6703 • 10“ '(Jo |
—2,7873 |
• IO- ’Qo |
—2,9867 ■ IO- ’<?„ |
—9,2918 • 10“3Q0 |
-7,7228 |
• 10“3Q0 |
-6,8878 • IO3Q0 |
—7,1942 ■ IO-’3<?0 |
-1,0159 . 10~2<?0 |
-1,9678 |
■ 10—2Q0 |
—4,4224 • 10~2Q„ |
||
-9,2918 • 103Q0 |
-1,5779 • |
10- !Q„ |
-2,2383 • |
10“ |
—2,5331 ■ 10~'Qo |
-2,6704 ■ lO-'Qo |
—2,7873 • IQ-^o |
-2,9867 • lO-’Qo |
||
4=^- |
|
4,5 |
|
2,9 |
|
|
|
|
|
afl |
0, 0 |
3,1 |
4,0 |
7,6 |
17,3 |
||||
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в (2) |
0 |
+ 9,7544 • 10- |
+ l,3412<?0 |
+ 1,8828Q„ |
+ 3,4103Q„ |
+8,2107Q„ |
+ 2,2466 • |
10 ’ |
|
кгсм |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С3=0 |
+ 9,053 • IO""'Q, |
+l,1088Qo |
+ 1,3681Q„ |
+ 1,8896Q„ |
H-3,4122Q„ |
+ 8,211QO |
+2,2466 ■ |
lO+’Q, |
|
В (z) |
|||||||||
кгсм
жений и бимоментов при стесненном изгибе конического и призма-
Фиг. 57. Графики бимоменггвых напряжений.
планаций за счет заделки, но и внутренним стеснением в удален ных от нее сечениях благодаря конусности оболочки. Наибольшего
Фиг. 58. Графики бимоментов.
го торца кессона бимоментные напряжения достигают 6% от на пряжений, определенных по балочной теории.
10 |
428 |
145 |
Призматический кессон_______________________ ______________ Таблица 19
№
сечения |
Z |
0<Pi |
°в |
°s |
’vi |
В (z) |
на фиг. 57 |
см |
кгсм~2 |
кгсм—Ъ |
кгсм~2 |
кгсм |
|
и 58 |
|
|
|
|
% |
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
20 |
- 4,241 10-2Q0 |
— 2,4117-10—4Q0 |
— 4,2651-10-2Q0 |
0,57 |
—1,2252-IO-'Qq |
5 |
40 |
— 8,482-10-2Q0 |
— 7,5274-10-4Q6 |
— 8,5573-10-2Q0 |
0,89 |
-3,825-Ю-iQo |
4 |
60 |
— 1,2723-10-iQo |
— 2,1093-10-3Q0 |
— 1,2934-10-]Q0 |
1,66 |
— 1,0715-Qo |
3 |
80 |
— 1,6964-10-iQ0 |
— 5,8319 - 10-3Q0 |
— 1,7547-1O-1QO |
3,44 - |
— 2,9626-Qo |
2 |
100 |
- 2,1205-10- 1-Q0 |
— 1,6133-10—2Q0 |
— 2,2818 -10—1QO |
7,6 |
— 8,1958-Qq |
1 |
120 |
— 2,5445-10—!Qb |
— 4,4413-10-2Q0 |
— 2,9886-10-!Q0 |
17,4 |
— 2,256210+iQo |
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
РАСЧЕТ СТРЕЛОВИДНЫХ КЕССОНОВ
Глава IX
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ОБОЛОЧЕК ТИПА КЕССОНА СТРЕЛОВИДНОГО КРЫЛА С ЖЕСТКИМ КОНТУРОМ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
§ 20. Расчет стреловидного кессона с жесткой заделкой
Рассмотрим консольную цилиндрическую оболочку, косо заде ланную одним торцовым сечением и нагруженную на другом тор цовом сечении поперечной силой и внешними изгибающими и крутя щими моментами (фиг. 59).
Будем считать, что рассмат
риваемая призматическая |
обо |
|
||||
лочка |
подкреплена |
системой |
|
|||
нервюр и обладает поэтому не- |
|
|||||
деформируемым |
контуром. |
|
||||
Оболочка может иметь также и |
|
|||||
продольный набор из стринге |
|
|||||
ров. Передняя торцовая нер |
|
|||||
вюра, передающая на оболочку |
|
|||||
приложенные к ней |
внешние |
|
||||
нагрузки, |
является жесткой |
в |
|
|||
своей плоскости и гибкой |
из |
|
||||
плоскости. |
Поперечное сечение |
|
||||
оболочки |
имеет две |
оси |
сим |
|
||
метрии: |
горизонтальную |
Ох и |
|
|||
вертикальную Оу. |
|
|
|
Фиг. 59. Расчетная модель стреловидной |
||
Решение задачи для стрело |
оболочки. |
|||||
видного кессона сложнее, чем решение аналогичной задачи для обычного прямоугольного кес
сона. В стреловидном кессоне усилия, изгибающие оболочку, одно временно и закручивают ее. И, наоборот, крутящий момент, дей ствующий на оболочку, порождает в поперечных сечениях, близ ких к заделке, изгиб. В таких кессонах изгиб не отделяется от кру чения. Теряет смысл введение понятия о центре изгиба и оси же сткости конструкции.
Применяя изложенную в предыдущих разделах теорию к расче ту стреловидных кессонов, представим искомые продольные и попе
10* |
147 |
речные перемещения точки М как из плоскости, так и в плоскости поперечного сечения (см. фиг. 59) в форме
«(г,5) = £/1(г)ф1(5) + ^2(г)?2(«)-+-^з(г)сРз(5); 1 |
(2 |
||
v (г, s) = V1 (z) 4»! (s)+ V2(z) ф2 («)• |
/ |
|
|
Точность |
решения задачи вариационным |
методом зависит от |
|
числа членов |
выбираемого ряда функций. |
Чем больше |
членов |
вряде, тем точнее получится решение и наоборот.
Внастоящей работе разрабатываются приближенные методы решения задач, поэтому для простоты мы ограничиваемся в выра жениях (2.1) принятием небольшого числа членов ряда.
Выбор аппроксимирующих |
функций |
Функцию <pi(s) выберем в виде |
|
©1(s)=j(s), . |
(2.2) |
отвечающем закону плоских сечений.
Желая уточнить теорию изгиба оболочек, построенную на гипо тезе плоских сечений, введем дополнительный обобщенный компо нент перемещения cp2(s), относящийся к депланации сечения от изгиба поперечной силой.
Эпюра выбранной функции <рг (5) должна быть самоуравновешенной. Эта функция должна отражать деформации сдвига, происходя щие в оболочке при изгибе.
Чтобы упростить решение |
стреловидного кессона и |
облегчить |
|
работу по вычислению коэффициентов |
уравнений (1.7), |
аппрокси |
|
мирующую функцию ф2(«) |
(фиг. 60, |
б) удобно принять в таком |
|
виде: |
|
|
|
?2(s) = ±(y±^) + c?i; |
(2.3) |
||
сdxd2F2
Функция <р2С$) ортогональна с функцией cpi(s) (фиг. 60, а, б). Функция <p3(s) соответствует обобщенной депланации сечения
z=const, возникающей при кручении, и выбирается |
(фиг. 60, в) |
в виде |
|
©3(s)=x(s)j/(s). |
(2.4) |
Эпюры производных ср/ (7=1, 2, 3) от выбранных функций даны на фиг. 60.
Функции ф&(5) (^=1> 2) определяем следующим образом:
61(s)=y(s). (2.5)
148