книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

ФУ1П (0) = (а2 _ р2) [(а4 + £4 _ 6а202) ( _ 2а0) - (4а03 _ 4j30) (02 _ а2)] 4.

4- 2а0 [(а4 4- 04 _ 6а2р2) (02 _ а2) 4. (4сфЗ _ 4а30) (_ 2а^)];

ф4(0) = 1;

ф4(0) = -«;

. Ф4(О) = а2-02;

ф" (0) = За 2 —аЗ;

ф|У (0) = (02 _ а2) _ 4а202;

Ф4' (0) = — (а2 _ 02) (а3 — За02) 4- 2а0 (За’0 - 03);

ФУ1 (0) = — (Я2 _ 02) ( _ а4 _ 04 4. 6а’02) + 2а0 (4а03 _ 4а30);

ФУ11 (0) = — (а2 _ 02) [(а4 4- 04 _ ба’02) а 4. (4а?3 _ 4а30) 0] 4.

4-2а0 [(4а30 — 4а03) а 4-(а4 4-04 _ 6а202) 0];

ФУШ (0) = — (а’ — 02) [(а4 42 04 _ 6а202) (02 — а2) 4- (4а03 _ 4а30) ( _ 2а0)] +

4- 2а0 [(4а30 — 4а03) (02 _ а2) 4. (я4 4- 04 _ ба’02) (_ 2а0)];

ф3(/) = g-^sinpZ; .

фд(О = РФ4(0 -°ф3(0;

Фз (0 = ф3 (О (“2 - 2) - 2а ф4 (О;

ф; (/) = (а2 - 02) [0Ф4 (/) - аФ3 (/)] + 2а? [0Ф3 (Z) + аФ4 (Z)];

ф'у (Z) = (а2 - 02) [а2ф3 (/) - 2а0Ф4 (Z) - 02Ф3 (Z)] +

+ 2а0 [02ф4 (/) - 2а0Ф3 (Z) - а2ф4 (/ )];

ФУ (О = (“2 - Я 13а’ Ф4 (/) + За?2ф3 (/) _ а3ф3 (/ ) _ 03ф4 (/)] 4-.

4- 2а0 [аЗф4 (/) - 03ф3 (/) _ Зг02ф4 (/) 4. 3а20Ф3 (Z)]:

ФУ1 (Z) = (а2 _ 02) [(я4 + 04 _ 6а202) Ф3 (Z ) -]- (4а?3 — 4а30) ф4 (/ )] 4.

4- 2а0 [( — а4 _ 04 4- 6д202) Ф4 (/) 4- (4а03 — 4а30) Ф3 (/)];

ФУИ (Z) = (а2 - 02) {(а4 + 04 - 6а202) [0ф4 (/) _ аф3 (/ )] _

_ (4а03 _ 4а30) [0ф3 (/) 4. аф4 (/)])_]_ 2а0 {(а4 + 04 _ 6а202) [0ф3 (/ )

4- аФ4 (Z)] + (4а03 - 4а30) [0Ф4 (Z) - аФ3 (Z)} ;

ФУШ (Z) = (а2 _ 02) {(а4 + 04 _ 6а202) [а2ф3 (Z)- 02ф3 (Z) -

—2а0Ф4 (Z)] — (4а03 — 4а30) [02ф4 (Z) - а’ф4 (/) -

-2а0Ф3 (/)]}+ 2а0 {(а4 + 04 _ 6а202) [02ф4 (/) _

—а2ф4 (Z) — 2а0Ф3 (Z)] 4- (4а03 — 4а30) [а2ф3 (/) —

- 02 Ф3(/)_2а0Ф4 (/)]};

Ф?/) = -[?Фз(О + аФ4(0];

Ф4(О = (“2-?2)Ф4(О + 2а0ф3(/);

239'

«4 (0 = - (“' ~ Р2) [ ф3 (О + *ф4 U )] + 2а [ Ф4 (Z ) - аФ3 (Z) j;

ФГ (0 = ~ (а2 - 2) [32Ф4 (Z) - 2а|5Фз (Z) - а2ф4 (Z )] -]- 2а? [а2Ф3 (Z ) -

-2арФ4(О- 2фз(/)];

ФУ (О = - (а2 - 2) [а3ф4 (Z) - 3ф3 (/) _ Зз 2ф4 (Z) 4. 3^ (/)] _|_

+ 2а [ - «ЗФ3 (Z ) - ЗФ4 (Z) + За2рФ4 (Z) Зар2ф3 (/ )];

(Z ) = — (а2 - 2) [( _ а4 _ £4 6а2р2) ф4 (/) Ц. (_ 4азд 4арЗ) ф3 (/ )] _|_

+ («4 + 4 - 6а2р2) [ЗФ4 (/) _ аф3 (Z )]};

4>У‘11 (I) = — (а2 — 2) {(а4 4- J34 — 6а2 2) [ 2ф4 (Z ) _ 2а Ф3 (Z ) —

~ *2ф4 (01 + (М3 -40 [а2ф3 (/) - 2ф3 (/ ) _

-2a ®4(Z)]}'+2a {(4аЗр —4ярЗ) [р2ф4(/)_

- 2а Ф3 (Z) - а2Ф4 (Z )] + (а4 4- 4 _

- 60) [а2ф3 (Z) - 2ф3 (Z ) _ 2арф4 (/)]}.

Решая совместно систему алгебраических уравнений (3.42), для „постоянных интегрирования получим выражения:

'3“ Ло ’

,QB

,__ QB .

'5— . ’

(3.44)

C6-= Q- (ЛД51-£Д524-£Д53);

С7—5д12+

й0а14

240

Здесь коэффициенты А, Б, В и До находятся по формулам:

\Д14

+5(а6з—Д13 —

\“14

Определение нормальных напряжений

Нормальные напряжения определим из равенства

Беря производные из выражений (3.39), имея в виду уравнения (3. 44) и равенство (3. 47), получим окончательную формулу для определения нормальных напряжений в четырехзамкнутой кессонной конструкции:

о(г, s) —f{C3 [£3Ф3У1 (г) + £2ФГ(г) 4-Л^з' (г)] ?1 +

+[£3ФУ1 (z) А2Ф1у (г) + /,1Ф4 (г)] <?! + 4- (C5L$z + Q2A0 ?14С3 [Л5ФГ (г) 4-

+(*)] ?2+ С4 [Л5ФГ (z)4-M>f(z)] ?24-

4- С3 [А7ФГ (г) 4- L6ФГ (z)] Тз + С4 [£7®Г (z) + £6ФГ (г)] ?3}.

.48)

Эпюры аппроксимирующих функций <pi(s), <p3(s) и (p3(s) пока­ заны на фиг. 87.

2. Пусть теперь s<^r.

В этом случае частные решения уравнения (3. 25) будут пред­ ставлены равенствами (3.31).

При удовлетворении граничных условий при z=l можем прирав­

В этом случае общий интеграл дифференциального уравнения (3. 25) примет вид

+ ^io(^2®2 4-Ci<bi-]-6C5z + 2Cs') 4-

+ (С2®2 + С4Ф4 + C5z3 + C6z2 -j- C7z-{-Cs),

где коэффициенты Llt L2...LU представлены формулами (3. 37), а функции Ф (с) и их производные приведены в табл. 27.

Таблица 27

Функции Ф(г) и их производные

Постоянные интегрирования Сь С4, С5... С8 определяем из гра­ ничных условий (3.40) и (3.41), раскрытых с помощью равенств (3.51). Необходимые частные значения функций Ф(г) приведены в табл. 28.

242

Таблица 28

Частные значения функций Ф(г) и их производных при г = 0 иг = /

^2Д11 4~ ^4Д12 4" Q'Д]3 ~Ь ^'7Д14 ~ 0;

^■2Д21+ С4Д224~ С5Д23 —0;

С2д31 4- С4дз2+ С5д33=0;

(3. 52)

G Д41 + ^4Д42 + С5д4з + С6Д44 = 0;

^2 Д51 + ^4 Д52 + ^5Д5з + С6Д54 = 0;

С2Д614С4д62+ С5Д63 + С6д644? С7Д65 — — Q,

где коэффициенты дп, д12 . . . д65 вычисляются по формулам:

дп = а3Ф2у (0) + л2Ф2” (0) +ДФг (0);

Д12= L,фУ (0) + 4Ф; (0) + £,ф; (0);

Д13 = 6Z,2;

Д14 = £р

Д21=£5ФУ(0) + £4Ф2(0);

A22=Z5®4v(0) + zX(0);

Д2з = 3£4;

д31 = Л7Фу(.0) + Л6Ф2'(0);

Д32 = £7ФУ(0) + Л6Ф; (0);

Д3з = бЛ6;

д41 = Д8фГ (0) - Л9Ф1У (0) + £10Ф"2 (0) + £ПФ2 (0);

Д42= ^ФГ (0) - £эфГ (0) + £1оф;(О) + £ПФ4 (0);

Д43—2£ 18;

+ Ф4(/)[с1/1 + г11£11]+г11£8фГ1(/)};

Дбз“ $ (б^ц£2 + 3c11Z.1/2 + 6c12Z4 + 6c13Z6-f-

+ 6r11Z104-3rI1Z11/2);

A64 = f?(2c11£1/ + 2r11Z11/);

Д65 = О (Сц£1 + Г11^11) ■

244

Решая совместно систему алгебраических уравнений (3.52), по­ лучим все остальные постоянные интегрирования:

QE .

до

=QB

Д0Д54

^7 — , д С^п — БД12 + вд18);

д0д14

Здесь А, Б, В и До определены равенствами (3. 45) и (3. 46), Используя выражение (3.47), после некоторых преобразований

получим окончательную формулу для определения нормальных на­ пряжений:

Таким образом, здесь мы рассмотрели два случая решения си­ стемы дифференциальных уравнений (3. 19). Изложенный способ является общим, и его можно применять при решении подобных за­ дач с любым числом аппроксимирующих функций. Однако решение получается довольно сложным и трудоемким.

Если внимательно проанализировать систему дифференциальных уравнений (3. 19), то легко выделить -уравнения изгиба, соответ­ ствующие гипотезе плоских сечений, и уравнения (второе и третье), связанные с депланацией сечений. Такое разделение значительно упростит решение дифференциальных уравнений (3. 19).

Рассмотрим иной путь решения дифференциальных уравнений

245

Равенством (3.57) представлено известное уравнение изгиба оболочки, соответствующее гипотезе плоских сечений.

Интеграл этого уравнения будет

AjZ А3

(3. 58)

2l«u 7«п

Исключая из второго и третьего уравнений (-3. 19) Ui и V'i при помощи формул (3. 56) и (3. 58), получим дифференциальные урав­ нения, связанные с депланацией сечений:

Обозначим

(3. 60)

Перепишем теперь уравнения (3. 59) в новом виде:

fa22f/2— CXU2— C2U3-\- AYrj = 0;

(3.61)

74X33^/3 C2U2 C3U3 4- Af2=0.

Общее решение дифференциальных уравнений (3.61) предста­ вим в такой форме:

U2(z) = Ul(z) + U§(z),

(3.62)

U3(z)=U°3(z) + UUz),

где U°(z) — общее решение уравнения (3.61) без правой части; 77° (г) —частное решение уравнения (3.61) с правой частью,

зависящей от внешней нагрузки.

246

■ Частные решения найдем из следующей системы уравнений:

Подставив выражения

и2=иа2-, и'3=и3, и"2=и2-, lA=UT

в уравнения (3. 61),. получим после очевидных математических пре­ образований систему двух дифференциальных уравнений относи­ тельно искомых функций t/2°(z) и U3°(z).

ia22U%

(3. 69)

~[a33U3 - c2U°2 - Сзи°=0.

Из-этой системы находим общее решение уравнений (3. 61) без правой части. Введем в рассмотрение некоторую функцию F(z) и вы­ разим через нее искомые обобщенные перемещения U2°(z) и П3°(г).

U°2=-L23F(zy,

(3.70)

U3 = L22F(z),

где

247

Приведем систему дифференциальных уравнений (3.69) изло­ женным выше способом к одному уравнению относительно новой функции F(z):

Fw—2rlF"-\-siF=0. (3.72)

Упругие характеристики г и s вычислим по формулам:

^2 ДггСзН-йззС! .

2т«22^зз

(3.73)

CiC3-C2

54 — 9

Га22а33

Решение дифференциального уравнения (3. 72) проведем приме­

248