книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла
.pdfписанных в этих таблицах, сводится к определению только 10 посто янных интегрирования. Остальные 10 постоянных будут представлять известные величины, которые найдутся из условий закрепления
сечений z=0 и z=0.
Определение произвольных постоянных интегрирования
Имея в виду принятую нами расчетную модель (фиг. 49, б и 50), интегралы дифференциальных уравнений, представленные в табл. 22
и 23, а также краевые условия в сечениях z=0 и z=0, получим: при г=0
< = М |
| |
|
Я0 = Я, |
} |
(2.143) |
25о=0, |
I |
|
хо~0’ J |
|
|
при z — 0 |
|
|
= |
| |
|
яо=о, | |
|
|
Я01 = 0, |
! |
(2.144) |
Я02~0, | |
|
|
Цо—0- J |
|
|
Тогда интегралы дифференциальных уравнений (2. 138) и (2. 139), выраженные через начальные параметры и представленные в табл. 22 и 23, примут вид:
для оболочки центроплана
^=4?-; |
|
I |
|
|
P1 |
= -®L + V0,; |
| |
|
|
1 |
1 |
01 |
1 |
■ |
_______ |
) |
(2.145) |
||
|
х (^) “Ь |
В (<SQj |
I |
|
^2 = *qKu х(^) |
|
| |
|
|
Й = % — хо/Ох (z) — ВйКъ в (z). j
14 |
'428 |
209 |
Формулы для продольного и поперечного бимоментов центро
планной оболочки будут: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(^) ~\-В0Квв (г); | |
|
(2 |
|
для стреловидного кессона |
|
|
|
||||
^==-^-+— + ^00 |
' |
I |
|
||||
1 |
2EJX |
EJх |
01 |
|
|
|
|
v1=р |
W. 6EJX J 2EJX |
У°'; |
|
|
|||
|
|
ККГ ~ |
|
|
|||
х=-адо(г)-Я^я(г) + ^о^с(г); |
| |
|
|||||
В2=(2) |
Н^ин (г) Н“ Qo^uq (г)> |
I |
|
||||
0 = ад и (2) + 60+НК. н (г) - QqK. Q (г). ] |
|
||||||
Формулы для продольного и поперечного бимоментов кессона |
|||||||
примут вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
В = UQJ^ви (г) 4~ ГКbh^z} |
Qo^bq^z)’ |
1 |
/2 148) |
|||
|
Q — —U02Kqu (z)-HKqh(z) + Q0Kqq(z). j |
|
|||||
Физический смысл геометрических и статических |
характеристик |
||||||
стреловидной оболочки описан в предыдущем параграфе. Величины, относящиеся к оболочке центроплана, имеют следую
щий физический смысл:
Ur (г), Ц (г) —искомые |
обобщенные продольное и поперечное |
|||||||
|
|
перемещения точек сечения оболочки центро |
||||||
|
|
плана; |
|
|
|
|
|
|
|
(У2 (г) —депланация поперечного сечения; |
|
||||||
|
■z (г) —деформация контура поперечного сечения; |
|||||||
|
ё(г) — угол закручивания |
сечения; |
|
|
||||
|
Ро — перерезывающая сила |
в поперечном сечении; |
||||||
|
/И — изгибающий момент в |
поперечном сечении; |
||||||
|
Н„ — крутящий |
момент в |
поперечном |
сечении; |
|
|||
б/01— продольное перемещение |
] |
|
|
|
|
|||
V01 — поперечное перемещение |
|
|
|
|
|
|||
-.° |
—деформация контура |
|
в |
сечении |
- |
- |
||
r |
J |
|
} |
z = 0 |
оболочки |
|||
ий2-депланация от кручения |
центроплана |
|
||||||
90—угол кручения |
|
I |
|
|
|
|
||
Во — продольный бимомент |
|
|
|
|
|
|||
Фо —поперечный бимомент |
, |
|
|
|
|
|||
210
1
Afzx (z) = ch az cos '$z + Zap sh az sin pz;
K-, B(z) — -=1= sh az sin 8z;
V 1 2a a
Ku г (z)=4L (a ch az sin $z — p sh az cos $z);
|
2ap |
|
|
(г)= 2-p--2 |
[(a3 Зар2) ch az sin pz |
||
|
|
— (3a2p— p3) sh az cos pz]; |
|
A'e «(z)=—Д272 |
sh az sin pz; |
} (2.149) |
|
|
|||
Kub(z) =---- (2ap~2a{3 ch az cos bz-FAshaz sin pz); |
|||
|
2a(3 |
|
|
Кв Az) = — A2sh az sin $z; |
|
||
— _ |
--- |
^2 _ |
_ |
Квв (г)= ch az cos ?z ~~ ~ sh az s’n |
|
||
|
|
2ap |
|
Kq * (z) = д2 (a ch az sin pz + p sh az cos pz); |
|||
(г) =~^ (a ch az sin pz — p sh az cos pz). |
|||
|
2ap |
|
J |
Все коэффициенты выражений |
(2. 149), помеченные чертой, вы |
||
числяются по тем же формулам, что и в предыдущей задаче. Однако при расчетах в эти формулы необходимо подставлять геометрические размеры, относящиеся к оболочке центроплана.
Следовательно, выражая постоянные интегрирования через на чальные параметры, удается свести рассматриваемую краевую задачу к интегралам (2. 145) и (2. 147), куда_входят_10 произвольных
постоянных интегрирования 1/оь ^02, V«i, Vei, Оо, 0о, х0, Qe, М, Во. Эти постоянные определяем из граничных условий в сечении стыка центроплана со стреловидной оболочкой (фиг. 84).
В сечении 1-2-Г-2 в соответствии с принятой нами расчетной моделью граничные условия будут состоять из:
1) условий совместности перемещений в точках 1, 2, Г, 2' в на правлении горизонтальной оси (фиг. 84, а). Нижние панели оболо чек работают аналогично верхним, поэтому условия будем записы вать только для точек 1 и 2;
2) |
равенства |
виртуальных работ |
слева и справа |
от |
сечения |
||
1-2-2'-!' _(фиг. 84,6), совершаемых нормальными |
силами |
оИДр dF |
|||||
и о» „(3dF на возможных перемещениях <pi (s) и cps(s) |
в первом случае |
||||||
при i/i(z) = l; £72(z)=0, |
а во втором — при t7i(z)=0; [/2(2) = 1; |
||||||
3) |
равенства |
нулю |
поперечных |
перемещений |
в |
направлении |
|
1-1' и 2-2'-,
14* |
211 |
4) равенства нулю поперечных перемещений слева и справа от стыка в направлении 1-2.
Эти условия аналитически запишутся так:
1)Uj (-1, sj — «! (Zp 5j) cos x — 0 (г1; Sj) sin X —
—x(2r1,s1)sinx=0;
2)n2 (— Л s2^— к2 (г2’ s2) cos — 6 (г2, s2) s’n X ~
—x(z2, s2) sin 7- —0;
3)^(3ЛЛев-°я np) ^dF = 0;
4) |
ф (Зл лев |
°л Пр) <p2 dF |
0, |
|
5) |
/ |
|
Ч O |
(2.150) |
vlv |
(Sj.Sn- )=0; |
v |
||
6)V22'(Z2, s22-) = 0;
7)г»ц< ( — I, Su-) —0;
8)( —Z,s22') = 0;
9)5/1(^)?1(s12)sinx + t/2(2:i)'P2(si2)sinz + 6(21) X
Хф0($12) |
г x (г1) Ф» (si2) |
=0; |
cos 7 |
|
ccs X |
10) b(_/)Шф7(-Z)^x(F12)=0.
Фиг. 84. К граничным условиям в месте стыка оболочек центроплана и консоли.
Определение нормальных напряжений <т«, действующих в сечении 1-2-F-2' (см. фиг. 84, б)
Нормальные и касательные напряжения в оболочке определяются зависимостями
a (z, s) =F^Ui (z) <p; (s);
(2.151)
-t (z, s) = G [:£ Ui (z) (s) + £ V'k (z) Ф* (s)].
212
Раскрывая эти выражения при помощи соответствующих инте гралов (2. 146), получим формулы для определения нормальных и касательных напряжений в площадках, перпендикулярных оси z стреловидного кессона:
|
az = ~ ?i +у^Ъ + Еио |
|
+ |
+ |
|
+ НЕ^2а — г2 ) фз?2 — НЕг2) ФД2+ |
|
||
|
+ 30£^Ф1?2+$0£^-фз?2. |
|
(2-152) |
|
|
хЛр |
|
|
|
т |
+на^ - HG &г2+а _ J Р) ф^з+ |
|||
|
\хар |
zp |
Z-Л |
/ |
|
+//ga^-H2) ф4'М- ийо (-£ Р - -” а -Й) фА+ |
|||
|
\ zc* |
zp |
х<*р/ |
|
+ <4“л(«!+ !) ФА+ОоО [i+ФЛ*
“Ь ^0$ ( ТГ" Р —'од' |
Ф4^2 Qo^l2®2^2"b |
|
\ 2а |
2? |
/ |
Г(а2 — 3g2) |
(3a2-p2)-| |
Ф2^3- |
(2.153) |
+Q0o [ 2as4 |
2as* J |
||
|
|
|
Теперь определим величину нормальных и касательных напря жений в сечении 1-Г-2-2'. Для этого воспользуемся формулами те ории упругости.
Известно (см. фиг. 71), что |
|
3„ = 3zcos2Z4^sin2z-;-2'sinZcosz; |
I (2.154) |
^a^sin/cosz — 02sinZC0SZ — т sin2Z~И COS2Z. J
Напряжением <rs пренебрегаем ввиду его малости. Подставив формулы (2. 152) и (2. 153) в (2. 154), получим
?! cos2/ + <]>! sin 2Z + у- Ti cos2/ +
Jx |
Z‘ 1 |
Jx |
+ ийЕ |
Ф3ср2 cos2 x - ийЕ |
Ф1?2 cos2 z + |
+ EH ^2a- |
H ) Ф3?2 cos2 x — HE (y2^ + -g- r2^ ®1Cp2cos2x + |
|
4- Q0E -L ®!?2 cos2 X + Q0E -i- фз?2 cos2 x +
2a3
4- U0G \ ZCC P - Zp a - ZuCp/ Ф4Ф3 sin 2x 4- u0G^2 (a2 -f- [<2) Ф4ф2 sin 2/ -p
213
+ HGs^2 (a2+ P2) Ф4Ф2 sin 2x — НСъЪг. sin 2/ — |
|
||
“HG (Д Г" + 2^a ~ 2? Р) Ф^3 sin 2/ + |
sin 2Z + |
||
J-DgT 1 _L “(a2 —302) |
3(3^2 p2)T |
. |
|
+ Q° ' K+~^~' \J ] |
ФЛз Sin2X + |
|
|
+ $°G ( 2^ ~ 20 “) ф^2 sin 2z “$о°Т2ф2Ф2sin 2Z + |
|
||
, ^[(*2— 302) |
(3a2_p2)-| |
„ |
|
|
W>s'n2z- |
(2. 155) |
|
Определен и е_^и вгибающего момента М
ибимомента В в оболочке центроплана
всечении 1-2 (см. фиг. 70)
Изгибающий момент и бимомент будем выражать через работу
элементарных нормальных сил на возможных перемещениях tpi(s) и ф2('«). Из третьего и четвертого' граничных условий (2. 150) видно, что
(2.156)
&=-$W2dF. (2.157)
Подставляя в эти формулы значение <т„ из выражения (1. 155), учитывая фиг. 72 и беря интегралы по всему замкнутому контуру поперечного сечения 1-2-2'-!', получим
м = Plt cos z + /И cos х + Н sin /; |
(2.158) |
|||
В = — C0s2xA + HE ^2a — |
r2) cos2 x4 |
|
cos2xi3 + |
|
|
|
|
|
|
+ HG^2(a2 + P2) sin 2x<4 + HGr2 4- -g- a — |
p) sin 2/14 ф- |
|||
+ U0Efa - ~Vos2 x«2 - U0Efp + -J) cos2 хФ — |
||||
\ |
2a / |
\ |
2p / |
|
-^o°(v |
zap/ |
sin + |
(a2 + P2) sin 2Zi4 + |
|
\ za zp |
|
|
|
|
-i-Q„Ecos’v, + cos'il,-Qfi-
—EWL]sln2»-+<3»Q[i ф|п2л-
-C«0liSin2z;s-Q„C <±^® + &^!>lsin2z/s. (2.159)
214
Короче это выражение можно записать так:
где |
|
|
|
|
В=РВ. + нъс, + иасх+q0c21 |
|
(2. 160) |
|||||
|
|
Г |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В.= |
|
|
|-бдЛ sin х; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
'2ЙГГ‘ |
+ cos х |
J |
, |
2г21 . |
|
|
|
||||
|
S2 COS2 X Г |
/2 |
|
as4sin2x |
|
|
|
|||||
Cj = F |
2 |
Ь |
|
Y2 “Ь |
« |
г4> |
|
|
|
|||
|
|
|
2а? |
|
as4 J |
|
|
|
|
|||
|
cos2x |
ГА |
|
|
|
X21 Г. |
|
В . |
' |
|
|
|
|
2а I а |
|
|
|
— |
Н--- г4 |
|
|
||||
|
|
|
|
[S4 [ |
2а? |
4 |
|
|
||||
k= |
2 |
|
Г |
2 |
|
+ |
tg Z (х2Дз°+ |
|
|
|
||
|
sSiLTtg2 Z (“Л2 + |
|
|
|
||||||||
+ 2а Д10) + Ц- (2r2-s2) Д2+4 (2r2+s2) Д41 + |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
s4 |
|
s4 |
|
I |
|
|
|
|
|
|
.2 |
w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^2 |
[Fj + eAF] Д30; |
|
|
|
|
|
|
|
||
T 48 cos х |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
23 = ^YC£v-f-^tg2X(«A4 —?A2) + -^tgx(r2A10-2apA30)+! |
(2 |
161) |
||||||||||
|
2s* sin3xL 4 |
|
s2 |
|
|
|
» |
' |
' |
|||
+ |±(2г2-52)д4_а.(2г2 + 52)д2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
.2 w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
“I |
^2 |
(Fj + 6AF) Д10; |
|
|
|
|
|
|
|
||
48 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S |
|
г |
|
|
|
~ 2арДг) |
|
|
|
||
h = 2S2Sin2x |
[1Гtg Z (аД1° ~?Дзо) “ |
|
|
|
||||||||
|
В /У2 |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=| V"tg z (аДз°+ ^Лю) + Л (г2Д2 + 2а Д4)
Ъ1<1 f |
А2—$2(^2) ®2(г1)>
Л4=Ф4 (z2) - Ф4 (^0;
Д1о = ф1(г2)4-ф1(21);
Д30=ф3(г2)4-Ф3(г1).
Здесь % — угол стреловидности кессона.
В раскрытом виде граничные условия (2. 150) |
примут вид |
||
/И/ w |
- — |
, d\d<y |
Pz\ я, |
-у-^ + |
^Д-/)—^ + F0K^(-/)-^ + —-LACOSX + |
||
|
cos X + Um cos x- ийКии (zj d-^ cos / + |
||
+ hKuh (^i) |
cos x - Qo^uq (г1) |
cos x - СГ0Ко и (^) sin z- |
|
215
sin z + QXe Q (^) 4^n X-
- U0Kt u(^)^- sin x - ЯМ tdz^ sin x +
|
|
“b Qo^* Q (^i) уsin x = 0. |
|
(2.162) |
||
M - ., |
. didz |
|
d{Ci2 |
pz^ . |
|
|
|
|
|
|
*£ |
•.CJ |
|
+ |
|
cos7. + Miy c-Osx-]-U0Kuu(z2) |
cosy — |
|||
|
~^UH (z2) |
cos X + Qo ^uq(z2) |
cos X — |
|
||
— We и (z2) y- sin x — 60 v sin x — Mt н (z2) sin z + |
||||||
|
+ Q2' Q (гг) |
sin Z — U()KK и (z2) ~ sin x — |
|
|||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
Sinx + Qo^Q(22)|Lsinz=o. |
(2.163) |
|||
|
|
|
|
|
|
(2.164) |
|
|
^"= — |
|
|
(2.165) |
|
>г, |
Pzj |
. Л1г? |
|
|
, |
, , |
jFx : |
6EJX ~ 2EJX |
Uqizi + ^oi— ЦЛе и (^J y‘~ 6oy~ — |
||||
- Ws я (zj A 4- QoKs Q (г1) ^- + U0K. и (Zl) 4 +:
+ ^u(z:1)~-QaK.Q(z1) ~^0- |
(2.166) |
'■г2 Рг2 |
|
|
,i |
,i |
~ &EJX ~ 2EJX — ^0122 + ^01 + |
и (z2) -Л4- e0 -E. + |
|||
+ HK,„(z2') |
|
QP„ (z,)^—UJ<,u (гг)4- |
|
|
-HK.h(z2)^-+QoKxq(z2)^- = O-, |
(2.167) |
|||
" 25/ "b^o1- |
|
^x4''zoM-z (~ Z)^2 |
+-&oAjjb(—Z) |
—- |
x |
e, |
2 |
2 |
|
-^Kzz(-Z)^--Wxb(-7) v = °: |
(2.168) |
|||
|
|
Z |
2 |
|
^+v;Oi+eo^-;o/<fe(_z)M._^o/<0B(_Z)^+ |
||||
+ ’‘X(-04l + WxB(-Z)4=0; |
(2.169) |
|||
|
|
|
2 |
|
216
Pz“ |
di . |
Mzj ■ySinx-Z701^sinz + |
|||
2EJX |
Tsin Z EJx |
|
|
|
|
+^o/<uu (г1) |
^-sin/— HKUH(zJ ^-sinz + |
||||
+ Q^uq (*x) |
sin z 4- U0K9 и (z,) |
— 4-e0^L^-4- |
|||
|
4 |
2 |
cos x |
2 |
cos x |
+ НКън (гЛ-l- - Qo№ Q (^) |
4- U0K, |
|
1 + |
||
2 |
cos z |
2 cos x |
|
|
2 cos x |
+ HK.H(z^------QoKy.Q(Z1)-^- = 0; |
(2.170) |
||||
|
|
2 cos x |
2 cos 7 |
|
|
00 V-Л~1)^-В0К6в(^1)^--7.0/<
Л2 2 -^(-1)^ = 0.
этих формулах
В_ _____ E 7-o^Bz (—l)
Kbb{~1) ' Abb (—l)
Систему уравнений (2.162), (2.163), (2.171) в виде следующей матрицы (2. 173):
и0 |
Q |
*0 |
i/oi |
So |
и01 |
Ил |
|
ai |
«2 |
|
d\ |
d\ .. |
0 |
0 |
|
|
Tcosx |
-ysmx |
|||||
#4 |
|
|
di |
d\ . |
0 |
0 |
|
«5 |
|
— COS X |
|||||
|
|
~T3 in* |
|||||
т3 |
ш4 |
0 |
|
_ dz |
1 |
0 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
«1 |
т2 |
0 |
—^2 |
d-ч |
1 |
0 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
ег |
е2 |
«3 |
0 |
0 |
0 |
. 1 |
|
61 |
е2 |
«3 |
0 |
0 |
0 |
— 1 |
|
£Т |
ё2 |
0 |
-ysmX |
d\ |
0 |
0 ' |
|
2 cos x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Л1 |
hi |
Л3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
(2.171)
(2.172)
можно написать.
(2.173)
й0 Pi
0 Pi
0 Pi
0 PB
0
d2
: AS
2 cosx
di
P6
2 cos у i
0 Py
dx
2 Ps
217
Обозначим
,a |
Г£1А1_ + K |
{z ) cos Z1 - [a^Ku. (24) + Az и (г,)] |
sinz; |
4 |
L cos x |
J |
2 |
fl |
^ra^L + /<xB(Z1)cOSxl + |
|
|
|
4 L cos X |
J |
|
а3 |
^1^2 |
Г 1Z |
--------[Ay, |
||
|
4 cos у |
|
|
d\d2 Г С]Л] |
|
|
4 |
cos у |
Ayx(2i)l <h .
----- — — sin z; as4 J 2
I" KBB (^2) COS-z] [aTsAy z (Z2) “Ь Ax У (z2)J 2 sin z;
■a, |
_ did2 |
C2Z-i |
|
'5---- |
4 |
[cos 7 |
|
|
|
||
]-Axb(z2)cosx +
|
Ay x ( 2 2)1 dy . |
as4 |
------------Jisinz; |
as 4 |
mi =^{avJ<uAz2)—Kxu (z2)];
Ay x &) ‘
m2 =
as4/ as4
^3= - y-[a^Ku z (2j)- Az у (Zj)];
2r2 \ „ , . . Ayx(z!)
=— ИхуС^Л--------— as4 as4
4L 1 -- |
) |
|
2 cos у |
C2
*2=^ -ч
e,=[(72+L2) Kb . (-1) - Azx (- /)];
2 cos x
rf, gl^2
KBB (^i)-y sinz-F “TzAj/x (2i) 4~ ^xt/(2i) cos у