книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

Подставляя (2. 92) в (2. 91) и беря интегралы по всему контуру поперечного сечения, получим

Формулами (2. 93) и (2. 94) дана зависимость между внутрен­ ними обобщенными силами и соответствующими этим силам иско­ мыми обобщенными перемещениями при изгибе — продольными Uy и

искомые обобщенные перемеще­

ния ДгС^), 0(z) и х(з) так, чтобы третье и пятое уравнения системы (2. 88) удовлетворялись тождественно при любом выборе функции f(z). Тогда получим следующие формулы для искомых обобщенных перемещений кручения:

(2.95)

Общее дифференциальное уравнение относительно новой функ­ ции f(z) запишется так:

Обозначая

^2_ b'-Ct

2 (bl-bl) ’

(2. 97)

s4= —

получим окончательное выражение для дифференциального уравне­ ния относительно функции f(z):

189

Здесь г2 и s4 представляют собой обобщенные упругие характе­ ристики. Таким образом, задача о кручении оболочки с изменяемым контуром поперечного сечения приведена к основному дифференци­ альному уравнению (2. 98) шестого порядка с постоянными коэффи­ циентами.

Общий интеграл однородного дифференциального уравнения (2. 98) представим в таком виде:

Здесь Сь С2, . . . С6 — произвольные постоянные интегриро­ вания;

Ф1 = Ф1 (г); Ф2= Ф2(г); Ф3=Ф3 (г); Ф4=Ф4(г) —линейно не зави­ симые друг от друга частные реше­ ния уравнения (2.98).

Эти решения при s>0 будут иметь вид

Величины аир выражаются через упругие характеристики г и s по формулам:

/v= GjФ1’ -фС2Фг СдФ^-ф С4ф4; /vir= сгфГ-ф с2фГ + с3фГ + с4фГ. .

Формулы производных от функций Ф(г) приведены в табл. 21,

190

ю

к—1

Имея в виду формулы (2. 102) и раскрывая при их помощи вы­ ражение (2. 95), получим

4- —(С1Ф14-С2Ф.24-С’3Фз4-С'4Ф4)— (2.103)

-(С^-рСоФ^ С3Ф3 + С4Ф4 4- C-az + С6);

*=— (С4фГ+с2ФГ+С3фГ 4- С4фГ) .

Равенствами (2. 90) и (2. 103) представлены интегралы диффе­ ренциальных уравнений (2. 88).

Формулы для определения внутренних обобщенных сил

При кручении оболочки элементарная полоска согласно (2. 83) обладает одной степенью свободы из своей плоскости и двумя сте­ пенями свободы при перемещениях этой полоски в ее плоскости поперечного сечения. Внутренние обобщенные силы выражаются через работу внутренних элементарных сил на возможных переме­ щениях

Первой формулой выражается продольная обобщенная сила В — бимомент. Вторая формула выражает поперечную обобщенную силу Н, называемую крутящим моментом. Третьей формулой представ­ ляется новая обобщенная поперечная сила Q, соответствующая деформации контура поперечного сечения. Первая и третья обоб­ щенные силы статически эквивалентны нулю.

На основании закона Гука нормальные и касательные напря­ жения в случае кручения определяются по формулам:

192

вающие зависимость между внутренними обобщенными силами и

дачи изгиба и кручения косо заделанной оболочки с учетом иска­ жаемости контура поперечного сечения. Все пять геометрических «1(2), (г), U2(z), 0 (г), х(г) и пять статических М, Р, В, Н иГ Q величин определены с точностью до 10 произвольных постоянных интегрирования дифференциальных уравнений (2. 88). Эти посто­ янные интегрирования определяются из статических граничных ус­ ловий на свободном конце и кинематических в сечении заделки.

Выражение интегралов дифференциальных уравнений через нача льные параметры

Постоянные интегрирования первых двух уравнений изгиба (2. 88) Л1; Л2, А3, А4, а также постоянные основного дифференци­

ального уравнения кручения (2. 98) Сь С2, Ся, Cit С5, С6 удобно вы­ разить через величины U01, Йо1, Р01 Л40, х0, [7О2, 6а, Но, Во, Q(). Эти

величины относятся к сечению z=0 и играют роль начальных пара­ метров.

Раскрывая выражения (2. 93), (2. 94), (2. 106) через функцию

ные через начальные параметры, сведём в табл. 23.

В табл. 22 и 23 в пересечениях строк и столбцов находятся функ­ ции, зависящие от аргумента z и обобщенных геометрических и упругих характеристик рассматриваемой оболочки.

-(За2 -?3) фз]

Таким образом, решение краевой задачи при помощи интегра­ лов, записанных в этих таблицах, сводится к определению только пяти постоянных интегрирования, так как из ГО начальных пара­ метров U61, Voi, Ро, Afo, %о, U02, 0о, Но, Во, Qo в каждом частном случае пять будут представлять собой известные величины, опре­

60 —угол закручивания Но —крутящий момент Во~бимомент кручения Qo — поперечный бимомент

Определение постоянных интегрирования

Поместим начало координат на свободном конце кессона. Постоянные интегрирования определим из граничных условий

в сечении z=0 (фиг. 80) и в сечении косой заделки.

Фиг. 80. Схема расположения

опор ных связей.

Из граничных условий при z=0 находим следующие постоян­ ные интегрирования, выраженные через начальные параметры:

Р0 = Р, М0=М, HQ—H, Во—О, хо=О.

Здесь Р, М, Н — заданные внешние нагрузки, приложенные на свободном конце кессона и передающиеся на обо­ лочку через жесткую в своей плоскости и гибкую из плоскости нервюру.

Имея в виду последние равенства и табл. 22 и 23, запишем для решаемой задачи интегралы дифференциальных уравнений в виде

Кин (г) — [2а —2оф ch аг cos рг + г2эЬагз1п рг]; 2®^

^^)=2^7sha2Sin^;

/<хУ (г) = — (a ch аг sin рг-фр sh аг cos рг);

Кх Н (?) = — [« Ch аг sin рг + р sh аг cos рг] ; ' v ’ 2а

Кх Q (^) [<а3 " ЭД Ch Sin +

•ф (Зх2Р — Р3) Sh аг cos рг];

} (2.109)

и(г)=й Пг (а ch аг sin рг - р sh аг cos г);

/<9 н (г) = д172 [a Ch аг sin рг - р sh аг cos г] + ^г;

Q(z) = ^ (^ ch аг sin рг + р sh аг cos рг);

/Сва^^ДДаФ.-РФз):

^(^) = ^1Г2(аф1Фз);

к^(<)ЭД(аФ1ЭДз); .

zap

^QU (г) =с “ A2®4>

^qh (г) “ ^гТгФ4>

^(г)-Ф2 ЭДфг .

196

Таким образом, при помощи интегралов (2. 107) решение рас­ сматриваемой краевой задачи сводится к отысканию пяти постоян­ ных интегрирования UOi, VOi, Q02, Qo и 60. Эти постоянные опреде­ лим из граничных условий в сечении косой заделки.

В сечении косой заделки кессона (см. фиг. 80) будут геометри­ ческие граничные условия. В силу того, что рассматриваемая мо­ дель в отношении перемещений точек элементарной полоски обла­ дает двумя степенями свободы в продольном направлении и тремя в поперечном, граничные условия можно представить в виде связей, которые закрепили бы эти перемещения. На фиг. 80 эти связи по­ казаны в виде опорных стержней в точках 1,1', 2 и 2'.

Граничные условия, соответствующие опорным связям в точках сечения косой заделки, будут:

+ 6 (z2)«pe (S22')=0;

A (A SJ = * (21) Фх (Slf) + 6’(2!) ф6 ($lf) = 0.

Имея в виду выражения (2. 107), а также характер изменения аппроксимирующих функций по контуру поперечного сечения обо­

197

по формулам (2. 109) при соответствующих значениях Zi или z2.

(2.116)

198