книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

обладать тремя степенями свободы в отношении перемещений из плоскости поперечного сечения и двумя степенями свободы в пло­ скости поперечного сечения. При этих степенях свободы (т=3; п=2) и заданных внешних нагрузках система дифференциальных уравнений равновесия оболочек будет:

Интегралы уравнений (2.64) будут:

y2 = e = 60-^|- (1—Ch£2z).

В интегралах (2.65) и (2. 66)

(2.67)

Обозначения для стреловидного кессона:

Ao — Q ]

А М >—-поперечная сила и изгибающии момент в сечении z = Q;

А2 — продольное перемещение

180

Интегралами (2. 65) и (2. 66) написано общее решение кессон­ ной и центропланной оболочек с точностью до 20 произвольных по­

Определение постоянных интегрирования систем уравнений (2. 63) и (2. 64)

Постоянные интегрирования находим из граничных условий в сечениях з=0 и г='О, а также в сечении стыков двух оболочек 1-2-3

(фиг. 78). __

Из граничных условий при z=0 имеем

^о=0, j

^о = 0, Л3=0.

Остальные 10 постоянных интегрирования найдем из граничных , условий в сечении 1-2-3.

Здесь в соответствии с принятой нами расчетной моделью гра­ ничные условия примем в виде:

1)условий совместности перемещений в точках 1, 2, 3 верхней,

атакже в точках Г, 2', 3' нижней плоскости стыка оболочек (см.

фиг. 78);

2)равенства виртуальных работ слева и справа от сечения 1-2-3, совершаемых нормальными силами на возможных переме­

3) равенства нулю поперечных перемещений слева и справа от сечения 1-2 в направлении 1-1' и 2-2' (см. фиг. 70, а).

181

Эти условия запишутся так:

й( — Z,Sj,) — и (zn sj cos/ — 9 (zb sj sin /=0;

й( —Z,s2) — «(z2,s2) cosX —9 (z2, s2) sin / = 0;

«(— Z, s3) — и (z3, s3) cos X — 9 (z3, s3) sin x = 0;

^(’л лев “А np)?l^ = 0;

(б (°л лев ‘.„p)?^

• Ош ( — Z, зц,)==0;

• 022' ( —Z, s22-)=0;

•Oil’ (z1,Sir)=0;

■»22' (z2, S22- ) = 0.

°n np = (7^ + Ti (s) cos2 x + 4^1 sh kiZ'?2 (s) cos2 / +

AHb2 sh ^2г'?з (s) cos2/ + A^G ch fe.zo' sin 2Z —

\b-Ldkz/

----P?GC^ ' ?2sin 2x + uoG ch k2z<D3 sin 2/-

1-2-2'-!' (см. фиг. 70, а).

182

V^COS2^^?^^;

V2 = cos2 x (£ sh A2zcp3<f>3 dF;

V9 = sin2x^<f>3tf>2rfF.

183

Раскрывая граничные условия (2. 70) при помощи формул (2. 65), (2. 66), (2. 75) и (2. 77) и определяя постоянные интегри­ рования, можно найти все интересующие нас продольные и попе­ речные перемещения оболочек по формулам (2.65) и (2.66). Нор­ мальные напряжения в стреловидном кессоне найдем по формуле

Глава X

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТРЕЛОВИДНЫХ КЕССОНОВ

СУЧЕТОМ УПРУГОСТИ НЕРВЮР

§23. Расчет жестко заделанного стреловидного кессона

сучетом упругости нервюр

Впервой части настоящей работы задачу расчета оболочек с учетом упругости стенки нервюры мы привели к системе дифферен­ циальных уравнений (1. 237). Применим теперь эти уравнения для решения стреловидных кессонов с искажаемым контуром попереч­

ного сечения.

Рассмотрим консольную цилиндрическую оболочку, косо заде­ ланную одним торцовым сечением и нагруженную на другом тор­ цовом сечении поперечной силой и внешними изгибающим и кру­ тящим моментами (см. фиг. 59).

Будем считать, что рассматриваемая призматическая оболочка, подкрепленная системой упругих нервюр, обладает деформируемым контуром поперечного сечения. Передняя торцовая.- нервюра, пере-' дающая на оболочку приложенные к ней внешние нагрузки, яв­ ляется жесткой в своей плоскости и гибкой из плоскости. Попереч­ ное сечение кессона имеет две оси симметрии —■ горизонтальную Ох и вертикальную Оу. Представим продольные и поперечные пере­ мещения любой точки М (z, s) оболочки в виде разложений:

ц (z, s)=U1 (z)^ (s) + U.2 (z) <р2 (s);

(2.83)

■V (z, s) = V1 (z)<|>j (s) + V2 (z) <j>2 (s) + 173(г)ф3 (s)-

184

ляют собой: Ui(z) —угол поворота сечения z=const относительно оси Ох при изгибе, U2— обобщенную депланацию сечения z=const при кручении.

Искомые обобщенные поперечные перемещения Vi(z), V2(z) и V3(z) при заданных функциях ф1(я), фг(«) и фз(«) представляют собой: Vi(z)—поступательное перемещение (прогиб) сечения

Фиг. 79. Эпюры аппроксимирующих функций.

z=const по направлению оси Оу, V2(z) —угол поворота сечения как жесткого целого относительно оси оболочки Oz и Йз (з) — обоб­ щенную контурную деформацию поперечного сечения оболочки

2=const.

Функция ф1($) определена формулой (2. 2), а функции cp2(-s), ipi(s), ф2(«) и фз(«) представлены формулами (2. 29) и (1. 240).

Эпюры производных ср'»(/=1, 2) от выбранных функций показаны, на фиг. 79.

В данной задаче для простоты ее решения не будем вводить дополнительный обобщенный компонент перемещения, относящийся к депланации сечения при изгибе оболочки поперечной силой.

185,

Дифференциальные уравнения равновесия элементарной полоски относительно искомых

>обобщенных перемещений

Элементарная поперечная полоска кессона (см. фиг. 59) в слу­ чае действия поперечной силы, изгибающего и крутящего моментов в отношении перемещений из плоскости поперечного сечения будет -обладать двумя степенями свободы, соответствующими двум обоб­ щенным координатам <pi(s) и <р2 («), в отношении контурных пе­ ремещений точек полоски в плоскости поперечного' сечения — тремя

186

Г23 = ф Ш dF = (d2Fl - ^2);

Г32 = Ф3Ф2 ~ Г23>

r^ = ^dF = ^yy + dyy

(2. 85)

зонтальной 82; 3* —толщина стенки нервюры;

Ь — шаг между нервюрами.

Раскрывая коэффициенты дифференциальных уравнений (2. 84) и обозначая обобщенные жесткости через

а=Д/2? = A Ed^d^Fy Д2ф6ДД);

b2U2 Ф У2 “Ь byз=0;

Ьу'. + ЬУз + Ьу’г-сУ^У^О.

Для наглядности условимся в дальнейшем обозначать искомый угол кручения V2(z) через 8 (z) и искомую обобщенную дефор­

187

мацию контура V3{z)—через х(г). Функции ф2(5), фз(х) обоз­ начим соответственно через фе (s) и ф, (s). Тогда уравнения (2.87) представятся в такой форме:

EJxU’1-2GF1U1-2GF1V\=0-, '

равенство нулю работ внешних и внутренних сил элементарной по­ лоски на возможных перемещениях в продольном направлении, второе, четвертое и пятое — на возможных перемещениях в плоско­ сти поперечного сечения. Нетрудно заметить, что первые два урав­

Изгибающий момент М и поперечную силу Р при изгибе можно представить через работу внутренних элементарных сил на возмож­

На основании закона Гука, нормальные и касательные напря­ жения через искомые обобщенные перемещения выразятся так:

а (г, s)=EU\ (г)<Р! (s);

(2.92)

т (г, s) = G [tZj (г) (s) + (г) (s).

188