книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

Обобщенную поперечную координату фг($) при кручении опреде­ лим по формуле

‘Л 2а

Фиг. 90. Эпюры производных от функций кру­

Дифференциальные уравнения равновесия оболочки относительно искомых обобщенных перемещений

Элементарная поперечная полоска оболочки (см. фиг. 86) в слу­ чае действия поперечных нагрузок и крутящих моментов будет обла­ дать пятью степенями свободы в отношении перемещений из пло­ скости поперечного сечения, соответствующими пяти обобщенным координатам <pi(s), Фг(5), фз(Д, *ри(Д и <P2i(s), и двумя степенями свободы, соответствующими координатам ipi(s) и ^(s) в отношении контурных перемещений точек полоски в плоскости поперечного се­ чения.

229

Для рассматриваемой задачи при указанных выше степенях сво­ боды (т=5; п=2) и заданных внешних нагрузках система диффе­ ренциальных уравнений (1.7) примет вид:

Ьикихк — Ьпки21г— сий^1* + = 0; ’ (3.14)

Сг

Уа22к^^/1 b21k^lk b22k^2k Д“Г д'т = 0;

(j

cuU 14-^12^2 + с1377з + Гц1Л + — = 0;

G

Cllk^ + ci2k^2k+fukVu-]-~~=0. I

G )

Коэффициенты этих уравнений определяются по формулам:

«н = ф Т?^=^(^/Г1 + 2Д2 + |дД);

«22 = ф $dF=dl (2F. + ~ Д2 + 12 +

азз = §$dF= d^± F2 + | F, + 4ЛД) + >22fll! +

+ >23rf2 [2F, + 44 f2 + 12 A/7) +

+ у '^2 "Г 2v2v3(Z^2 (I F. + 4K2 H- 4ДК) .

Ниже в формулах (3. 15) знаки Vi учтены.

t’n = $'?[2dF=5F1-,

bi2 = 6 ?;?; dF= - 5^ + 8Fx-

J . rfl

230

*11 = ^11 = rn\

*12 = *21 ~C21 ==C12>

*13= *31 ~ C31~C13’

'а11А=ф?2^Л = /1т,=^Ц|л-н|г2+5д^;

= (jM dF=J-2,, = | (2^ + 8F2) 4-

-}-2>4d1(i2^^- + 2F2 + 2аЛ^4-''4Ji<p’H- 4aF.

C\2k = C2\k'

r^j) <P22 dF = 2d\F2 +1 .

)

231

Свободные члены уравнений первой группы находятся по, формуле

нулю работы внешних и внутренних сил элементарной полоски на возможных перемещениях в продольном ' направлении, последние два уравнения — на возможных перемещениях в плоскости попе­ речного сечения. Нетрудно заметить, что первое, второе, третье и

шестое уравнения системы (3. 14) относятся к изгибу оболочки, а четвертое, пятое и седьмое — к кручению. Следовательно, в даль­ нейшем решение этих дифференциальных уравнений можно произ­ водить раздельно.

§ 26. Изгиб кессоной конструкции, имеющей в поперечном сечении четырехзамкиутый контур

Пусть оболочка, показанная на фиг. 86, изгибается одной попе­ речной силой Q, приложенной на свободном конце к передней тор­ цовой нервюре и проходящей через центр изгиба этого сечения. В этом случае дифференциальные уравнения равновесия оболочки будут:

Коэффициенты этих уравнений представлены формулами (3. 15).

Приведение системы дифференциальных уравнений (3. 19) к одному уравнению

Представим систему уравнений (3. 19) в виде табл. 24. В этой таблице через D и Z)2 условна обозначены первая и вторая произ­ водные по1 независимой переменной от функций, записанных в верх­ ней строке таблицы.

Введем в рассмотрение новую функцую f(z). Выразим через эту функцию и ее производные искомые обобщенные перемещения

232

Ui(z), U2(z), lh(z) и Vi(z). Для этих перемещений будем иметь следующие формулы:

® виде табл. 24, сведем к одному уравнению

CnDU^c^DU^c^DU^r^V^. (3.24)

Раскрывая это уравнение при помощи формул (3. 20) ■— (3. 23) , получим одно дифференциальное уравнение восьмого порядка отно­ сительно функции f(z) с постоянными коэффициентами:

233

Здесь г и $ играют роль обобщенных упругих характеристик и вычисляются поформулам:

Определив функцию f=/(z) из уравнения (3. 25) и граничных условий на краях оболочки при z=0 и х=/ (см. фиг. 86), найдем по формулам (3. 20) — (3.23) все искомые обобщенные перемещения.

Решение дифференциального уравнения (3. 25)

Общий интеграл дифференциальногоуравнения (3. 25) предста­ вим в такой форме:

f С2) = С1Ф1 -р С2Ф2 + С3Ф3 + С4Ф4 4- Csz3 + C6z2-|- C7z + С8, (3. 28)

представляют линейно не зависимые между собой частные решения уравнения (3. 25). Эти решения при s' >г будут иметь вид

•а = ]/> -ф У г4 — s4,

(3. 32)

Р = /г2 — /г4 — S4.

234

Рассмотрим оба случая решения дифференциального уравнения

(3. 25).

1. Пусть s>r.

Запишем формулы (3. 20) — (3. 23) в таком виде:

235

Входящие в эти формулы функции Ф (г) и их производные приведены в табл. 25.

Таблица 25

Функции Ф (г) и их производные

Ф3 = e“azsin 0г;

фз = ф4 — “®з;

фз = фз(“2- 2)-ф42^;

ф3 = (“2 - ?2) (?ф4 - афз) + 2а ( Ф3 + «ф4);

ф!у = (а2 _ 02) (а2ф3 _ 2а0ф4 _ р2ф3) 4. 2а0 (02ф4 _ 2а0Ф3 — а2ф4);

=(а2 — 02) (За20Ф4 + За 2Ф3 — аЗф3 — 03ф4) 4.

+2а0 (аЗф4 — 03ф3 — За 2ф4 4. За20ф3);

Ф^1 = (а2 _ 02) [(а4 + 04 _ 6а202) ф3 (4з03 _ 4 а30) ф4]

+ 2а0 [(— а4 _ 04 6а202) ф4 4. (4а03 _ 4а30) ф3];

Ф^11 = (а2 — 02) [(а4 + 04 _ 6а202) (0ф4 _ аф3) _ (4а03 _ 4а30) (0Ф3 аф4)] 4.

4- 2а0 [(а< + 04 - 6а202) (0ф3 4 аф4) (4а03 _ 4а30) (0ф4 _ аф3)].

фУ111 = (а2_02) [(а«+04—6а202)(а2ф3_02ф3_2а0Ф4) -

—(4а03 — 4а30) (02ф4 — а2ф4 _ 2а0Ф3)] + 2а0 [(а4 -f- 04 _

—6а202) (02ф4 _ а2ф4 _ 2а Ф3) -J- (4з03 - 4130) (а2ф3 - 02ф3 _ 2а0Ф4)1;

Ф4 = е~аг cos 0г;

ф4 = — ( ф3 ~Г аф4) ;

ф' = (а2_ 02) ф4_)_2а0фз;

+ 2аВ [( — 4а30 4- 4а03) ф4 4 (а4 4. 04 _ 6а202) ф3];

Ф^11 = — (а2 —02) [(а4 + 04 _ 6а202) (0ф3 4. аф4) 4.

4- (4а03 — 4а30) (0Ф4 — аФ3)] 4- 2а0 [( - 4а03 4- 4а30) (0Ф3 аФ4) Ц-

+ (а4 + 04_6а202)(0ф4_афз)];

Ф™1 = - (а2 — 09 ([а4 + 04 — 6а202) (02ф4 _ 2а0ф3 _ а2ф4)

+ (4а03 _ 4а30) (а2ф3 _ 02ф3 _ 2а0Ф4)] +

-|- 2а0 [(4а30 — 4а03) (02Ф4 — 2а0Ф>3 — а2ф4) -|-

4- (а4 4. 04 _ 6а202) (а2ф3 _ 02фд _ 2а0Ф4)].

236

Постоянные интегрирования (кроме Ci и С2) находим из гранич­ ных условий в сечениях z = 0' и z=l.

При z=0 граничные условия будут геометрические:

^=0, -j

£72 = 0,

остальные статические условия U'2l=0 и 1/'3=О были использованы при определении коэффициентов Ci и С2.

Раскрывая граничные условия (3. 40) и (3. 41) при помощи фор­

мул (3. 39) и их производных, а также имея в виду выражения, представленные в табл. 25, получим систему алгебраических уравне­ ний относительно’ произвольных постоянных интегрирования:

^3Д11 + ^4^12+ С'5Л1з + ^7Л14 = 0;

^3^21 + ^4Д22 "Г £5^23 ~ 0;

С3А3; + С+Д32 + СзАзз^О; (

^з д« И- ^4Д42 + С6Д43 + С8Д44=0;

^■3^51 “Ь ^"4^52+ ^5Д53 "Ь ^6^54~0’

С3Аб1 + ^4 Д62 + ^5Д63 + £бД64 + ^7Д65 = — Q •

Коэффициенты Д17 имеют следующие выражения:

Дц = ^зфз (0) + Z2®3 (0) +ЛФз(0);

Д12= ^3ФУ (0) +/.2ф4 (0) +/,^4(0);

A14=Ai;

д22=^Х(0)+М4(0);

Д23 = ^^"4>

д31 = /7ФзУ(0)+Мз(0);

Дз2 = £Х(0) + Л6ф1(0);

j

237

Д33 — 6^6’

Д41 = Л8ФГ (0) -£9ФГ (0) + А1оф; (0);

Д42=/8ФГ (0) - ДФГ (0) 4- а10ф; (0) + Z, 1;

Д13 = 2Л10;

A44=Z11;

Д51~^3Ф3 (0 + ^-2®3V(Z) 4-А,Фз (/);

Д52 = Л3ФГ (/) +А2Ф}У(/) +£X(Z);

-r11Z9®4v(Z) + r]iZ]0®4(Z) + r11ZII®;(Z)]; '

Д63 = G [6cuZ2 4- 3cnL,P 4- 6c12Z4 + 6c]3Z6 + 6rnZ10 4- 3rnZuZ2];

Д64~^? [2<?11Z1Z4-2r11Z11Z];

Частные значения функций Ф (г) и их производных при г = О и z=l представлены в табл. 26.

Таблица 26

Частные значения функций Ф (г) и их производных при г = 0и г=1

фз(0) = 0;

фз(0) = 0;

ф;(0) = -2« ;

Ф3 (0) = 3»2? - рз;

Ф^(0) = 4а ( 2_й2).

(0) = («2 - З2) <3а2р - (33) 4- 2а(3 (аЗ _ 3^2);

ф3 1 (°) = G2 — Р2) (4а 3 _ 4а3£) 2аЗ (— а4 _ р4 6^2).

ФГ" (°) = («2 — Р2) [(а4 4- Н1 — 6а2£2) р _ (4ас3 _ 4азр) а]

+ 2ф [(а4 + 4 _ 6а2р2) а (4арз _ 4азр) р];

238