книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

Подставляя

(1. 361)

в первое уравнение (1.360),

будем иметь

(1’362)

Интегрируя

(1.362),

находим

И'(г)=’С1Л Т"СгТ^ + С’-

0.363)

Подставляя

(1.363)

в (1. 361),

определяем

V,

1~ + Д-) A ini _ с А А - С,/+ С. А .

(1.364)

Произвольные постоянные определяем из граничных условий:

^(г) = 0,

VJz)- 0 при z=l-,

1

/1>365)

М (z) = — Мо,

Q(z) = — Qo

при г==1х.

/

При найденных значениях произвольных постоянных

U,

W1 - 7г)+ Qo \2z~1' + 4<Z1 -2Z)]’l ■’

X^ \

\

* /

*

f

1

V (z)=-----£- + _^_ B? (Z-z)2-

v ’

GFz

I

EJxzi

(2

7

- Q0Z2z [in

+ 1 --f- +

(Z— z)2]).

Нормальные напряжения

оболочки

в

соответствии

с

(1.341)

определяются следующим выражением:

гз Afo4-Qo(^_/1}

гз

jx

у v Л

Касательные напряжения

оболочки

в

соответствии

с

(1.341)

определяются выражением

Более точно величина

касательных

напряжений

может

быть

получена

интегрированием

дифференциального

уравнения

равно­

весия

Поперечное перемещение (прогиб) определяется формулой

■°<г’ х) = Ьот1пт+дГ,Нт('-г) -

-<?0Р(1п ф+1 - А + Ар (I -г)ф

(S).

9

428

129

ким

контуром (1.356) позволяет

уточнить

решение,

получаемое

на основе гипотезы плоских сечений.

Представляя

продольные и поперечные

перемещения несколь­

кими членами выражений (1.338), из которых первые

соответст­

вуют

гипотезе

плоских сечений,

можно

получить

уточненное

по линейному закону

(фиг. 52).

Сосредоточенная

поперечная сила Qo в соответствии с при­

меняемым методом

понимается как обобщенная поперечная

сила.

с (z) = c,

—

-----коэффициент ортогонализации функций 4^ (s) и

<р2 ($) в фиксированном сечении z = l\

Jх — момент

инерции сечения оболочки z = l отно­

сительно

оси х.

Для заданных

нагрузок и перемещений, определенных равен­

ством (1.366), из системы уравнений (1.359) получим

4 U'i Ь Т + bl2U2 + /) = 0;

az \ 1°

/ /

Т«22

- -у (*2Л + bnU2 + с21 /0=0;

?(/ Г/ г V1

»

1

G(l~ b)[\l /

I

]'

)

<?l(S)dF(S)=%

o'

О

(5)

О

b^^(S}dF{S} = 4F^

(S)

•

(1.369)

=b21 = Ф ?! (S) <?2 (S) dF (S) = 2сЛ;

I

(5)

I

b22 = ?22 (S) dF (S)== 2 (ciFl + F2);

(S)

Cn= ^(S)^ (S)dF(S) = 2Fi,

($)

ci2 = c2i =

($) ?2 ($) dF (S) — 2cFt;

(S)

rll=^21(S)dF(S) = 2Fll

($)

где

AF —площадь поперечного

сечения

продольного

элемента

оболочки (пояса лонжерона, стрингера);

Л? — бимомент инерции изгиба.

Систему уравнений

(1.368)

с коэффициентами

(1.369) пере­

пишем следующим образом:

£. и\ + 3 г± и\--^

+CU2 + V\) = 0;

'3

i \

1

2

7ЛТ

/

л_ и \ + _L Щ + с (и' +_L и\+_L v\ + 1

v; =

4

4

\*

4 ■

/

*

4

Чо1

Ь_

2FG (1 — Ь)

I

Уравнения

(1.370)

составляют неоднородную

систему трех

обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с

переман-

ними коэффициентами типа Эйлера

относительно

U\(z), U2(z) и

W).

Заменяем переменную z на t по формуле

Имея в виду,

что lh(z) =

U2(z) — U2(t)

и Vt'(z) = V\(t),

систему (1.370)

после выполнения необходимых операций приведем

I (1.371)

(0+^ (t)+c[u2 (i) + U2 (01 + vt (0 + Vi (0=

2FlG(/~b)\

I /

]

где N, L, M — коэффициенты, определяемые

по

формулам:

л = 2£^2.

Ь22п .

Ux ’

Систему (1.371) представим в

виде табл.

16,

где через D и D2

(0

u2 (()

(t)

Правая часть

D^+2D—N

—cN

~N

0

—L

D^2D—M

—L

0

Р + 1

c (0+1)

©+1

?о<2 / t

b \

2F\G (1-b)

/ /

тогда первые

два

уравнения

системы

(1.371)

удовлетворяются

тождественно, а последнее дает разрешающее уравнение

относи­

тельно вновь введенной функции f(t);

fv + 5/IV + (8 - Р) Г + (4 - ЗР) /" - 2Р/' =

_____1

W2 (et___ь\

(1.373)

2FXG

I— Ь\

I )'

где

7-Л?

Таким образом,

решение системы

(1.371)

эквивалентно реше­

нию одного неоднородного линейного дифференциального

уравне­

ния пятого порядка с

постоянными коэффициентами (1.373).

Решение

уравнения (1.373), как

известно,

складывается из

общего решения однородного уравнения и частного интеграла.

Однородное дифференциальное

уравнение,

■ соответствующее

(1. 373), имеет вид

/v + 5/'v + (8-P)/'" + (4-3P)—2Р/' = 0.

(1.374)

Запишем характеристическое уравнение, соответствующее

(1.374):

п5 4- 5л4 + (8 - Р) й3 + (4 - ЗР) п2 - 2Рп=0.

(1.375)

Уравнение

(1.375)

удовлетворяется

при

п5=О. Кроме того,

уравнение (1.375)

имеет общие корни «1=—1

и

«2 = —2

при лю­

Вычисляя

остальные

корни характеристического

уравнения,

окончательно получим

«!= — !;

л2— ~ 2;

л3= — 1— k; ni= — 1+&;

n5 = 0;

где

/<°> (/) = С.е-1

+ C2e~2t + С3е~^+

‘

( + С5.

Частный интеграл

неоднородного уравнения

(1.373) имеет сле­

дующее значение:

У (t)—_______qoP_______ е*_______ q°lb

t

\2FXG (J — b)(P — 3)

4FlG(l—b)P '

Решение уравнения (1.373) имеет вид

/(/wwH/u).

(1.376)

j__________ Яо‘1_______et_______ ?</£

].

4^G(Z-fr)(P-3)

2^G(/~i)Pj’

V'i (t) = [ 1 + N (P + 1) + M] Cxe-‘ 4- NFC,e~* +

+ P {P - Al) C3e-(*+D 14- P (P-M)

t + NPC^ 4-

[3(3-Л4)+ЛГ(Р-3)]с/

qglb

12FiG(l~ b)(P — 3)

4F\G(l—b)P [2(N+M)-NPt].

----------_________f—V14_______ —

(2-Р\п

■

12^G(Z-6)

\lj 1

4FxG(l-b)P________ l

J]’

U2 (г) - z[- C, (у)-' + PC,

+ PC.X

• (JLV k~x

I

4F1G(l— b)(P — 3)

\ I )

1

_

qOlb

-I .

\ z /

2FlG(l—b)p\'

V'l (г) = [ 1

4- N (P4-1) + M] Cj 0-)~14- NFC,

(1.377)

2 +

+ p(p-m)c3 (^.y(k+1) 4- p (p-m)

(ff4-1 +

4-NPC 4- q°l2[3 (3~Ai)4- W-3)]

\+1

,

5

12ЛО(/— b)(P — 3)

U/

‘

+ ~7Р^°гЬ------ |2(Л74--/И)-7МД1п — I.

4FlG(l~b)P [

y

'

I J

Интегрируя

последнее

выражение

(1.377),

получим

-т^) с»(4Г+т

с.(тГ+^ (тУ’+

4- С 4- ?о/2[3 (3-zh) 4-jv(p-3)] ^\+2

6

24ЛС(/-Й)(Р-3) ( Z ) ‘

+

+

1)](4Г]. 0.378>

+

’■ <*> + £[Ф С‘(тГ~ <* +') Т

*

х(-тГ+г’+<‘-1>тс*(тГ!+

+ yf,O(,Xp-3>b(4

(1-379>

В (Z) = - ф =?2 (s) dF (S) = -

(г)

С.

2 -

(s)

L

-(А. + 1)РС3^ (ft+2) + (A-i)PC4^y^2]1

(1.380)

где Ji<f

бимомент инерции

изгиба в текущем се­

чении.

Бимоментные нормальные напряжения

в

кессоне

могут быть

выражены через

бимомент

B(z)

/ ч

СВ=7АЛ?2

(«)•

((тГ'"+\-[(-У+'иФ-<5Ф+т“0- <’■3823

(\ I /

az [\ /

j

J

ds

о

(1.383)

Окончательное выражение для потока

касательных сил имеет

вид

■

W2

/_£_)~1

^§FxO(l — b)

I /

(тИЬ w 3 is -Lk [(4+11 pc>(тУl4+”+

+ (A-1)^0-)* 3

0

Ь

ZF^l-b)(P — 3)k\ I )

]J 2V '

°

+

7,—~)

f ?2 (s)

0

+ <7o(s)-

(1.384)

Поперечное перемещение (прогиб)

на основании (1.366) и

(1.378) определяем по формуле

v (г, s)=Z {[1 +ЛДР+ 1) + М] С, In -у—NPC2

- л (Р- М) Са (А)-*+д (Р_ М) с,

)+‘ + ЛТС, (Ау' +

6‘Г 24 Ffid- b)(P-3)

\l) +