книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

ки, считаются нерастяжимыми, жестко соединенными между собой и неподвижными друг относительно' друга.

Положение точки М на срединной призматической поверхности определяется координатами z — расстоянием от некоторого началь­ ного сечения и s — расстоянием, отсчитываемым по контуру попе­ речного сечения от некоторой начальной образующей з = 0.

Обозначим продольное перемещение точки, положительное в на­ правлении z, через

п(г, s),

а поперечное перемещение точки Л4 (z, s) в направлении касательной к контуру поперечного сечения, положительное в сторону возра­ стания s, через

о (г, s).

Эти перемещения представим в виде конечных разложений:

где Ut (г) —искомые продольные перемещения т—узлов эле­

Vk (г) —искомые поперечные перемещения, зависящие от координаты г;

фд, (s) — задаваемые функции, соответствующие функциям Vt:(z) и зависящие от координаты s.

Выбранные функции <р»(з) и <!>&($) должны удовлетворять всем необходимым условиям непрерывности продольных и поперечных пе­ ремещений во всех точках контура элементарной полиски. Такой выбор функций дает возможность написать условия равновесия обо­ лочки в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Число уравнений будет равняться числу степеней свободы элементарной по­ лоски т — продольных и п — поперечных.

После выбора функций <pi(s), <p»(s) задача сводится к опреде­ лению функций Ui(z) и V*(z).

Пусть в сечении оболочки z=const возникают нормальные и каса­ тельные напряжения cr(z, s) и r(z, s). Будем считать, что по тол­ щине полоски они распределяются равномерно.

Согласно закону Гука

10

Рассматривая равновесие элементарной полоски и приравнивая нулю сумму работ внутренних и внешних сил, приложенных к по­ лоске, на ее возможных перемещениях, В. 3. Власов получил инте­ гральные условия равновесия элементарной полоски в виде

dF — (£ тер'. dF 4- (£ р^; ds = О,

Заменяя в системе уравнений (1.6) напряжения о и т их значени­ ями по формулам (1.4) и (1. 5), получаем систему т + п линейных дифференциальных уравнений относительно искомых обобщенных

11

Коэффициенты уравнений (1.7) вычисляются по формулам:

Эти коэффициенты обладают свойством переместительности:

сосредоточенными продольными элементами (стрингерами). В этом

.случае их следует понимать в смысле интегралов Стильтьеса. Свободные члены уравнений, выражающие, собой обобщенные

внешних продольных поверхностных сил p(z, s) на продольных пере­ мещениях <p;(s) элементарного (единичного) состояния деформа­ ций полоски, а обобщенная поперечная сила ф,(.г) вычисляется как работа внешних поверхностных контурных сил q(z, s) на смеще­ ниях контурных точек элементарной полоски фл(в).

Задача определения искомых обобщенных перемещений значи­ тельно упрощается, если выбрать функции cpi(s) и ipifc(s) ортого­ нальными друг относительно друга, т. е. удовлетворить равенствам:

Искомые функции Ui(z) и Vje(z) из уравнений (1. 7) опреде­ ляются с точностью до 2(т!+п) произвольных постоянных. Эти постоянные интегрирования должны находиться в полном соответ­ ствии с граничными условиями в сечениях z=0; z=l.

Система дифференциальных уравнений (1. 7) может быть при­ ведена к одному дифференциальному уравнению порядка 2(m+n). Интеграл «такого уравнения содержит 2(/п+п) постоянных. Если задать на обоих концевых сечениях (г=0 и z=l) оболочки 2(т!+п) статических и кинематических граничных условий, то решение за­ дачи делается определенным и мы можем найти искомые обобщен­ ные перемещения.

12

Зная Ui(z) и V*(z), по формулам (1. 4) и (1. 5) можно-найти нормальные и касательные напряжения в любой точке пространст­ венной системы.

Определение нормальных напряжений

Введем в рассмотрение обобщенную силу

Pj=f^j(s)dF. (1.12)'

Эта сила численно равна работе, производимой элементарными силами adF, приложенными к поперечному сечению оболочки, на возможном перемещении ф>.

Подставляя в эту формулу вместо о его значение из выражения (1. 4), получим

где aH — {^tfdF.

Формулой (1. 14) устанавливается зависимость между обобщен­ ными продольными силами и обобщенными продольными перемеще­ ниями оболочки. Аналогично можно записать и зависимость между обобщенными поперечными силами и обобщенными поперечными перемещениями.

Ф1(х) ■ выражала поступательное параллельное оси z перемещение1 рамы-полоски, а ф2($) и ф3 (s) — повороты вокруг главных цент­ ральных осей х и у элементарной полоски. Тогда первые три члена формулы (1. 16) выразят нормальные напряжения, отвечающие за­ кону плоских сечений. Последующие члены будут выражать такое:

13

распределение нормальных напряжений по сечению, при котором их работа на любом возможном перемещении равна нулю. Их эпюры

будут самоуравновешены. Они отвечают депланациям системы. Формула (1. 16) примет вид

(1-17)

В. 3. Власов назвал обобщенные силы Pi, связанные с деплана­ цией сечения, бимоментами, а геометрические характеристики ан — бимоментами инерции.

Глава II

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ОБОЛОЧЕК ТИПА КЕССОНА КРЫЛА С НЕИЗМЕНЯЕМЫМ КОНТУРОМ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Рассмотрим призматическую оболочку с однозамкнутым прямо­ угольным контуром поперечного сечения (фиг. 2),-подкрепленную системой нервюр и стрингеров. Будем считать, что рассматриваемая

оболочка обладает жестким недеформируемым контуром. Попереч­ ное сечение оболочки имеет две оси симметрии — горизонтальную Ох и вертикальную Оу.

Предположим, что на оболочку действуют поперечная изгибаю­ щая нагрузка и крутящая пара.

14

Следуя вариационному методу В. 3. Власова, представим, про­

?з, и —выбираемые функции, соответствующие искомым обобщенным продольным и по­ перечным перемещениям.

§ 1. Выбор аппроксимирующих функций

Функцию (pi (s) выберем в виде

?1(s)=J/(s). (1.20)

В таком виде эта функция представляет перемещения точек се­ чения z=const, следующие закону плоских сечений и вызванные поворотом сечения относительно оси Ох при изгибе.

Однако, как показали теоретические исследования, распределе­ ние продольных перемещений в поперечном сечении при изгибе по­ перечной нагрузкой отличается от закона плоскости. Неравномер­ ность в распределении, перемещений особенно заметна на верхней и нижней панелях кессона. На боковых же стенках ввиду их малой высоты явление депланации проявляется незначительно, и практиче­ ски можно считать, что по высоте этих стенок деформации распреде­ ляются по закону плоских сечений.

Таким образом, поперечные сечения верхней и нижней пластин оболочки при изгибе не остаются плоскими, а искажаются. Это при­ водит к тому, что продольные перемещения по ширине этих пластин распределяются по криволинейному закону, возрастая от середины

пластины к краям. В расчетной практике кривые распределения перемещений и нормальных напряжений аппроксимируются триго­

нометрическими, алгебраическими или показательными функциями. Желая уточнить теорию изгиба оболочек, построенную на гипо­ тезе плоских „сечений, введем дополнительный обобщенный компо­

сдвига, происходящие в оболочке при поперечном изгибе, а ее эпюра

15-

Jx—момент инерции сечения оболочки относительно оси Ох\

= — площадь сечения одной горизонтальной пластины. : Функцииqpi ($) и <p^(s) ортогональны и удовлетворяют условию

(f n («) T2 (S) = °- '

Аппроксимирующая функция фз(«) соответствует обобщенной де­ планации <7з=’1 сечения z=const, возникающей при кручении, и мо­ жет быть представлена (см. фиг. 3, в) в виде

cP3(s)=,r(s)y(s). (1.23)

Эпюры производных ф/(г=1, 2, 3,...) от выбранных функций

1Л = 1 элементарной полоски оболочки в вертикальном направлении

16

под действием поперечной нагрузки. Эпюра этой функции показана на фиг. 3, г.

Функция <!>2(s) (фиг. 3, д) отражает поворот поперечных се­ чений оболочки V2= 1 под действием крутящего момента.

После выбора функций <Pi(s) и ^(s) задача сводится к опреде­ лению искомых обобщенных перемещений Ut(z) и Vk(s). Эти пе­ ремещения определяются из решения системы дифференциальных уравнений (1.7).

§ 2. Определение коэффициентов дифференциальных уравнений (1.7)

Коэффициенты дифференциальных уравнений вычисляются по формулам (1. 8).

Имея в виду выбранные функции (фиг. 3) и указанные на фиг. 2 обозначения, получим

«зз = =Ф ?зdF='-d*dl (Ft + F2 + 6AF);

bn — <^'f'i2dF=2F1,‘ bi2 = (j) <?i'?2 dF= 2cF^

b22=&<?22 dF^d^ + 26^

b^^j^dF^^ + dlF^,

(1.26)

c2i=f^dF=2cF1-,

r„

БИБЛИОТЕКА СССР

дД—площадь поперечного сечения продольного элемента оболочки (пояса, стрингера);

J^ — бимомент инерции изгиба; Ар—бимомент инерции кручения;

Е и G — модули упругости материала при растяжении и сдвиге.

Зная коэффициенты (1. 26), перейдем к составлению дифферен­ циальных уравнений.

§ 3. Дифференциальные уравнения равновесия элементарной полоски относительно искомых обобщенных перемещений

В случае действия на оболочку внешних изгибающих и закручи­ вающих сил элементарная поперечная полоска (см. фиг. 2) будет обладать тремя степенями свободы в отношении перемещений из плоскости поперечного сечения, соответствующими трем обобщен­ ным координатам фДз), фг(«) и фз(«), и двумя степенями свободы

в отношении перемещений tyi(5) и 'A(s) контурных точек в пло­ скости поперечного сечения.

Для рассматриваемой задачи при указанных степенях свободы (т=3, п=2), заданных внешних нагрузках и коэффициентах (1. 26) система дифференциальных уравнений (1. 7) примет вид

равенство нулю работы внешних и внутренних сил элементарной полоски на возможных перемещениях в продольном направлении, четвертое и пятое уравнения — на возможных перемещениях в пло­ скости поперечного сечения. Нетрудно заметить, что первое, второе и четвертое уравнения системы (1. 27) относятся к изгибу оболочки, а третье и пятое — к кручению. Следовательно, решение дифферен­ циальных уравнений изгиба и кручения можно произвести раз­ дельно.

В рассматриваемых оболочках изгиб отделяется от кручения, поэтому задачи по изгибу й кручению оболочек можно решать также раздельно. В силу сказанного дифференциальные уравнения (1. 27) можно записать иначе. Раскрывая коэффициенты дифференциальных

18