книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла
.pdfуравнений (1. 27) при помощи формул (1. 26) и обозначая обобщен ные жесткости через
а^^ЬЛ + ^ + бД/7); '
b^^G^F. + dlF,)- |
|
(1.28) |
|
|
|
b^^G^F.-d^F,), |
|
|
2 |
) |
|
запишем уравнения (1.27) так: |
|
|
дифференциальные уравнения изгиба: |
|
|
EJхUi - 2GF1U\ - 2GcF\U2 - 2GF1V\ +л = 0; |
|
|
EJ1?U2-2GcF1U1 - Gb22U2—2GcF1 |
+p2= 0; |
(1-29) |
2GF1U\ +2GcF1U''2 + 2GF, Vi+q^ 0;
дифференциальные уравнения кручения:
aUs — bxU3— b2]Z'2-p p3 = 0;
(1.30)
b2U3-^-b1V2~j-q2 — 0.
Глава III
СТЕСНЕННЫЙ ИЗГИБ ОБОЛОЧЕК ТИПА КЕССОНА КРЫЛА И ФЮЗЕЛЯЖА
§ 4. Расчет оболочек типа кессона крыла при изгибе поперечной силой
В настоящем параграфе рассматриваются случаи уточненного расчета оболочек типа кессона крыла на изгиб от действия сосре доточенной поперечной силы Q, приложенной на свободном конце к передней нервюре. Эта нервюра считается абсолютно жесткой в своей плоскости и гибкой из плоскости. Эскиз кессона показан на фиг. 4.
Вначале рассмотрим задачу изгиба оболочки сосредоточенной поперечной силой Q в элементарной постановке. В этом случае про дольные перемещения оболочки будем аппроксимировать функцией cpi(s), представляющей распределение продольных перемещений в
поперечных сечениях, соответствующее закону плоскости.
Случай 1. Представим продольные и поперечные перемещения какой-либо точки оболочки в виде
и(г, s)=t/j (г) tpj (s), 1
s)= V1(z)<|>1 (s),l
2* |
19 |
где функции ф1 (s) и <|>ч($) изображены графически на фиг. 3, а и г. В этом случае система дифференциальных уравнений (1. 29) примет такой вид:
EJJJi — 2GFlU1 - 2GFX 1Д = 0;
(1.32)
20^^+20^1/;=о.
Уравнениями (1. 32) описана элементарная теория изгиба обо лочки, основанная на законе плоских сечений. Решая эти уравнения, будем иметь
FC2z + C3;
C\Z |
CjZ3 |
C2z2 |
(1.33) |
^i = |
6EJX |
C3z |
C4, |
2GF! |
|
|
где Ci, Cz, C3 и Cf—постоянные интегрирования.
Фиг. 4. Схема нагружения кессона.
Постоянные интегрирования определяем из граничных условий на свободном конце оболочки z=0 и в сечении заделки z=l.
При 2=0 имеем статические граничные условия, а именно изги бающий момент Л4=О, а перерезывающая сила равна внешней силе Q.
При z=l имеем геометрические граничные условия — равенство нулю перемещений U и V.
Выразим момент М и перерезывающую силу Q через искомые обобщенные перемещения. Для этой цели представим обобщенные силы как работу элементарных внутренних сил (ст dF или xdF) на принятых нами возможных перемещениях <pi(s) и ipi (s):
M(z)=§^dF-, |
(1.34) |
Q (г) = (£ dF. |
(1.35) |
20
В рассматриваемом |
случае |
нормальные |
и касательные напря |
|||
жения согласно |
(1.4) |
и |
(1.5) |
будут определены равенствами: |
||
|
|
|
O=£77’1(z)?1(s); |
|
(1.36) |
|
|
т = G [Z7j (г) <?; (s) + V; (г) |
(s)J. |
(1. 37) |
|||
Раскрывая |
при |
помощи формул (1.36) |
и (1.37) |
выражения |
||
(1.34) и (1.35) и имея в виду соответствующие коэффициенты из
(1.26), получим
M=EJXU\- |
|
(1.38) |
Q = G(C11f7I4-r11V'i). |
(1.39) |
|
Следовательно, граничные условия напишутся так: |
|
|
при 2=0 |
|
|
U1 Q' |
, |
(1.40) |
Q = G(C11t/1 + rJ1V1),
при Z==l
^! = 0;
И1=0. (1.41)
Раскрывая эти граничные условия, найдем постоянные интегрирования:
C^-Q; |
|
1 |
|
С2 = 0; |
|
| |
|
С3=------} |
|
П-42) |
|
|
2£7х |
|
|
с — |
Q!3 |
Q1 |
|
4 |
3EJXX |
2GEi1 |
j |
Нормальные напряжения определим по |
формуле (1.36). Имея |
||
в виду равенства (1.33) и |
(1.42), |
получим известную из сопротив |
|
ления материалов формулу для определения нормальных напря
жений: |
|
0 = |
(1.43) |
Jx |
|
Касательные напряжения можно определить по формуле (1.37). |
|
Раскрывая эту формулу, получим |
|
Q |
, |
T = —— O,.
2/ц'1
21
Однако лучше всего касательные напряжения находить из рас смотрения условия равновесия элемента оболочки, т. е. из диффе-. ренциального уравнения
^S+*L=0) dz ds
где <7=т8. В этом случае для определения касательных напряжений получим формулу
QSX
Jxb
Случай 2. Уточним теорию изгиба оболочек, построенную на гипотезе плоских-сечений и рассмотренную в предыдущем случае. Для этой цели введем дополнительную аппроксимирующую функ
цию перемещения ф2(з), относящуюся к |
депланации сечения при |
||
изгибе поперечной силой. |
|
|
|
Теперь продольные и поперечные перемещения примем в форме |
|||
u(z, s)=(7j (г) (Pj (s) + (72(z) ?2 (s), |
(1.44) |
||
ц (г, s)=Vi (г) !f>! (з), |
|
||
|
|
||
где (71 — искомое обобщенное продольное |
перемещение, распреде |
||
ляющееся в сечении оболочки по закону плоскости; |
|||
U2 — искомая |
обобщенная депланация сечения; |
переме |
|
Vi •—искомое |
обобщенное поперечное |
поступательное |
|
щение сечения в вертикальном направлении, а функции |
|||
<pi(s), ф2(з) и ipi(s) показаны на фиг. 3. |
|
||
При выбранных функциях (1.44) задача изгиба оболочки сво |
|||
дится к решению |
системы дифференциальных уравнений |
(1.29). |
|
Эти уравнения запишем в такой форме: |
|
|
|
~[JXU\ - 2F1U1 - 2cF\U2 - 2Ft Vi=0; |
|
||
-f/i¥(72 - 2^(7! - <h22(72 - 2cF1V'i = 0; |
(1-45) |
||
|
2^(71+2гД1(7; + 2Д1И = 0. . |
|
|
Приведение системы дифференциальных уравнений (1.45) к одному уравнению
Представим дифференциальные, уравнения (1.45) в виде табл. 1. Здесь через D и D2 обозначены первая и вторая производные
■по независимой переменной от функций, написанных в верхней строке таблицы.
Введем в |
рассмотрение новую функцию f(z) и выразим через |
эту функцию |
искомые обобщенные перемещения U\(z), U2(z) |
и Vi(z). |
|
22
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
U&) |
|
i/2(z) |
|
v&) |
|
||
Ди |
|
|
Д12 |
|
Д13 |
|
|
|
|
—2cF1 |
|
—2FXD |
|||
Д21 |
• |
|
Д22 |
|
Д23 |
|
|
—2cF1 |
|
|
b22 |
|
—2cFxD |
||
Д31 |
|
Д32 |
|
Д33 |
|
||
2/дО |
2cFxD |
|
2F-JJI |
||||
Для краткости |
выкладок обозначим содержащиеся в таблице |
||||||
члены буквами |
Л«3. Тогда искомые |
обобщенные |
перемещения |
||||
можем написать в |
форме определителей: |
|
|
||||
|
|
Д12 |
Д13 |
|
|
|
|
|
|
Д22 |
Д2З /(^); |
|
|
||
|
|
— <<1 |
|
< |
|
|
|
|
|
|
13 |
/(^); |
|
(1.46) |
|
|
|
|
< |
|
|||
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
Д 1 |
Д12 |
|
|
|
|
|
|
Д !1 |
Д22 |
J |
|
|
|
Раскрывая |
эти |
выражения и |
заменяя в |
них А»3 |
значениями, |
||
представленными в табл. 1, получим |
|
|
|
||||
U^F^f'" 4- (4с2Л? - 2ЛМ |
|
|
|
|
|||
U2=21cF1Jxf"'; |
|
|
|
|
|
(1.47) |
|
|
|
+ 2^7^) f” + (2F^224c2F?) f. |
|||||
Общее дифференциальное уравнение относительно новой функ |
|||||||
ции f(z) запишется так: |
|
|
|
|
|
||
А31 |
( Д 12^23 ^22^1з) f |
|
Д32 (^11 ^23 |
^21^13) f 4* |
|||
|
|
4*^33(^11^22 |
А12)/ = 0, |
|
(1.48) |
||
а в раскрытом виде |
|
|
|
|
(1.49) |
||
|
|
yvi_feyiv=o, |
|
||||
где k — упругая характеристика, |
определяемая по формуле |
||||||
23
Решение дифференциального уравнения |
(1.49) |
||
Общий интеграл однородного |
дифференциального уравнения |
||
(1.49) может быть представлен в виде |
|
||
/ (z) = C04-C1z-|-C222-|- C3z3 + C4ch kz 4- Cs sh kz, |
(1-51) |
||
где Co, Cj, C2, C3, Ci |
и C5 —постоянные интегрирования. |
|
|
Подставляя выражение (1.51) и его производные в правые ча |
|||
сти выражений (1.47), |
получим |
|
|
Т/j = 2-у/71 |
(6С3-|- |
sh kz A3CS ch kz) 4- |
|
4-(4t,2/:'i —2/г1А22) (Cj 4-2C’2z4-3C3z24-AC4 sh kz.+ AC5ch kz)\ |
(1.52) |
||
U2=2-<cF\Jx (6C34-A3C4sh Az4-A3C5ch Az); |
(1.53) |
||
I/j = 7 |
(A4C4 ch Az A4C5 sh Az) — |
|
|
— (b22'/Jx + 2-^Р^ц) (2C2 + 6C3z-j- A2C4 ch Az 4- A2CS sh Az) 4*
4- (2F1b22— 4c2F2i) (Co4*0^4- C2z2 + C3z34C4ch Az4-Cssh Az). (1.54)
Формулами (1.52), (1.53) и (1.54) представлено общее реше ние рассматриваемой задачи с точностью до шести произвольных постоянных.
Обобщенные продольная и поперечная силы
Прежде чем перейти к определению постоянных интегрирова ния, введем понятия об обобщенной продольной и поперечной силе. Каждая из этих сил представляет работу внутренних элементарных сил на соответствующих возможных перемещениях:
|
Pj(z)^f^J.dF, |
(1.55) |
||
|
|
|
|
(1.56) |
При действии на кессон одного только внешнего |
изгибающего |
|||
момента формула |
(1.55) |
может быть записана так: |
|
|
|
|
М = |
dF |
|
или через искомые обобщения перемещения: |
|
|||
|
|
M=EJXU1’. |
|
|
Выражая обобщенную |
поперечную силу (1.56) |
через искомые |
||
функции U\, U2, Vi |
посредством |
формулы (1.5), получим следую |
||
щую зависимость между обобщенной поперечной силой и искомыми функциями Ut, U2, V):
Q^G(c^ + cnU2 + ruV\). |
(1.57) |
24
Определение постоянных интегрирования
Постоянные интегрирования находим из граничных условий в свободном торцовом сечении кессона при 2=0 и в сечении задел ки при z=l (фиг. 4).
1. При z=0 имеем статические условия:
£Л = 0;
Сг = 0; |
(1.58) |
G(Oi^i+^2^2 + ny'i) = Q- . |
|
Первое из равенств (1.58) есть условие равенства |
нулю изги |
бающего момента в торцовом сечении кессона, а второе представ ляет условие равенства нулю бимомента в том же сечении кессона. Если в торцовом сечении приложен внешний сосредоточенный изги бающий момент М, то первое граничное условие (1.58) запишется так:
EJXU\=M. (1,59)
2. В сечении заделки кессона |
при z=l имеем геометрические |
граничные условия: |
|
Ц = 0, |
|
t/2=0, |
(1.60) |
Vj=O, |
|
представляющие равенство нулю перемещений точек этого сечения..
Раскрывая эти условия при помощи |
выражений (1.52), (1.53) |
||
и (1.54) и решая совместно полученные уравнения, |
найдем все по |
||
стоянные интегрирования Со, Ci , . . Cg. |
|
||
Определение |
бимомента |
|
|
Нормальные напряжения, которые |
распределяются в попереч |
||
ном сечении оболочки по закону |
функции <р2 (s) |
(см. фиг. 3,6),. |
|
можно привести к внутренней обобщенной силе — бимоменту. Бимомент, как и внутренний изгибающий момент, определяется
через работу всех элементарных продольных сил cr dF на возможных, перемещениях, соответствующих депланации сечения:
В = Ф аср2 dF. |
(1.61)) |
Здесь нормальные напряжения согласно |
(1.4) определяются, |
равенством |
|
а = EU'yfz ($). |
(1.62) |
25
Подставляя (1.62) в (1.61) и имея в виду, что Л 7 f ^l^F, -получим для бимомента следующее выражение:
тде |
B=EJx<tU2, |
|
(1.63) |
|
х (&4С4 ch kz + k4C5 sh Аг), |
(1-64) |
|||
|
||||
a Ji<p — бимомент инерции |
(1.26). |
С4 и С$ из |
условий |
|
Определяя постоянные |
интегрирования |
|||
(1.58) и (1.60), получим |
С4 = 0; |
|
(1.65) |
|
|
|
|||
G [2^JxJlvF^ + (^fiF2Jxk^ - |
(1 - ch kl)] |
|
||
Остальные постоянные интегрирования здесь не приводятся, так как они не потребуются в дальнейшем.
Раскрывая выражение (1.63) |
при помощи равенств (1.64), |
||
(1.65) и (1.66), получим следующую формулу для бимомента: |
|||
В — QkC'i-Jv? |
sh kz |
(1-67) |
|
2 |
|||
7J1 |
|
||
fe 2 _ — ^|д2 (1 _ ch kl) |
|
||
|
3 |
|
|
Таким образом, продольный бимомент В (г) представляет самоуравновешенную систему продольных сил в сечении оболочки, воз
никающих вследствие стеснения депланации |
сечения. |
|
||
Формула для |
определения |
нормальных |
||
напряжений в |
оболочке |
|
||
На основании равенства (1. 17) |
для рассматриваемой задачи |
|||
нормальные напряжения будут определяться но формуле |
||||
а(г, s) = -^©i(s)-)--7^-cp2(s), |
(1.68) |
|||
где <pj=j/(s); ®2-—+ |
—х2^-±:су, а остальные |
геометриче |
||
ские и силовые характеристики находятся из выражений (1.22), (1.26) и (1.67).
В формуле (1.68) первый член относится к напряжениям, сле дующим закону плоских сечений, а второй член связан с деплана цией сечения и выражает величину дополнительных нормальных напряжений, возникающих за счет стеснения депланации сечений вблизи заделки.
Касательные напряжения 'Следует определять из условия равно
весия элемента оболочки, а |
именно из дифференциального урав |
|
нения |
|
: |
1-111^11211 = 0. |
(1.69) |
|
dz |
ds |
|
26
Пример. |
Определим |
напряжения в кессоне (см. фиг. 4), нагру |
||
женном |
на |
свободном |
конце сосредоточенной поперечной силой |
|
Q = 800 кг. Размеры кессона |
||||
даны на фиг. 4. |
|
|
||
Геометрические |
характе |
|||
ристики, |
рассчитанные |
по |
||
формулам |
(1.22), |
(1.26) и |
||
(1.50), имеют значения: 1Х= |
||||
= 338 см4-, |
7]? = 363’ 103 |
сме,‘ |
||
с=44,2 см-, |
£=0,0839 1/сж; |
|||
£=7,1 • 105 кг/см2. Величину бимомента определяем по формуле (1.67). График рас пределения бимомента по размаху кессона в продоль ном сечении 1-3 (см. фиг. 4) показан на фиг. 5.
Из графика |
видно, что |
|
действие бимомента распро |
Фиг. 5. График .распределения бимомен- |
|
страняется от |
заделки на |
та по размаху кессона. |
расстояние, практически рав |
|
|
ное ширине оболочки. |
|
|
По формуле |
(1.68) были определены напряжения в поперечных |
|
сечениях трех кессонов длиной /=100; 50 и 25 см.
Результаты вычислений приведены в табл. 2, 3 и 4, а на фиг. 6 показаны эпюры распределения нормальных напряжений по попе речным сечениям всех трех кессонов.
длины.
Из анализа данных табл. 2, 3, 4 и эпюр напряжений, представ ленных на фиг. 6, видно, что по мере уменьшения длины кессона,
27
при прочих равных условиях, роль бимаментных напряжений в на пряженном состоянии оболочки значительно возрастает.
Если в первом кессоне (длиной /=100 см) бимоментные напря жения по сравнений с напряжениями, полученными на. основе за кона плоскости, играют существенную роль только в корневом сечении оболочки, то во втором кессоне (/=50 см) относительное влияние этих напряжений распространяется на большую часть кес сона от сечения заделки, а в третьем кессоне (/=25 сл) бимомент ные напряжения охватывают почти весь кессон.
Таблица 2
Распределений напряжений по размаху и хордам кессона при /=100 см и нагрузке Q—800 кг
|
|
sh kZ |
|
Qz |
R |
Qz |
В |
Qz |
|
В |
Qz |
В |
|
Z |
kz |
В |
----- <Pi |
----- <Pa |
°кр——”i+—у, ----- |
— ъ |
°cp=—?i+— o2 |
||||||
|
|
|
|
Jx |
Л? |
JX |
71<P |
Jx |
Лр |
Jx |
yl© |
||
20 |
1,678 |
2,58 |
493 |
|
-211 |
-0,27 |
—210,8 |
—211 |
|
+0,249 |
-210,7 |
||
50 |
4,195 |
33,17 |
6330 |
|
-526 |
—3,42 |
-529,4 |
—526 |
|
+3,20 |
-522,8 |
||
80 |
6,712 |
411,10 |
78 400 |
|
-843 |
-42,40 |
-885,4 |
-843 |
+ 39', 60 |
-803,4 |
|||
90 |
7,551 |
951,30 181 500 |
|
-947 |
-98,40 |
-1045,4 |
-947 |
|
| |
—855,3 |
|||
|
|
+91,70 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
+212 |
|
|
100 |
8,390 |
2201.4С 420 000 |
|
-1055 |
-227,50 |
-1282,5 |
-1055 |
|
|
—843,0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
Распределение напряжений по размаху и хордам кессона при 1=50 см и нагрузке Q—800 кг |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
-2£o. |
В |
Qz |
В |
Qr |
|
В |
Qz |
, В |
Z |
kz |
sh, kz |
В |
|
T-’’2 |
°кр— |
?l+ |
cp2 — f, |
|
~Г°2 |
“cp=—?.+— |
||
|
|
|
|
|
Jx' |
JX |
*'1<P |
J X |
|
** l<p |
J X |
J lep |
|
10 |
0,839 |
0,941 |
11 950 |
—105 |
-6,5 |
-112 |
-105 |
|
+ 6,04 |
-99,5 |
|||
30 |
2,517 |
6,155 |
78 160 |
—316 |
-42,4 |
-358 |
-316 |
|
+39,6 |
—276,4 |
|||
40 |
3,356 |
14,320 |
181 800 |
-421 |
-98,3 |
-519 |
—421 |
|
+91,8 |
-329,2 |
|||
50 |
4,195 |
33,169 |
421 200 |
—526 |
-228 |
-754 |
-526 |
|
4-213 |
-313 |
|||
|
Случай 3. |
Желая еще больше уточнить теорию изгиба оболо |
|||||||||||
чек, построенную |
на гипотезе плоских сечений, |
введем новый ком- |
|||||||||||
28