книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

Геометрические размеры оболочки и обозначения показаны на

f (F3-^2);

на фиг. 21.

Функция ($) выбирается в виде

и соответствует поступательному перемещению элементарной полос­ ки оболочки в вертикальном направлении.

■58

Определение коэффициентов дифференциальных уравнений

Коэффициенты дифференциальных уравнений (1.7) определяем по формулам (1.8):

1

Oi=^ ?i dF—JOx',

«i2=^?i?2^=°;

«2i = ^?2?iflr/7=°;

^n^j)^idF = 2Fi,

Oi =§<^idF==2aaFi,

rn = $^dF = 2Fi.

В этих формулах

+у (^2 + Л) + a}F + a}Jx +

+^(^_/7з)+2^Е(Л__772_/7з) + а2азб/1(^_/г2) (ь174)

—соответственно главные момент и бимомент инерции сечения.

Дифференциальные уравнения равновесия оболочки

59

Свободный член уравнения, относящийся к обобщенной по­

конце оболочки (фиг. 22). Эта сила передается на оболочку через торцовую нервюру, жесткую в своей плоскости.

Фиг. 22. Схема нагружения оболочки.

Для данной задачи дифференциальные уравнения (1. 175) при­ мут вид

EJOxU\ - 2GF1U1 - 2GaiF1U2-2GF1 V\ = 0;

)

Здесь

(1.178)

60

Определение постоянных интегрирования

Формулами (1. 177) представлено решение дифференциальных уравнений (1. 176) с точностью до шести произвольных постоянных.

Раскрывая условия (1.179), (1.180) и решая их совместно, получим

C1 = -Q;

С2— + Q/;

С3=0;

С4 = 0;

(1.181)

С — ФДз •

Л5 EJ^ ’

c6=-_^L.

При действии на свободном конце оболочки внешнего изгибаю­ щего момента коэффициент С2=М

Определение нормальных напряжений в оболочке, имеющей несимметричное поперечное сечение

Нормальные напряжения определим из выражения

° (г, s) ==Е [7/1 (г) ?1 (s) + U\ (г) ®2 (s)].

Раскрывая это выражение, получим формулу для определения нормальных напряжений:

61

Напряжения, возникающие от изгибающего момента, вычислим по формуле

М

JОх

Касательные напряжения в оболочке рекомендуем определять из уравнения равновесия

d(°s) , d(TS)Q dz ds

Выражениями (1. 177) представлено общее решение изгиба обо­ лочки несимметричного поперечного сечения сосредоточенной попе­ речной силой и изгибающим моментом. Оболочка подобного типа может иметь и другие условия крепления, а следовательно, и гра­ ничные условия могут отличаться от принятых в данной задаче.

При этом граничные условия могут быть заданы или только в перемещениях £Л, t/2, Ki или только в усилиях М, Q, В, а в задачах смешанного типа —■ частью в перемещениях, частью в усилиях.

§ 10. Некоторые замечания о выборе функций депланации

Согласно вариационному методу В. 3. Власова перемещение какой-либо точки поперечного сечения оболочки, зависящее от двух переменных, представляется в виде двух функций, из которых одна является искомой и зависит от одной переменной, а другая задается и зависит от другой переменной. От выбора аппроксими­ рующих функций зависит правильность 'решения задачи. Чем боль­ ше членов ряда берется, тем точнее получаются результаты ре­ шения.

В рассмотренных выше задачах первый член ряда представлял распределение продольных перемещений по закону плоскости, дру­ гие члены — депланацию сечений. Функция депланации, соответ­ ствующая второму члену ряда <p2(-s), нами выбиралась простейшей.. Последующие функции этого ряда берутся более высокого порядка (с несколькими полуволнами) и позволяют с высокой точностью аппроксимировать деформированное состояние оболочки при депла­ нации. Однако пользование несколькими функциями высоких поряд­ ков при решении задач приводит к весьма сложным выражениям.

Для инженерной практики достаточно функцию перемещенияпринимать в виде ряда, составленного из двух членов, в котором первый член соответствует закону плоских сечений, а второй — де­ планации сечения.

Теперь возникает вопрос, какими функциями лучше всего аппроксимировать депланацию сечений. В расчетной практике за­ кон неравномерного распределения продольных перемещений или напряжений в поперечных сечениях оболочки выражают алгебраи­ ческими, тригонометрическими и другими функциями.

62

Мы в расчетах депланацию сечений аппроксимировали тремя различными функциями, приведенными на фиг. 23. В данном па.- раграфе покажем, как влияет выбор функции депланации на ха­ рактер распределения и величину нормальных напряжений в попе­ речных сечениях оболочки. Для этой цели рассмотрим изгиб кессона поперечной силой Q=1500 кг, приложенной на свободном конце.

Фиг. 23. Эпюры функций деплаиации.

Размеры оболочки показаны на фиг. 24. Построим эпюры рас­ пределения нормальных бимоментных напряжений по ширине верх­

ней панели в сечении заделки 1-2 при различных функциях <р2(5)- Расчет этих напряжений производим по формуле (1.113)

ав=-^ге~к2Ъ ($)•

где

с6Д~

63

Первый член формулы (а) распространяется на всю ширину верх­ ней и нижней панелей кессона. Высота вертикальных стенок обо­ лочки мала по сравнению с горизонтальными, поэтому в них явле­ ния депланации будут незначительны и ими можно пренебречь.

Выбранной функции фг($) соответствуют следующие упругие и -геометрические характеристики:

Zdfa

k =

6 ’Г 2

Эпюра нормальных бимоментных напряжений в сечении 1-2 . оболочки, вычисленных по второму члену формулы (1. 113) при заданной функции (а), построена на фиг. 24 сплошной линией.

2.Пусть функция ф2(з) имеет такой вид (см. фиг. 23,6):

24А2

где с — —-~

■kJx

64

Геометрические и упругие характеристики, соответствующие этой функции, будут:

^=1/-4^;

(1. 113). Эпюра этих напряжений построена на фиг. 24 пунктирной линией.

3.Пусть теперь функция q>2(s) выбрана так (см. фиг. 23, в):

=v (^- ~ 4cd^+4+4 c2^F<+

О \ Z Л о / о

При заданной функции (в) и соответствующих ей упругих и гео­ метрических характеристиках бимоментные напряжения, вычислен­

ристики, связанные с функцией (в), легче вычисляются, и при этом упрощается вычисление коэффициентов дифференциальных уравне­ ний. Это обстоятельство заставило^ нас применять функцию (в)

впрактических расчетах.

§11. О влиянии некоторых геометрических размеров оболочки на депланацию сечений

Внастоящем параграфе покажем, как влияют некоторые гео­ метрические размеры оболочки на депланацию сечений.

Известно, что с увеличением депланации растут и бимоментные напряжения в заделке и близких к ней сечениях вследствие их

стеснения. Анализ влияния геометрических размеров на депланацию сечений будем вести по напряжениям.

Вычислим нормальные напряжения ст*, меняющиеся по закону плоскости, и бимоментные напряжения ав в крайних точках сече­ ний заделки оболочек, имеющих различные геометрические раз­ меры.

Рассмотрим изгиб оболочки поперечной силой Q=1000 кг. Раз­ меры оболочки:

^ = 10 см~, 81=0,12 см', 82 = О,2 cm', kF=1 см2; I—100 см. (а)

Материал оболочки—дуралюмин.

Оставляя эти размеры постоянными, будем менять ширину обо­ лочки d2 от ГО до 60 см.

Вычислим для указанных значений d2 нормальные напряжения

Результаты вычислений сводим в табл. 9.

На фиг. 25 сплошной линией показан график изменения бимо­ ментных напряжений по отношению к напряжениям, распределяю­ щимся по закону плоскости, в зависимости от ширины кессона d2 при постоянной толщине горизонтальных стенок 82=0,2 см.

Пусть теперь толщина горизонтальных стенок оболочки будет 82=0,4 см. Остальные размеры оболочки оставим без изменения. Вычислим по формуле (1. ИЗ) напряжения для случаев, когда d2 меняется от 10 до 60 см. Числовые значения сведем в табл. 10.

График изменения бимоментных напряжений при 82=О,4 в за­ висимости от ширины оболочки показан на фиг. 25 пунктирной, линией.. Сравнивая кривые распределения бимоментных напряже­ ний в зависимости от ширины оболочки, видим, что увеличение толщины горизонтальных стенок 82 при тех же заданных условиях вызывает рост бимоментных напряжений.

Рассмотрим изменение бимоментных напряжений в случае, когда высота и ширина оболочки остаются постоянными, а меняется лишь толщина горизонтальных пластин. Изгиб оболочки произво­ дится поперечной силой Q=1000 кг.

66

Фиг. 25. Графики изменения относительных бимомент­ ных нормальных напряжений в зависимости от ширины оболочки.

Размеры оболочки:

dx = 10 см;

d2 = 30 см;

AF=1 см2;

/=100 см.