книги из ГПНТБ / Образцов И.Ф. Методы расчета на прочность кессонных конструкций типа крыла

______________________________________________________ Таблица 4

Распределение напряжений по размаху и хордам кессона при 7=25 см и нагрузке Q=800 кг

сечения. Эпюра этой функции должна быть самоуравновешенной.

Фиг. 7. Эпюры функций деттланации.

Функции <p2(s) и q>3*(s) отражают сдвиги, происходящие в оболоч­ ке при изгибе ее поперечной силой.

Представим продольные и поперечные перемещения какой-либо точки кессона в форме

и (г, s),= U1 (z) (s) +U2 (z) ф2 (s) + Ul (z) <рз (s);

(1.70)

v (z, s) = Vj (z) Ф! (s),

29

где функции cpi(s), <p2(s) и ipi(s) известны из предыдущих решений и показаны на фиг. 3.

Функцию ф3*(«) выберем в таком виде:

^с?1?з^/?==0;

Производная от функции <рз*(з) также показана на фиг. 7.

■^^—- Л + kFdl (a + be)2;

О

30

Систему дифференциальных уравнений* (1.74) способом, изло­ женным в предыдущем случае, можно привести к одному диффе­ ренциальному уравнению вида

/ (г) = С1Ф1 + С2Ф2 + С3Ф3+ С4Ф4 + С5г3+ C6z2+ C7z + С8, (1.82)

В табл. 5 приведены значения функций Фь Ф2, Ф3, Ф4 и их про­ изводных, необходимые для решения задач, подобных рассмотрен­ ной выше.

32

Зак. 428

Произвольные постоянные интегрирования находим из гранич­ ных условий в сечениях г=0 и z=l.

дим по формулам (1.76) — (1-79) искомые обобщенные перемеще­

ния 171, U2, Ul и У). Обобщенным перемещениям U2 и Дз и вы­

бранным функциям фг($) и фз («), отражающим депланацию сече­

где JiT и /г? —геометрические характеристики (бимоменты инер­ ции при изгибе).

В формуле (1.91) первый член относится к напряжениям, соот­ ветствующим закону плоских сечений; вторые два члена относятся к бимоментным напряжениям и связаны с деплакацией сечения.

Решение рассматриваемой задачи сопряжено с громоздкими ма­ тематическими выкладками, поэтому здесь оно дается сокращенно, в общем виде.

По формуле (1.91) были определены нормальные напряжения

о = — 82,7 —13,05— 5,75= —101,5 кг/см?.

Здесь второе и третье слагаемые относятся к бимоментным на­ пряжениям. Результаты расчета напряжений, представленные в форме суммы, наглядно показывают, что бимоментные напряжения в местах заделки достигают значительной величины, и ими нельзя пренебрегать при расчете оболочек.

В настоящем параграфе мы привели общую методику расчета оболочек на изгиб от поперечной силы с учетом депланации сече­ ний. По приведенной схеме можно решать и более сложные задачи. Вычислительные трудности при решении подобных задач будут возрастать с увеличением числа оставляемых членов ряда функ­ ций перемещения. Для инженерных расчетов можно ограничиться двумя членами — первый член будет соответствовать перемеще­ ниям, следующим закону плоских сечений, а второй — депланации сечений.

Дальнейшее увеличение числа оставляемых членов ряда функ­ ции перемещений приводит, как правило, к сложным формулам и большим математическим вычислениям.

§ 5. О двух решениях дифференциальных уравнений стесненного изгиба

Ранее мы указывали, что при изгибе оболочки поперечной силой в сечениях, лежащих вблизи заделки, возникают дополнительные нормальные и касательные напряжения, связанные со стеснением депланации сечений. В сечениях, достаточно удаленных от заделки, нормальные напряжения распределяются по закону плоскости. Поэтому расчетные формулы удобно строить так, чтобы они учиты­ вали эффект стеснения в заделке и вблизи нее, а вдали от заделки практически превращались в элементарные формулы изгиба, выра­ жающие закон плоских сечений. Для этой цели необходимо начало осей координат расположить в сечении заделки (фиг. 9).

34

где аппроксимирующие функции фг(»), фг(з) и ipi(s) изображены на фиг. 3.

При выбранных функциях задача изгиба оболочки поперечной силой приводится к решению дифференциальных уравнений:

EJх Ui-2GF1U1 - 2GcF, U2 - 2GF, V\ = 0;

Фиг. 9. Расположение осей '««эо|рдин»ат.

Решение системы дифференциальных уравнений (1.92)

Интегрируя третье уравнение системы, получим

где

(1.98)

Напишем общее решение дифференциального уравнения (1.97) в показательных функциях

U2=Cie',z-\-C5e~kz — -(1.99)

Имея в виду равенства (1.95) и (1.99) и интегрируя один раз выражение (1. 96), получим формулу для искомого поперечного пе­

-Tc<re“+TCs“"’+7rv+c‘- (1'100>

Таким образом, решение дифференциальных уравнений с точ­ ностью до шести произвольных постоянных приведено к следующим интегралам:

так как этот конец оболочки закреплен от продольных и попереч­ ных перемещений.

Для сечения z=l граничные условия будут статические:

2GFl(U1-\-cU2-\-V\) =— Q,

отображающие силовое состояние, при котором на свободном конце изгибающий момент и бимомент равны нулю, а обобщенная попе­ речная сила равна Q. Знак Q будет зависеть от расположения осей координат и направления этой силы.

36

Раскрывая условия (1. 102) и (1. 103) с помощью равенств (1.101), получим для произвольных постоянных интегрирования следующие формулы:

C^-Q-,

c2=+qi-,

С3=0;

£Qce~kl

4 EJ^k2 (еы е~ы) ’ | (1.104)

q ______ Qce^_______ .

Определение нормальных напряжений

На основании закона Гука и принятого для смещений u(z, s) выражения нормальные напряжения будут определены равенством

Имея в виду равенства (1.104) и раскрывая выражение (1. 105), получим формулу для нормальных напряжений

а(2, s)_«<^T](S) + ^(-j4±sr_T-gE-)T,(s). (1.106)

рой член выявляет бимоментные напряжения, возникающие вслед­ ствие стеснения депланации.

оболочки к ее высоте очень мала, и этим слагаемым при определе­ нии о можно пренебречь.

Учитывая это замечание, к решению системы дифференциальных уравнений (1.92) мы можем подойти по-другому. А именно': в слу­ чае длинной оболочки для удовлетворения граничным условиям функции U2 в сечении z=l следует приравнять нулю коэффициент при т. е. положить С.}=0.

Вэтом случае интегралы дифференциальных уравнений

Ctz3 C2z

ЦC2EJX EJх

(1. 107)

37