книги из ГПНТБ / Алтухов В.А. Основы аэродинамики летательных аппаратов

Возьмем вихревую нить (фиг. 1.18) и рассечем ее плоскостью, нормальной к оси нити. Очевидно, вектор угловой скорости вра­

щения и> будет нормален к поперечному сечению нити, имею­ щему площадь do.

Величину dF = 2соda принято называть напряжением вихре­ вой нити.

Рассечем теперь вихревую нить плоскостью, расположенной

Таким образом, напряжение вихревой нити равняется удвоен­ ному произведению площади произвольного сечения этой нити на составляющую вектора угловой скорости по нормали к этому сечению.

Для напряжения вихревого шнура конечного сечения, состоя­ щего из бесконечно большого числа вихревых нитей, получим следующее выражение:

§ 17. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ. ТЕОРЕМА СТОКСА О ЦИРКУЛЯЦИИ СКОРОСТИ

Весьма важным понятием теоретической аэродинамики является ц и р к у л я ц и я с к о р о с т и . Проведем в потоке произвольный замкнутый контур 5 (фиг. 1.19). Каждой точке этого контура будет соответствовать

некоторый вектор скорости V. Угол

между вектором V и касательной к контуру в произвольной точке контура обозначим через ©. Проекция скорости

V на касательную пусть будет Vs . Вы­ делим далее элемент контура dS. Для этого элемента произведение dl — = Vs dS есть элементарная циркуля­ ция скорости.

50

Интеграл по замкнутому контуру от этого выражения

носит название циркуляции скорости.

Можно установить непосредственную связь между циркуля­ цией скорости по замкнутому контуру и напряженностью вихрей, охватываемых данным контуром.

Обращаясь к этому выражению, легко видеть, что левая часть его представляет собой циркуляцию скорости по замкнутому контуру S, а правая — сумму напряженностей вихрей, охваты­

ваемых данным контуром.

Поэтому правая часть выражения (1.53) представляет собою сумму напряженностей вихрей, проходящих через поверхность о, и, следовательно, охватываемых контуром S, т. е. равна:

А=2 Я"Л'

Соотношение это будет справедливо для любого контура S и любой поверхности з, если они путем непрерывной деформации могут быть стянуты в одну точку, не выходя за пределы области, в которой заданы функции VXl Vy, Vz.

Полученный результат мы можем сформулировать в виде теоремы, называемой теоремой Стокса: циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в жидкости, если контур может быть стянут непрерывной деформацией в точку, не выходя ва пре­ делы жидкости, равна сум.ме напряже­ ний вихревых нитей, проходящих внутри

•контура.

Если контур охватывает твердое те­ ло (фиг. 1.21), то к такому контуру сформулированная теорема непосредст­ венно не применима. В этом случае мож­ но поступить так: соединим внешний контур с телом двумя параллельными

линиями: ad и Ьс. Тогда 'получим новый 'более сложный контур abcda, который уже можно стянуть в одну точку, не выходи из пределов жидкости. Циркуляция по этому .контуру может быть выражена как сумма циркуляций то отдельным отрезкам кон­ тура:

A:bedа IаЬ~Ь ^Ьс Ф 4 / Ф 4л"

При сближении линий Ьс и da получим

Если контур abcda охватывает вне тела безвихревую область, т. е. такую область, которая не содержит вихревых нитей, то, очевидно, Iabcda = 0 и тогда Is = ISu .

Таким образом, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему твердое тело в безвихревом потоке, равняется циркуляции скорости по контуру тела.

§ 18. ТЕОРЕМА О ПОСТОЯНСТВЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПО ДЛИНЕ ВИХРЕВОГО ШНУРА

Как следствие теоремы о циркуляции скорости, можно, в част­ ности, получить теорему, устанавливающую постоянство напря­ жения по длине вихревого шнура.

Возьмем два произвольных сечения некоторого вихревого шнура (фиг. 1.22), площадь одного сечения обозначим через Oj , а второго через о2.

52

Циркуляция скорости по контуру /1 сечения а: запишется сле­

дующим образом:

ш н у р а во в с е х е г о с е ч е н и я х е с т ь в е л и ч и н а п о с т о я н н а я .

Из этой теоремы, в частности, следует, что вихрь не может

среды, либо образовывать замкнутые кольца, либо уходить в бес­ конечность.

§ 19. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ОКОЛО ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ВИХРЕН

Пусть в неограниченной массе неподвижной жидкости (газа) расположен вихревой прямолинейный бесконечно длинный шнур (фиг. 1.23). Жидкость внутри шнура находится во вращатель­ ном движении. Если провести в жидкости любой замкнутый кон­ тур, охватывающий вихревой шнур, то циркуляция по этому контуру должна равняться напряжению вихря. Таким образом,

53

циркуляция скорости, а следовательно, и скорость жидкости не могут оставаться равной нулю. Скорость движения, обусловлен­

ная наличием вихревого шнура, носит название индуктивной скорости.

Так как шнур бесконечный и прямолинейный, то во всех плос­ костях, нормальных к оси шцура, картина движения будет оди­ наковой и нам достаточно рассмотреть изменение скорости в одной из таких плоскостей.

Выберем в плоскости, нормальной к оси вихря, контур в виде окружности радиуса г с центром, лежащим на оси вихря.

В силу симметрии на одинаковом расстоянии от вихря ско­ рости Vs = U, индуцируемые вихрем, должны быть одинаковы. Согласно теореме, связывающей напряжение вихря с циркуля­ цией [формула (1.54)], получаем

Отсюда и определим скорость, индуцируемую прямолиней­ ным вихрем с напряжением Г в произвольной точке потока, отстоящей на расстоянии г от оси вихря

Скорость, индуцируемая прямолинейным, бесконечно длин­

ным вихревым шнуром в произвольной точке жидкости (таза), окружающей шнур, прямо пропорциональна напряжению вихря и обратно пропорциональна расстоянию точки от оси вихря.

На фиг. 1.24 изображена картина изменения скоростей, инду­ цируемых одиночным прямолинейным, бесконечно длинным вих­ рем вдоль прямой, перпендикулярной оси вихря.

54

Если рассматривать не весь шнур, а половину шнура, прости­ рающегося от рассматриваемой плоскости лишь в одну сторону, получим так называемый полушнур. Полушнур вызовет в точке А, лежащей в плоскости, нормальной к оси шнура у его конца (фиг. 1.25), скорость, вдвое меньшую, чем бесконечный шнур, простирающийся в обе стороны. Таким образом, скорость, инду­ цируемая полушнуром, равна: •

Тонкий прямолинейный вихрь, расщепляющийся с одного кон­ ца в точке О на пучок равномерно распределенных в простран­ стве радиальных вихревых линий, а с другого конца уходящий ш бесконечность, индуцирует в некоторой точке пространства А, определяемой радиусом г и углом я (фиг. 1.26), скорость, опре­ деляемую формулой

Прямолинейный отрезок вихря, расчлененный с двух концов (фиг. 1.27), индуцирует скорость в любой точке потока, равную:

Теоремы о вихрях находят широкое применение в теоретиче­ ских методах исследования обтекания тел потоком воздуха.

Необходимо обратить внимание на следующие обстоятель­ ства. Выражения «скорости, вызываемые или индуктируемые вихревым шнуром», являются условными и их не следует пони­ мать буквально. В действительности вихрь не способен оказать на жидкость такое силовое воздействие, чтобы привести огром­ ную массу жидкости в циркуляционное движение. В идеальной жидкости отсутствуют силы вязкости и потому нет даже меха­ низма, с помощью которого могло бы передаваться движение от вихревых шнуров окружающей жидкости. В реальной жидкости кинетическая энергия вихревых шнуров также оказывается слишком ничтожной по сравнению с энергией окружающего потока и не может быть причиной этого движения.

Дейспвительными причинами, порождающим,и вихревые и циркуляционные движения в жидкости или тазе при движении в них твердых тел, являются воздействия этих тел на окружаю­

щий 'ПОТОК.

Однако во всех случаях, когда возникает в потоке циркуля­ ционное движение, между напряжением вихревых шнуров и цир­ куляцией скорости существует строго определенная аналитиче-

55

ская связь. Используя эту связь, можно, зная напряжение Ьихревых шнуров, вычислять скорости циркуляционного движения в окружающем их (потоке [формулы (1.55).— (1.58)].

Фиг. 1.26 Фиг. 1.27

§ 20. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА

Большое практическое значение имеет теорема Н. Е. Жуков­ ского о подъемной силе крыла. Эта теорема вместе с теорией вихрей позволила развить методы расчета аэродинамических характеристик крыльев и воздушных винтов при дозвуковых ско­ ростях.

Приведем упрощенный вывод этой теоремы. Рассмотрим цилиндрическое крыло бесконечно большого размаха, которое безотрывно обтекается безвихревым потоком идеальной невяз­ кой жидкости (фиг. 1.28). Такое крыло во всех плоскостях, нор­ мальных к размаху (ось z), дает одинаковую картину обтекания

достаточно определить подъемную силу, приходящуюся лишь на единицу размаха крыла.

Ограничим поток сверху и снизу двумя непроницаемыми для

газа плоскостями' 1—2 и 3—4, отстоящими от крыла на расстоя­ нии +h, и двумя воображаемыми плоскостями 1—3 и 2—4, нор­ мальными к потоку, расположенными, впереди и сзади тела на бесконечно большом расстоянии от него.

56

Воспользуемся далее теоремой об изменении количества дви­ жения, применяя ее к жидкости между контрольными плоско­ стями и крылом. Весом жидкости будем пренебрегать.

Действие жидкости, находящейся за контрольными поверх­ ностями, заменим соответствующими давлениями на внешних границах выделенного объема. Действие со стороны крыла на выделенную массу жидкости.можно заменить аэродинамической силой, действующей на крыло со стороны потока, но с обратным знаком. Тогда, записав теорему о количестве движения в проек­ ции «а координатную ось х (фиг. 1.28), /получим

Левая часть уравнения (1.48) представляет собой проекцию вектора секундного импульса сил на ось х, действующего на выделенную массу газа, а правая — секундное изменение коли­

Ф и г. 1.28

чества движения этой массы. Индексом «п» обозначены парамет­ ры на передней плоскости 1—3, а индексом «з» — параметры /потока на задней поверхности 2—4 (фиг. 1.28). Но так как плос­ кости 1—3 и 2—4 находятся в невозмущенном потоке, то, оче­ видно, имеют место равенства

т. е. сила сопротивления крыла бесконечного размаха в плоско­ параллельном безвихревом потоке идеальной жидкости равна нулю.

57

Столь парадоксальный результат, впервые установленный Эйлером, становится легко объяснимым, если учесть-, что рас­ сматривается безвихревой поток без учета касательных сил тре­ ния и срывов потока. Срыв потока создает дополнительное вих­ ревое движение, на которое затрачивается энергия, что и обус­ ловливает (появление дополниталыного сопротивления.

Полученный результат свидетельствует, что для уменьшения сопротивления следует избегать срывных режимов и уменьшать действие касательных сил трения.

Рассмотрим теперь изменение количества движения в направ­ лении оси у:

Здесь индексами «н» и «в» обозначим параметры на нижней 3—4 и верхней 1—2 поверхностях (|фш\ 1.28), а индексом .«£/»—• нормальные к этим поверхностям составляющие скорости.

Но так как выбранные плоскости 1—2 и 3—4 непроницаемы, то, очевидно, нормальные составляющие к этим плоскостям, а вместе с гем и секундное изменение количества движения в на­ правлении оси у равны нулю. Следовательно, уравнение (1.61) будет иметь вид:

—< х

Устремляя расстояние 2 h между плоскостями 1—2 и 3—4 к бесконечности, мы получим крыло, расположенное в безгра­ ничном плоскопараллельном потоке. При этом у поверхности плоскостей поток будет слабовозмущенным.

Применим теперь уравнение Бернулли для верхней и нижней

—оо

Нетрудно видеть, что интеграл, входящий в последнее урав­ нение, равен циркуляции скорости по выделенному замкнутому контуру 1—2 — 3—4, так как циркуляция по отрезкам этого кон­

58