книги из ГПНТБ / Алтухов В.А. Основы аэродинамики летательных аппаратов

ReKpT существенное влияние оказывают начальное состояние потока, набегающего на пластину, и степень шероховатости пла­ стины.

В аэродинамических трубах, благодаря взаимодействию по­ тока с элементами конструкции трубы, поток всегда бывает более или 'менее сильно вшмущен или, .как говорят, приведен

*ср

Ф и г. 4.9

в начальное турбулентное состояние. Степень турбулентности в различных трубах бывает различна, поэтому различными

получаются и критические числа Рейнольдса.

Начальная турбулентность потока характеризуется величи­ ной пульсации скорости потока V (фиг. 4.9). Степень турбулент­ ности потока может быть оценена величиной

( 4 .8 )

Эту величину называют степенью начальной турбулентности потока и часто выражают в процентах.

Для гладкой пластины критические числа Рейнольдса явля­ ются функцией только степени турбулентности:

RfeKp т — f (е)-

Качественно эта зависимость представлена на фиг. 4.10.

130

Если ввести в рассмотрение числа Рейнольдса всей пластины

хода можно выразить через отношение чисел ReKpT и Re:

рости полета точка перехода будет смещаться к передней точке пластины. Область турбулентного пограничного слоя пластины при этом будет увеличиваться. С уменьшением скорости (чисел Рейнольдса) точка перехода будет смещаться к задней части пластины и может выйти за пределы пластины. В этом случае вся пластина будет покрыта ламинарным слоем.

В аэродинамических трубах степень начальной турбулентно­ сти е мало изменяется с ростом скорости потока, так как вместе с ростом скорости Исо растут и .пульсационные составляющие скорости V (фиг. 4.9). При этом степень начальной турбулент­ ности е остается примерно постоянной.

Пульсационные составляющие скорости в атмосфере зави­ сят от степени возмущенности атмосферы, которая определяется неравномерностью нагревания воздуха и вызванными ею конвек­ тивными движениями частиц воздуха, рельефом земной поверх­ ности при ветровых движениях и др. С увеличением высоты пульсации скорости в атмосфере затухают.

Так как пульсационная составляющая скорости V в атмо­ сфере не зависит от скорости движения тела, то с ростом скоро­ сти полета степень начальной турбулентности воздуха умень­ шается [формула (4.8)]. Это влечет за собой (фиг. 4.10) повыше­ ние критического числа Рейнольдса, которое при полете в атмо­ сфере может достигать величины ReKpT = 2 • 106 и более. Такое большое значение ReKfTB свою очередь обусловливает даже при больших скоростях полета значительное протяжение зоны лами­ нарного пограничного слоя.

§ 4. УРАВНЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Достаточно эффективным методом исследования пограничного слоя является метод, опирающийся на уравнение изменения количества движения в пограничном слое. Получим это уравне­ ние.

Выделим двумя бесконечно близкими сечениями небольшую часть /пограничного слоя шириной (фиг. 4.11). Длину участка в направлении размаха примем равной единице.

Через левое сечение АВ в единицу времени протекает масса s

™= j' ?Vx dy.

U

Эта масса проносит через сечение АВ количество движения

5

/= Jpl //dy.

О

Если обратиться теперь к правому сечению А'В', находящемуся

на расстоянии Зд: от левого, то через него в единицу времени

•будет протекать масса

обладающая количеством движения

Через верхнюю границу слоя на участке шириной ojr, в силу не­ разрывности течения, будет втекать внутрь элемента масса жидкости, равная разности:

и будет вносить с собой изменение количества движения, равное:

(т1- т) 1/5 - (\ i fо 9Vb Vx d y \b x ,

132

является приращением количества движения в направлении оси х за одну секунду на участке пограничного слоя шириной 8х.

Это приращение должно равняться сумме внешних сил, дей­ ствующих вдоль оси х на выделенный участок пограничного слоя. Сумма внешних сил будет складываться из разности сил давле­ ния, приложенных к торцевым сечениям и к верхней границе элемента пограничного слоя, а также из силы трения, действую­ щей против, течения на нижнюю сторону выделенного элемента пограничного слоя со стороны поверхности пластины. Вычислив их, найдем результирующую силу в виде

где 8 — толщина пограничного слоя; т0 — напряжение трения на стенке.

Приравнивая секундное изменение количества движения результирующей силе, вызывающей это приращение, и сокра­ щая одновременно все члены на общий множитель 8л;, получим

Уравнение (4.10) и есть искомое уравнение изменения коли­ чества движения для элемента пограничного слоя.

§ 5. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ

В качестве примера использования уравнения (4.10) рассмот­ рим простейший случай — ламинарный пограничный слой в не­ сжимаемой жидкости на плоской пластинке, расположенной параллельно набегающему потоку воздуха.

Для этого случая, очевидно,

dp _

р = р = c o n st, — — = 0.

“dx

'133

ч

Это уравнение может быть решено, если будет известно значе­ ние v Тогда, найдя значение интегралов, входящих в уравнение (4.11), получим дифференциальное уравнение, связывающее 8 и х, проинтегрировав которое, можно установить связь между толщиной пограничного слоя о и расстоянием от передней кром­ ки X.

При ламинарном течении напряжение трения выражается известным законом Ньютона

Коэффициенты этого полинома я0, яь я2 и Яз можно определить

что при у -> 0 скорость Vx изменяется по линейному закону, т. е.

На внешней границе пограничного слоя при у — 8 имеем

Vx = Кос;

ду

Обращаясь к уравнению (4.13) и учитывая (4.14) и (4.16), получим систему уравнений для определения коэффициентов полинома Я1 и я3:

д, + а3= 1 ; я1+ 3я8 = 0.

134

Значение интегралов, входящих в уравнение (4.20), легко вычислить:

При этих значениях интегралов (4.20) приводится к виду-

Интегрируя это простое дифференциальное уравнение относи­ тельно 8 по переменной х при условии, что при х — 0 8 = 0 , получим

- 135

Отсюда находим зависимость толщины ламинарного погранич­ ного* слоя от переменной х:

Как видно из этого выражения, толщина ламинарного погранич­

ного слоя возрастает по длине пластины пропорционально V х\> Подставив (4.22) в уравнение (4.19), получим зависимость

напряжения трения у стенки т0 от координаты х и скорости V

Из этой формулы следует, что напряжение трения убывает по длине пластины.

Отношение напряжения трения к скоростному напору носит

0,664

(4.25)

Сила трения пластины единичного размаха, приходящаяся на одну ее сторону, легко может быть вычислена по значениям местного коэффициента трения

Роо Vl b 1,328

(4.26)

Отношение силы трения Хтр к скоростному напору и к площади пластины назовем коэффициентом трения пластины. Согласно

136

/

Коэффициент лобового сопротивления пластины, вызванного силами трения, действующими по обе стороны пластины, будет равен:

' Таким образом, изложенная здесь простая теория позволяет определить важнейшие характеристики ламинарного погранич­ ного слоя: закон распределения скоростей по толщине погранич­ ного слоя, толщину пограничного слоя, напряжение трения у стенки в каждом сечении пластины и общую силу сопротивления трения плоской пластины.

§ в. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИНА В ПОТОКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

Турбулентный слой на пластине состоит из двух частей (фиг. 4.12): из относительно толстого турбулентного слоя и тон­

кого ламинарного подслоя. В ламинарном подслое остается справедливым закон трения Ньютона, согласно которому

(4.29)

Так как толщина ламинарного подслоя весьма мала, то в нем можно считать т= т0 = const.

137

т. е. линейный закон изменения скорости по толщине ламинар­ ного подслоя.

Опытами установлено, что в турбулентной, части слоя можно принять степенной закон изменения скорости: ■

(4-31>

Показатель степени п в общем случае зависит от числа Re, но для чисел Рейнольдса, встречающихся .на практике, он колеб­ лется в пределах от 1/7 до 1/9. I

Часто при расчетах принимают значение показателя п —— ,

На границе ламинарного подслоя толщиной h скорости, вычи­ сленные по формулам (4.30) и (4.32), должны быть равны, т. е.

Опытные данные по трубам (см. § 5, гл. II) и пластинам позволяют предположить, что число Рейнольдса, подсчитанное по скорости на внешней границе ламинарного подслоя и тол­ щине этого подслоя, является постоянной величиной

Система уравнений (4.33), (4.34) и (4:35) позволяет (после исключения из нее величин Vh и h) получить зависимость, свя­ зывающую напряжение у стенки т0 с параметрами невозмущен­ ного потока Poo V«, и толщиной пограничного слоя 3:

i_

Используя уравнение изменения количества движения (4.11) для плоской пластины в несжимаемом потоке, в которое следует под­

138

ставить значения td и Vx согласно формулам (4.36) и (4.32) г можно получить выражение для1толщины турбулентного пограничного слоя в виде

Как отсюда видно, толщина турбулентного пограничного слоя

нарастает по длине пластины пропорционально х 5, т. е. значи­ тельно быстрей, чем в ламинарном слое.

Местный коэффициент трения

р» v y

2

может быть определен с'Помощью выражений (4.36) и (4.37)

Переходя от значений местных коэффициентов трения к сред­ нему значению, так же йак это было сделано в предыдущем параграфе, получим выражение для коэффициента односторон­ него трения пластины

Коэффициент сопротивления трения пластины будет равен:

Как показывают сравнения с опытными данными, полученные в этом параграфе формулы дают хорошие результаты для чисел

Re < Ю'.

§ 7. СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЛАСТИНЫ ПРИ СМЕШАННОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

Мы рассматривали отдельно ламинарный и турбулентный пограничные слои пластины. В действительности, если число Re пластины больше ReKp г, на пластине образуется так называе­ мый смешанный пограничный слой (фиг. 4.13), состоящий из начального ламинарного участка и следующего за ним турбулент­ ного. Решим приближенно зада­ чу о смешанном пограничном слое.

Сила сопротивления пласти­ ны при смешанном слое слагает­ ся из силы оопроживления лами­ нарного участка на длине пла-

139