книги из ГПНТБ / Алтухов В.А. Основы аэродинамики летательных аппаратов
.pdf-частные производные от которой по координатам определяются выражениями
% - = х , |
¥ - = г , |
дЯ - = г . |
(1.12) |
ох |
ду |
дг |
|
т. е. равны проекциям ускорений на соответствующие оси.
При этом |
X d x + Y d y Л- Z d z = d U . |
(1.13) |
Если известно поле ускорений, создаваемое массовыми сила |
||
ми, то по нему может быть определена и функция |
U(x,y,z), |
|
удовлетворяющая условиям (1.12). Такая функция |
называется |
|
п о т е н ц и а л о м |
м а с с о в ы х сил. |
|
Обычно внешней массовой силой является сила тяжести. Выражение для потенциала силы тяжести имеет, как известно, простой вид. Если ось г направить по радиусу Земли и принять, что ускорение силы тяжести постоянно вдоль этой оси и равно Z = —g, тогда как составляющие ускорения вдоль двух других
координатных осей равны нулю, то в этом случае |
|
dU — — g d z и U = — gz + C l. |
(1.14) |
При установившемся движении давление р есть |
'функция |
только координат и поэтому |
|
Таким |
образом, уравнение |
(1.11) |
может быть |
представлено |
||||
в виде |
/ т/2 \ |
|
|
.J |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ f |
=0- |
|
|
|
Интегрируя это уравнение, получим |
|
|
|
|||||
|
— U -(- ~ |
f |
Г |
|
— const] • |
|
|
(1.16) |
|
2 |
|
J |
Р |
|
|
|
|
Полученное выражение называется интегралом Бернулли.' |
||||||||
При однозначной зависимости плотности от давления, |
напри- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
f |
dp |
может |
мер, в случае изоэнтропических процессов, интеграл \ |
— |
|||||||
быть легко вычислен. |
|
процесса давление |
J |
Р |
|
|||
Так, для ивоэнтро|пичеоко1го |
и плотность |
|||||||
связаны известным соотношением |
|
|
|
|
|
|||
|
р — Срх , откуда |
dp = хСр*-1 dp. |
|
|
|
|||
' С точностью до произвольной постоянной |
|
|
|
|||||
|
dp |
__ |
|
х |
р |
|
|
(1.17) |
|
Р |
|
X — 1 |
Р |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
30
Подставляя в (1.16) выражения (1.14) и (1.17), получим выражение для интеграла Бернулли в виде
|
, |
V 2 |
|
х |
р |
|
|
|
|
|
** + |
— |
+ |
Т Т Г Т “ |
С0Г,8‘' |
|
|||
а после деления всех его членов на g в окончательном виде |
|||||||||
|
|
V 2 |
|
_ |
Р_ |
■■с, |
|
( U 8 ) |
|
|
|
Ч |
|
|
|||||
|
|
|
■1 |
Т |
|
|
|
||
где Т = РЯ — весовая плотность газа. |
|
|
К2>М> |
||||||
Размерность |
каждого |
члена уравнения |
(1.18) |
||||||
есть —7— , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
FC2 |
|
поэтому сумма |
трех |
членов |
интеграла |
Бернулли представляет |
|||||
собой полную энергию, K ofopoft обладает 1 |
кг газа |
при движе |
|||||||
нии вдоль рассматриваемой линии тока. Как следует из получен ного выражения, величина полной энергии 1 кг газа вдоль линии
тока не изменяется.
Интеграл Бернулли, иначе называемый уравнением сохране ния энергии, получен нами для частного случая изоэнтропического течения. Однако можно показать, что оно будет справед ливо и для любых адиабатических процессов течения газа, в том числе и вязкого.
Для несжимаемой жидкости р = const. В этом случае инте грал Бернулли для несжимаемой невязкой жидкости принимает более простой вид
V |
V 2 |
(1.19) |
z + — |
-1--------— const. |
|
1 |
ч |
|
§ 7. УРАВНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
При определении суммарных сил давления со стороны потока на обтекаемое тело в некоторых случаях оказывается проще опи раться непосредственно на общие теоремы механики, применяя их к конечным объемам газа (жидкости), чем определять силы в результате интегрирования дифференциальных уравнений дви жения газа. Наиболее часто в таких случаях используется тео рема об изменении количества движения или уравнение импуль сов, ,
Применим эту теорему к установившемуся движению невяз кого газа около тела произвольной формы.
Выделим, в потоке замкнутой поверхностью s (фиг. 1.10) некоторую массу газа, окружающую обтекаемое тело. Количе
ство движения этого газа в рассматриваемый момент времени t
— ►
обозначим вектором М.
31
За малый отрезок времени dt выделенная масса газа переме стится и займет объем, ограниченный поверхностью s'., В этом новом положении ее количество движения определится векто
ром М'.
Векторная разность
Ш = М' - М
представляет собою изменение количества движения за время dt.
При установившемся движении разность ЬМ будет равна количеству движения газа (жидкости), заключенного между 1Повер.хностями s' и s, так как в остальной части объема, обшей для обоих положений выделенной массы гава, количество дви жения не изменяется.
Для того чтобы определить 8М, выделим между поверхно стями s' и s. элементарный цилиндрический объем (фиг. 1.10), имеющий площадь основания ds и высоту dn = Vn dt, где V„ —
нормальная составляющая скорости V в центре площадки ds.
Масса газа, заключенная внутри элементарного объема, рав на dm = pdsVnd t , а ей соответствует количество движения
d m V — pVV„dsdt.
Интеграл
SM = d t j { ? V V nds, s
распространенный на всю поверхность s, определит искомое изменение количества движения.
Это выражение представляет собой количество движения, переносимое за время dt через неподвижную поверхность в.
В самом деле, pVndsdt есть масса газа, переносимая за время
dt через площадку ds, a pVndsV — количество движения, кото рое за то же время вносится с этой массой внутрь поверхности
32
или же уносится наружу (в зависимости от знака Va). Следо вательно, изменение количества движения газа в выделенном неподвижном объеме за какой-нибудь промежуток времени в случае установившегося движения равно разности между коли чеством движения втекающего газа (жидкости) внутрь объема s и количеством движения газа, вытекающего из него.
Если F есть вектор равнодействующей всех внешних сил (включая и силу, с которой действует тело на движущуюся массу
газа), приложенных к выделенной массе газа, a Fdt — импульс этой равнодействующей силы, тр на основании теоремы меха ники об изменении количества движения будем иметь
? d t = bM = d t l l ? VVRds. s J
После сокращения на dt окончательно получим |
|
F = $ ) P V V nds. |
. (1.20) |
5 |
|
§ 8. УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДЛЯ СТРУЙКИ ПРИ АДИАБАТИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ
Представление о струйках позволяет изолированно изучать течение жидкости или газа вдоль каждой струйки, если между струйками нет теплообмена. Если в смежных струйках имеется некоторое различие температур, то естественно, что между таки ми струйками будет происходить теплообмен. Фактически такой теплообмен и имеет место при обтекании различных тел газовым потоком. Однако в большинстве задач аэродинамики этим тепло обменом можно пренебречь, так как тепло, поступающее в струй ку или же уходящее из нее через боковую поверхность, весьма мало по сравнению с той энергией, которая переносится через каждое сечение струйки в единицу времени. Таким образом, в большинстве задач аэродинамики мы можем считать струйку
изолированной не только в отношении обмена |
частицами, но и |
||
в энергетическом отношении. Тогда |
процесс |
течения газа по |
|
струйке будет |
а д и а б а т и ч е с к и м . |
Применительно к движу |
|
щемуся газу |
(жидкости) в случае отсутствия |
подвода энергии |
|
извне (отсутствие теплообмена) закон сохранения энергии может быть сформулирован так: изменение внутренней, кинетической и потенциальной энергий газа (жидкости) равно работе внешних сил.
Составим уравнение, выражающее в математической форме закон сохранения энергии для элементарной струйки газа при адиабатическом установившемся течении. Для этого применим закон сохранения энергии к массе газа, заключенной в момент времени t между двумя выбранными сечениями 1—2 (фиг. 1.11).
3 . Изд. Х! 3831. |
33. • |
К моменту времени t -}- dt выделенный объем газа переме стится в положение Г—2'. Изменение суммы выше указанных видов энергии за время dt можно определить как разность сумм энергий, которыми обладает газ в объемах 2—2' и 1—1'.
Масса газа в объеме 2—2' равняется массе газа, протекшего за время dt через сечение 2:
р2 V2F2 dt = р, Vx Fxd t — mdt,
где т — секундный массовый расход газа.
Кинетическая энергия газа в объеме 2—2' равна mdtV2 .Внут
2
ренняя энергия газа равна mdtgu2, где и2 — внутренняя энергия одного килограмма газа. Потенциальная энергия равна mdtgz2. Сумма этих трех видов энергии газа в объеме 2—2' равна:
гг |
mdtVJ |
,, |
, |
г/ |
. |
Нг = |
--- — -— 1- mdtgu2 -f- mdtgz2, |
(1-21) |
|||
а в объеме 1 —Г равна: |
|
|
|
|
|
Нх= |
/77f t t IX ^ |
mdtgux+ |
mdtgzx. |
(1.22) |
|
---- -—— + |
|||||
Изменение кинетической, потенциальной и внутренней энергий таза в объеме 1—2 за время dt равно Д // = Я2 — Нх и согласно вьгшесфо;рм1улировадагом1у закону сохранения энергии равняется
работе внешних сил, т. е. работе сил давления:
|
|
t^H = p xFxVxd t ~ p 2F2 V 2dt = H2- H x. |
(1.23) |
|||
Тогда) |
подставляя выражения (1.21) и (1.22) |
в это уравнение |
||||
.и учитывая, |
rng |
после несложных |
преобразовании |
|||
что — — = -у, |
||||||
получим • |
|
FV |
|
|
|
|
------- b |
|
+ |
z x + их — — ^— Ь —2- + z2+ и2 = |
const |
1 Н. (1.24) |
|
2g |
Ti |
2g |
Та |
|
|
|
Это уравнение представляет собой общий вид уравнения сохранения энергии для струйки газа. Размерность каждого члена уравнения (1.24) есть [кгм/кг]. Таким образом, Н — пол ная энергия, которой обладает 1 кг газа, и эта величина для любого сечения струйки есть постоянная.
§ 9. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Если |
плотность жидкости есть |
величина |
постоянная, |
т. е. |
||
Tt = Т2= |
Т. то уравнение (1.24) |
можно представить в виде |
||||
|
+ z i -f ■— = |
+ |
z 2 + |
+ |
(«з — “i)- |
(1-25) |
Уравнение (1.25) есть уравнение сохранения энергии (урав нение Бернулли) для несжимаемой вязкой жидкости.
Выражение, стоящее в скобках правой части этого уравне ния, представляет собою сумму потерь механической энергии между сечениями 1 — 1 и 2—2
«2 - » i = 2 Л1-2-
В гидравлике, изучающей движения несжимаемой жидкости по трубам и каналам, уравнение энергии применяется в фор ме (1.25).
Величина 2 ^ - 2 носит (название потерянного нап-ора на трение и местные сопротивления. Фактически при адиабатическом тече нии жидкости общая энергия не теряется, а часть механической
энергии |
( Р |
+ |
V2 |
\ |
|
(внут |
|
—---- j-£j переходит в энергию тепловую |
|||||
реннюю). |
|
|
|
|
z t = z2, и поэтому уравнение |
|
Для горизонтальной струйки. |
||||||
(1.25) можно записать в виде |
|
|
||||
|
. |
+ |
- ^ y - = j°2+ |
+ Р £ ( м2 — Hi). |
(1-26) |
|
В этом уравнении последний член, стоящий в правой части, всегда положителен. На основании уравнения (1.26) можно заключить, что с увеличением скорости течения несжимаемой жидкости давление всегда должно падать, а с увеличением дав ления должна уменьшаться скорость течения. Однако обратный вывод сделать нельзя: с уменьшением давления не обязательно должна возрастать скорость, и с уменьшением скорости не обя зательно должно расти давление, так как равенство (1.26) может быть удовлетворено за счет третьего члена в правой части урав- - нения, выражающего потери механической энергии.
Действительно, представим себе процесс течения несжимае мой жидкости по длинному, слегка расширяющемуся трубопро
3* |
35 |
воду (фиг. 1.12), расположенному горизонтально. В этом случае по длине трубопровода скорость жидкости будет падать, но вместе с тем будут расти по длине трубопровода потери на тре ние и местные сопротивления. В результате может оказаться, что не только скорость, но и давление в конце трубопровода (сече ние II—II) окажется меньше, чем в начальном сечении 1—1.
В случае, когда потери на трение и местные сопротивления пренебрежимо малы, уравнение (1.26) для несжимаемой жидко сти примет вид:
Р\ + |
= Р 2 |
+ |
const. |
(1.27) |
На основании |
уравнения |
(1.27) можно |
сделать |
вывод, что |
в невязкоД жидкости скорость и давление |
связаны |
однозначно, |
||
т. е. определенному изменению давления соответствует опреде ленное изменение скорости. С ростом скорости давление падает
|
и наоборот. Однако следует пом |
|||||
|
нить, |
что |
этот |
вывод, |
как выше |
|
I*. |
было |
показано, |
нельзя |
pacnpo-j |
||
|
странить |
на все |
случаи, когда |
|||
|
действуют силы внутреннего тре |
|||||
|
ния. В частности, уравнение |
|||||
|
(1.27) |
нельзя применять для по |
||||
Фиг. 1.12 |
граничного |
слоя, |
где |
действие |
||
|
сил вязкости весьма велико. |
|||||
§ 10. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ГАЗА
Заметим, что уравнение (1.27), полученное для невязкой не сжимаемой жидкости при р = const, применимо и к газу при малой дозвуковой скорости движения, так как влияние сжимае мости газа на течение при этом оказывается ничтожно малым. Кроме того, для газа во Есех аэродинамических задачах разно стью Zi — z2 можно просто пренебрегать, так как эта разность очень мала по сравнению с остальными членами уравнений.
В тех случаях, когда скорость газа приближается к скорости звука или же превосходит скорость звука, уравнения (1.26) и (1.27) ведут к большим погрешностям и тогда следует пользо ваться общим уравнением сохранения' энергии (1.24), которое для идеального газа можно привести к более удобной форме.
Как уже было оказано, разностью Zi^—z 2 для газа будем пре небрегать, далее и'з термодинамики известно, что
и+ — = i,
Рg
где i — энтальпия газа.
36
Следовательно, выражение (1.24) можно записать в виде
|
1/2 |
1/2 |
|
(1-28) |
|
—J----1- h ~ |
—-— |
|
|
|
2g |
2g |
|
|
где г'о — полная энергия газа, |
отнесенная к 1 кг веса, |
равная |
||
|
теплосодержанию газа при скорости V = |
0. |
|
|
Уравнение (1.28) обычно называют уравнением Бернулли для |
||||
•газа. |
Его омыта тот же, что и уравнения (1-24), |
т. е. |
сумма |
|
потенциальной энергии (энтальпии i) и ■кинетической |
энергии |
|||
( V2 |
\ |
|
|
|
( ----- |
приадиабатическом течении газа остается постоянной. |
|||
\ 2g |
) |
|
|
|
|
§ П. ТЕМПЕРАТУРА ТОРМОЖЕНИЯ- |
|
|
|
ПРЕДЕЛЬНАЯ И КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТИ. ЧИСЛА М И 1
Следует иметь в виду, что выведенные в этом параграфе зави симости справедливы для совершенного газа, подчиняющегося уравнению состояния
"7 = gRT’
при условии сохранения постоянства химического состава газа (отсутствия диссоциации и ионизации).
В термодинамике доказывается, что для rai3a, подчиняюще гося уравнению состояния, теплосодержание может быть выра жено через температуру по формуле
RT = с„ Т,
|
|
у.—1 |
|
|
|
где х = —— — отношение |
теплоемкости |
при постоянном |
дав- |
||
cv |
лении к теплоемкости при постоянном объеме. |
||||
Используя это выражение для энтальпии, уравнение Бернул |
|||||
ли (1.28) можно представить в виде |
|
|
|||
|
|
V2 |
= |
gRT0 |
(1.29) |
|
gRT + -^- |
||||
|
X—1 ” |
' 2 |
у—1 |
|
|
. Из этого уравнения следует, что с ростом скорости течения газа должна падать его температура. Температура Го, стоящая в правой части уравнения (1.29), носит название температуры торможения — газ примет эту температуру, когда скорость тече ния упадет до нуля.
Используя уравнение состояния, уравнение (1.29)',можно
записать и в следующем виде; |
|
|
|
|
+ |
XI |
* |
Ро const, |
(1.30) |
X — 1 Р |
2 |
у — 1 |
Ро |
|
где р 0 и р0— параметры полного торможения потока (при ско рости, равной нулю).
,37
Уравнение (1.30) так же, как и уравнение (1.27) для несжи маемого газа, связывает между собою скорость, давление и плот ность, однако уравнение (1.30) сложнее, так как в нем плотность уже не является постоянной величиной. Поэтому на основании только уравнения (1.30) нельзя сделать однозначных выводов об изменении давления с изменением скорости течения газа.
Для исследования этого вопроса необходимо привлечь допол нительное соотношение между двумя из параметров, входящих
в уравнение (1.30). |
|
|
|
|
также |
через |
так |
|
Полная энергия г0 может быть выражена |
||||||||
называемую |
предельную |
скорость |
(скорость |
истечения в |
абсо |
|||
лютный вакуум), когда i = |
0. |
|
|
|
|
|
||
В этом случае из (1.28) получаем |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
; — пр£д |
|
|
|
|
||
|
|
0 |
2g |
• |
|
|
|
|
Учитывая это выражение, уравнение (1.29) можно предста |
||||||||
вить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
I/2 |
У2 |
- = |
X |
*ят-0.. |
(1.31) |
||
— |
- gRT + |
2 |
- р |
- i - |
||||
х — 1 |
2 |
|
х — 1 |
|
|
|
||
Часто в уравнение энергии удобно бывает ввести вместо абсо |
||||||||
лютной, скорости V относительные скорости: |
|
|
|
|||||
число |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
М = — |
|
|
|
|
|
или число |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
*кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где а — скорость звука при данной скорости V; |
|
|
||||||
с„р — критическая скорость звука, |
равная |
критической ско |
||||||
рости газа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как известно из курса физики, а2 — -AgRT= х — . Учитывая
Р
это соотношение и inоделив уравнение (.1.29) на величину
—- — gRT, получим отношение температур х.— 1
= 1 + |
ЛГ-. |
(.1.32) |
Т2
Для того чтобы ввести в уравнение энергии число X, поделим
уравнение (1.29) на величину —-— gRT0, топда будем иметь х— 1
Т_ = 1 _ 1/2(х— 1)
То 2*gRTо
38
Заметим, |
что при V = |
акр и *gRT = а2= а2р. |
Учитывая это, |
||
из уравнения |
(1.29) |
легко получить выражение для определения |
|||
критической скорости звука |
|
|
|||
|
|
*р |
2* |
g R T t. |
(1.33> |
|
|
* + |
|||
|
|
|
1 |
|
|
Учитывая это соотношение, предшествующее уравнение мож |
|||||
но (привести |
к виду |
т |
|
_1 |
|
|
|
— |
= |
X2. |
(1.34) |
|
|
Т0 |
|
* + * |
|
Из выражений .(1.32) и (1.34) следует, что с увеличением чисел М и X, т, е. с увеличением скорости потока, температура газа падает.
Установим связь между относительными скоростями М и X.
Согласно соотношениям (1.32) |
и |
(1.34) |
|
; 1 + ^ — 1 м 2= |
-------- -----------, |
||
2 |
|
1 - — - X2 |
|
откуда |
|
1 |
|
X2 |
|||
М 2 = |
|||
|
|
||
* + 1 |
4- |
*__L ),2 |
|
(1.35)
м 2
Х2 =
9 |
х —1 |
—+ М2 -— -
х + 1 |
х + 1 |
) |
Последние два уравнения и устанавливают связь между чис |
||
лами X и М. |
разграничивает течения на |
|
Критическая скорость потока |
||
дозвуковые и сверхзвуковые, каждое из которых можно харак теризовать следующими соотношениями:
а.) дозвуковое течение:
1 /< а кр; Л4 < 1; Х < 1.
б) сверхзвуковое течение:
1 /> а кр; Ж > 1 ; Х>1 .
§ 12. ИЗОЭНТРОПИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА.
УСЛОВИЕ ПЕРЕХОДА ЧЕРЕЗ СКОРОСТЬ ЗВУКА
Процессы, проходящие без теплообмена с внешней средой, носят название адиабатических процессов.
. Такие процессы могут быть разделены на два основных типа: обратимые (или идеальные) и необратимые. Обратимый адиаба
39