книги из ГПНТБ / Алтухов В.А. Основы аэродинамики летательных аппаратов

С помощью этого критерия тепловой поток на стенке при опре­ деляющей температуре Т* найдется в виде

Если же тепловой лоток, как обычно, выразить через параметры нево^мущенного потока, то получим

(5.65)

Для того чтобы перейти здесь от коэффициента су* к обыч­ ному коэффициенту cf плоской пластины, отнесенному к скоро­ стному напору невозмущенного потока, воспользуемся равен­ ством

откуда находим

Подставляя это выражение в (5.66), получим связь между числом Стэнтона и коэффициентом трения в виде

Формулы (5.65) и (5.67) позволяют вычислить тепловой поток на пластине в любом месте, пользуясь местным коэффициентом трения с /, отнесенным к скоростному напору невозмущенного потока, и величинами ср* и Рг*, вычисленными по определяю­ щей температуре.

190

’ § 10. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА НА ЗАТУПЛЕННЫХ НОСКАХ

Для заостренных тел, как это следует, например, из формул (5.47) и (4.44)) для плоской пластины, удельный тепловой поток у передней кромки, т. е. при х = 0, стремится к бесконечности. Уменьшения тепловых штоков в окрестности передней кромки можно добиться за счет ее притупления.

На сверхзвуковых скоростях перед затупленными телами воз­ никает отошедшая ударная волна, скорости за которой в зоне критической точки будут дозвуковыми'. При этом, чем больше число Л4 невозмущенного потока, тем меньше будут скорости. Поэтому в сверхзвуковом потоке вблизи критической точки мож­ но применять соотношения, полученные для пограничного слоя в несжимаемой жидкости.

Исходным для расчета теплопередачи на затупленных носках

Величина местного критерия Стэнтона в этой формуле опреде­ ляется известным выражением

Коэффициент В зависит от характера пограничного слоя и формы поверхности тела. Для несжимаемой жидкости его значе­ ния приведены в табл. 5.4.

191

Местное число Рейнольдса вычисляется по длине х криволи­ нейной образующей тела, отсчитываемой от критической точки

Зависимость местной скорости от координаты х и скорости невозмущенного потока для шара и цилиндра может быть выра­ жена формулой

ских носков можно определить на основании графика (фиг. 5.22), полученного на основе экспериментальных данных.

Формула (5.68) для расчета тепловых потоков неудобна, так как вблизи критической точки Vt -*■ 0, а су-*- оо . Однако полу­ чающаяся неопределенность легко раскрывается.

Покажем это на примере ламинарного слоя.

Подставляя в (5.68) значение числа Стэнтона, определяемого на основании уравнения (5.70) при а = —1/2, и скорости V5 согласно уравнению (5.71), получим

Из этой формулы вытекает весьма важный вывод — тепловой поток в окрестности передней точки имеет конечную величину и обратно пропорционален корню квадратному из радиуса (диа­ метр D) закругления носка. Следовательно, увеличением ради­ уса закругления носка можно существенно снизить величину тепловых потоков вблизи передней критической точки тела.

192

§ 11. ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ И ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Рассмотрим теперь взаимодействие скачков уплотнения и пограничного слоя. При больших числах М скачки уплотнения весьма близко подходят к поверхности обтекаемого тела, а тол­ щина'пограничного слоя увеличивается. Это приводит к усиле­ нию. взаимного влияния между пограничным слоем и головным скачком. За счет пограничного слоя обтекаемое тело как бы утолщается. Величина этого утолщения характеризуется толщи­ ной вытеснения (см. гл. IV, § 2). Можно считать, что вязкий газ создает около тела такое же поле течения вне пограничного слоя, как невязкий газ при ‘обтекании тела, сечения которого увели­ чены .на толщину'вытеснения.

В свою очередь наличие головного скачка влияет на форми­ рование и характеристики пограничного слоя.

На фиг. 5.23 показаны верхняя часть тела и головной скачок уплотнения. При наличии тупого носка головная волна отходит от тела. Угол наклона такой волны к вектору скорости невозму­

наклона которых р при больших числах М будет весьма различ­ ным. Это ведет к тому, что на линиях тока, расположенных ближе к телу, скорости течения оказываются меньше, так как эти линии проходят через фронт скачка, близкий к прямому. На фиг. 5.24 показан типичный ход изменения числа М по нормали к поверхности при обтекании тупоносого тела, невязким газом вблизи носка.

Как видим, на поверхности затупленного носка получаются малые числа М, а вблизи критической точки эти скорости стано­ вятся дозвуковыми.

При этом сила трения в области носка сильно уменьшается.

Г л а в а VI

ОСОБЕННОСТИ ТЕЧЕНИЙ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ

Во всех предыдущих исследованиях газ рассматривался нами как непрерывная, сплошная среда. Такое допущение не вносит в исследования заметных погрешностей, если плотность газа достаточно велика. В обычных условиях количество молекул в рассматриваемом объеме так велико, что всякое возмущение через соударения молекул равномерно передается во все сто­ роны. В газе весьма быстро устанавливается равновесие, как

всплошной среде.

Всильно разреженных газах картина будет совершенно

иная. Действительно, в этом случае частицы газа, соударяющие­ ся с телом, могут после удара длительное время не встречать на своем пути других молекул, ввиду чего взаимодействие частиц будет очень слабым. Такой газ уже нельзя рассматривать как сплошную среду. В этом случае необходимо учитывать дискрет­ ную структуру строения газа.

С течениями разреженного газа в аэродинамике приходится встречаться в случаб полета на весьма больших высотах.

§ 1. ВРЕМЯ И ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ

Для определения числа частиц, соударяющихся в единицу

За единицу времени, таким образом, движущаяся молекула пришла бы в соприкосновение со всеми молекулами, находящи­

мися в объеме т:(2г)2 V, где V — средняя скорость движения.

Если обозначить через п число молекул, содержащихся в еди­ нице объема, то общее число столкновений за единицу времени

Фактически число столкновений будет .несколько больше, так как в газе движутся все молекулы, и если бы даже рассматри­ ваемая молекула была неподвижна, она все равно претерпела бы столкновения за счет движения других молекул.

Как устанавливается в молекулярно-кинетической теории газов, секундное число столкновений при учете движения осталь­

Среднее время междудвумя столкновениями молекул, очевид­ но, определяется из соотношения

/ = ---------J _ . (6.3)

т- (2г)2 V n V '1

Средняя длина свободного пробега будет равна:

Если N есть число молекул газа, содержащихся в объеме U,

то, очевидно, п = — . Подставляя это выражение для п в пре­

дыдущую формулу и обозначая собственный объем всех молекул через Ь

Таким образом, отношение длины свободного пробега I к ра-- диусу молекулы г равно отношению всего объема, занимаемого газом, к учетверенному собственному объему его молекул.

Очевидно, чем больше разрежен газ, тем меньше будет число соударений т, но больше время t, проходящее между двумя-

соударениями, и длина свободного пробега I.

Заметим, что средняя длина пробега молекул зависит от раз­ меров молекул и числа молекул в единице объема и не зависит от скорости молекулярного движения.

196

В .табл.'6.1 приведено значение длины свободного пробега молекул для воздуха в зависимости от высоты над уровнем'моря.

Таблица 6.1

Высо­

§2. СВЯЗЬ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА

СКОЭФФИЦИЕНТОМ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ

ИСКОРОСТЬЮЗВУКА

Можно установить непосредственную связь между длиной свободного пробега молекул и кинематической вязкостью v и скоростью звука а. Чтобы получить эту связь, рассмотрим тече­ ние газа вдоль стенки в области ламинарного пограничного слоя

(фиг. 6.2).

Обозначим через V скорость течения газа вдоль стенки. Рас­ смотрим два соседних слоя, находящихся друг от друга на рас­ стоянии длины свободного пробе­

га I. Очевидно, разность скоростей в слоях 1— 1 и 2—2 будет равна:

ду

Если выделить в слое 1—1 еди­ ничную (площадку s = t l , то, имея в виду равную вероятность движе­ ния молекул по ©сем направлениям, можно предположить, что половина

.молекул, прошедших через эту пло­ щадку, направится вверх к слою 2—2, а другая половина —

вниз. Таким образом, секундная масса, поступающая из слоя 1 — 1 к слою 2—2, будет равна:

гп = — о V,

2

где jp — массовая плотность газа;

V — средняя скорость хаотического движения молекул.

Согласно выбранной схеме на длине свободного пробега I между сечениями 1—1 и 2—2 столкновений не происходит и, сле­ довательно, не происходит изменения количества движения.

197

Изменение количества движения происходит при соударении в слое 2—2. Секундное изменение количества движения опреде­ лится величиной

2 ду

Приравнивая это изменение количества движения секундному импульсу силы трения на выделенную площадку s = 1 и выра­ жая силу трения в ламинарном слое по закону Ньютона

dV

У ду

получим связь между вязкостью, плотностью, средней скоростью движения молекул V и длиной свободного пробега

Из кинетической теории газов известно, что средняя скорость движения молекул выражается формулой

Скорость звука, как известно, равна:

а — V%gRT .

Следовательно, средняя скорость молекулярного движения выра­ жается через скорость звука формулой

198

§ 3. ЧИСЛО КНУДСЕНА

Это отношение называется числом Кнудсена; Оно характеризует соизмеримость длины свободного пробега с размерами обтекае­ мого тела и, следовательно, позволяет судить о том, в какой сте­ пени применима гипотеза сплошности.

мых с размерами тела, плотность газа мала, и гипотеза сплош­ ности оказывается не верной.

Определив вышерассмотренными -методами, (гл. IV) толщину пограничного слоя, можно при известных Re„ и М*. найти и кри­ терии Кь и KL.

§4. ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

Взависимости от величины .критерия Кнудсена Кь принято следующее разделение .газовых течений на три основных области.

Если критерий Къ < 0,01, т. е. толщина пограничного слоя’ в 100 раз больше длины свободного пробега, то течение считают сплошном.

При условии Къ> 1,0 длина свободного пробега становится больше или одного порядка по сравнению с толщиной погранич­ ного слоя и мы приходим в область, где следует рассматривать столкновения отдельных молекул с телом, т. е. рассматривать воздух, как среду, состоящую из отдельных дискретных частиц.

199