книги из ГПНТБ / Алтухов В.А. Основы аэродинамики летательных аппаратов

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Г л а в а 1

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЭРОДИНАМИКИ

§ 1. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОТОКА

При изучении движения жидкости и газа, как правило, опе­ рируют со следующими независимыми параметрами: давле­

делены как функции координат х, у, z и времени t.

Часто в аэродинамике рассматривают движение, при кото­ ром в данной точке пространства параметры остаются постоян­ ными по времени. .Такое течение называется стационарным или

,установившимся. Условием установившегося движения является равенство нулю частных производных по времени при постоян­ стве координат х, у, z:

Примером установившегося движения может служить истече­ ние жидкости через насадок из баллона, в котором поддержива­ ются постоянные по времени давление и температура (фиг. 1.1).

В этом случае в любой точке насадка параметры газа не будут зависеть от времени, хотя для различных точек они будут раз­ личны. Если бы давление в баллоне не поддерживалось посто­

20

янным, то, очевидно, движение явилось бы нестационарным, так как в этом случае в каждой точке происходило бы измене­ ние параметров по времени.

Установившееся движение значительно проще и легче под­ дается исследованию, чем движение нестационарное. .

Правильным выбором системы координат иногда можно перейти от нестационарного движения к стационарному. Напри­ мер, движение тела в атмосфере с постоянной скоростью в систе­ ме координат, связанной с землей, 'Является нестацишариьш, а

всистеме координат, связанной с телом, будет стационарным. При движении жидкости в каждой точке пространства для

данного момента времени можно определить вектор скорости. Совокупность векторов скорости дает мгновенную картину ско­ ростей. В следующий момент времени, при неустановившемся 'движении, «артина скоростей 'может измениться. При устано­ вившемся движении она будет постоянной.

Наглядное представление о картине течения жидкостей и газа дают линии тока, трубки тока, струйки.

Пусть в некоторый момент времени t в -точке А пространства скорость изображается вектором V\ (фиг. ,1.2).

Рассмотрим теперь соседнюю точку В, которая расположена •

в направлении вектора скорости У), на бесконечно малом рас­ стоянии от точки А. В точке В вектор скорости будет отличен

от V\ (изобразим его вектором У2); следующую точку С возьмем на бесконечно близком расстоянии от точки В на продолжении вектора У2; скорость в точке С изобразится вектором Уз. Про­ должая 'подобное построение, мы получим некоторую линию, которая будет обладать тем свойством, что в данный момент вре­ мени в каждой из ее точек вектор скорости будет касательным к этой линии, т. е. движение в данный момент времени происхо­

21

дит вдоль этой линии. Такая линия называется л и н и е й тока. Заметим, что линия така определяется только направле­ нием векторов, скорости и не зависит от величины скорости.

Если движение нсуетанавившееся, то в следующий за t мо­ мент времени скорость в точке А будет уже отлична от V) и изобразится некоторым вектором V/. Следовательно, линия тока, проходящая через точку А, займет новое положение в про­ странстве. Таким образом, при неустановившемся движении линии тока со временем меняют свою форму и положение в про­ странстве. При стационарном течении в каждой точке простран­ ства вектор скорости сохраняет свое значение по времени, а поэтому и линии тока сохраняют свое постоянное положение и форму.

Понятие линии тока сходно по своему определению с поня­ тием траектории, известным из механики твердого тела, но в общем случае не тождественно ему. Траектория есть линия, в точках которой находится одна и та же материальная частица в разные моменты времени, в то время как линия тока есть такая мгновенная линия, вдоль которой в данный момент времени дви­ жется совокупность материальных частиц.

При не1уста1НО'вив'щемся движении линия тока и траектории—

•совершенно различные линии. При стадиона-рном движении ли­ нии тока совпадают с траекториями.

Через каждую точку пространства, в которой вектор скорости конечен по величине, но не равен нулю, можно провести только одну линию тока. Таким образом, линии тока не могут между собой пересекаться, за исключением особых точек, где скорость обращается в нуль или бесконечность.

Введем понятие о т р у б к е тока . Для этого выделим в текущей жидкости небольшой замкнутый контур 5; через каж­

ра течения, который определяет форму линии тока, и от формы выбранного контура 5.

Через боковую поверхность трубки тока жидкость не может вытекать из трубки или же втекать в нее, так как скорости направлены по касательным к образующим боковую поверхность

22

За это же время через правую грань вытекает масса газа

Разность d m PVx bybz d t — (pVx')bybzdt = — ^ ^ ^ bxbybzdt

■ ' д х

представляет собою изменение массы жидкости внутри элемен­ тарного объема за время dt вследствие неодинаковости расходов через левую и правую грани.

Аналогично для двух пар других граней получим

Полное изменение массы жидкости внутри элементарного объема за время dt будет

dm — drnx 4- dmу + dm. =

За время dt плотность газа в элементарном объеме изменится на величину

Подставляя в это выражение значение dm согласно (1.2) и пере­ нося все члены в левую часть уравнения, получим

и из условия сохраняемости массы жидкости при движении и

dt

уравнение неразрывности (1.3) принимает более простой вид:

24

§ 3. УРАВНЕНИЕ ПОСТОЯНСТВА РАСХОДА ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ

В наиболее простом виде закон сохранения массы может быть

параметры газа, в том числе и скорости течения, должны оста­ ваться постоянными по времени. Но это может быть лишь при условии, если масса газа, поступающая в выделенный объем за время dt, равна массе газа, уходящей'из этого объема. Так как в струйке течение газа происходит лишь через торцевые сечения

Следует обратить внимание на то, что уравнение (1.6) позво­ ляет сразу сделать заключение о зависимости скорости течения от площади проходного сечения струйки. В случае несжимаемой жидкости V и F обратно пропорциональны друг другу. Значи­ тельно сложнее обстоит дело для сжимаемой жидкости (газа), так как в уравнение (1.6) входит третий параметр р, изменяю­ щийся вдоль струйки.

Для того чтобы ответить на вопрос, как изменяется скорость газа по длине сужающейся или расширяющейся струйки, необ­ ходимо, кроме'уравнения (1.6), привлечь еще уравнения, харак­ теризующие изменение плотности в зависимости от скорости течения, о чем будет сказано далее.

25

Аналогичным путем можно получить уравнения движения № для других координатных осей.

В итоге получим систему дифференциальных уравнений, опи­

Vx, Vy, Vz. Поэтому для определения всех, пяти неизвестных тре­

буется дополнительно к этим уравнениям привлечь еще пятое уравнение, устанавливающее связь между параметрами газа.

В качестве одного из таких уравнений может быть, например, использовано уравнение, определяющее термодинамический про­ цесс, которому подчиняется течение газа. Так, для случая изоэнтропического течения газа, может быть использовано уравне­

ние изоэнтропы dL = const. Если течение газа неизоэнтропиче-

9

ское, то в качестве пятого уравнения, замыкающего систему,. должно быть использовано другое уравнение.

2т

нормаль к поверхности тела во всех ее точках должна равняться нулю, т. е.

v„ = o.

Это условие называют внутренним краевым или граничным условием (условием непротекаемости),

§ 6. ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ

Полученные в § 4 дифференциальные уравнения движения газа не могут быть проинтегрированы в общем виде. Лишь толь­ ко в некоторых, правда, имеющих большое практическое значе-- ние случаях можно найти первые интегралы уравнений.

Это можно сделать, например, для случая установившегося движения газа (жидкости).

Для интагриров1ания уравнений движения газа (1.10) умно­

жим все члены каждого из трех уравнений на соответствующие элементарные перемещения вдоль линии тока dx, dy, dz;

Производя интегрирование полученного уравнения, следует иметь в виду, что поскольку dx, dy, dz горн |устагаовившем1ся дви­

жении являются элементарными перемещениями вдоль линии тока (dx — Vxdt, dy => Vydt, d z = Vz dt), то и интегрирование

уравнения будет происходить вдоль линии тока. Поэтому полу­ ченная при интегрировании константа будет иметь постоянное значение только вдоль данной линии тока.

Левая часть уравнения (1.11) есть полный дифференциал

Первый член правой части уравнения можно также предста­ вить как полный дифференциал некоторой функции U(x,y,z),

29-