книги из ГПНТБ / Алтухов В.А. Основы аэродинамики летательных аппаратов

тический процесс характеризуется постоянством энтропии. Поэтому его часто называют изаэнтрапическим (процессом. Необратимые процессы протекают с увеличением энтропии. При изоэнтропических процессах параметры воздуха связаны между собою известными соотношениями:

в виду, что в адиабатическом процессе температура торможения совершенного газа остается постоянной, легко получить соотно­ шения между давлениями, плотностями и температурами, с одной

Следует отметить, что формула (1.36) справедлива для любых адиабатических процессов, а формулы (1.37) только для изоэнтропических.

Реальные процессы в газовом потоке, вообще говоря, всегда необратимы. Однако для расчетов во многих случаях этой необ­ ратимостью можно пренебречь. При течении газа без теплообме­ на необратимость обусловливается наличием трения, вызывае­ мого вязкостью среды, а также возникновением ударных волн (скачков уплотнения) при сверхзвуковых скоростях потока, о чем подробно будет сказано ниже.

При обтекании тел газовым потоком силы вязкого трения заметно проявляются лишь вблизи поверхности обтекаемого тела в тонком пограничном слое, вне которого влияние сил вяз-'

40

Уdp

Подставив это значение для dp в уравнение (1-42), получим

Л .- - - -L V i v .

Ра 2

Артем , введя этот результат в уравнение (1.40) и замечая, что

—— = М2, найдем

а 2

dF

(1.43)

d V

Анализируя это уравнение, приходим к следующим заключе­ ниям:

d V

Эти выражения показывают, что в дозвуковом потоке, т. е. при V < а, с увеличением скорости течения струйка сужается. Наоборот, в сверхзвуковом потоке, .т. е. при V > а, с увеличе­ нием скорости струйка расширяется. Из уравнения (1.43) также следует, что скорость, равная скорости звука, при адиабатиче­ ском течении может быть получена лишь в самом узком сечении струйки, и для непрерывного увеличения скорости до сверхзву­ ковой струйка должна сначала суживаться, а затем расши­ ряться.

§ 13. ДАВЛЕНИЕ ИЗОЭНТРОПИЧЕСКОГО ТОРМОЖЕНИЯ — ПОЛНОЕ ДАВЛЕНИЕ

Если процесс торможения газа является изоэнтропическим, то тогда, полагая в уравнениях (1.37) р\ = р0, М, = X, = 0, получим связь между давлением полного торможения и числами

М и X:

42

но, отличие вектора скорости в возмущенном потоке от соот­ ветствующего вектора скорости в невозмущенном потоке будет невелико.

Посмотрим, как в таком слабовозмущенном потоке давление будет связано со скоростью течения.

Для простоты рассмотрим случай плоскопараллельного дви­ жения, когда параметры потока меняются только в двух направ­

двух сечений струйки, одно из которых расположено в невозму­ щенной области, а другое — в возмущенной, тогда получим

45,

Последнее уравнение носит название линеаризированного уравнения Бернулли, оно применимо как для несжимаемого, так и для газового слабовозмущенного потока.

§ 15. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ.

УГЛОВЫЕ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ ЖИДКИХ ЧАСТИЦ

Из механики известно, что всякое движение твердого тела

можно разложить на поступательное и вращательное движения. Движение жидкой частицы оказывается более сложным, так как при перемещении частица может изменять свою форму — деформироваться. Таким образом, общее движение жидкой частицы будет состоять из трех видов движения: поступатель­

ного, вращательного и деформации. Вращательное движение жидких частиц называется вихревым движением. Угловую ско­

рость вращения жидкой частицы обозначим через ш, ее можно разложить на три составляющие, параллельные осям прямо­ угольной систамы координат: w* ,<%, ш-(фиг. 1.14). Очевидно, угловая скорость вращения по абсолютной величине будет равна:

(1) = 1 Шх2-j- Шу* -j- ®z2 .

45

Выразим угловые скорости шг, о>у ч сог через линейные ско­ рости Vx, Vy и Vz. Для этого рассмотрим перемещение граней элементарного жидкого параллелепипеда (фиг. 1.15) за малый отрезок времени. Выделим, например, грань, параллельную пло­ скости ХОу.

Пусть точка а этой грани имеет в некоторый момент вре^' мени t скорость mo оси х, равную Vх, а по оси у — равную Vу. Топда точка й, отстоящая в на1правлении оси у от точки а на Ь',

будет иметь скорость в направлении оси х:

Таким образом, за некоторый бесконечно малый отрезок вре­ мени di точка й сместится относительно точки а по оси х на рас­ стояние

W = ? -^ -bydt,

ду

а точка с за этот же промежуток времени сместится относитель­ но точки а вдоль, оси у на расстояние

3V

■СС' = llJL bxdt.

дх

При этом линия ab повернется на некоторый малый угол

Линия ас соответственно повернется на угол

. В' общем случае углы поворота d-\x и d-t2 обусловлены, вопервых, вращением элемента и, во-вторых, его деформацией. Если бы деформация отсутствовала и элемент только вращался бы около точки а, как абсолютно твердое тело, то линий ай и ас повернулись бы в одну и ту же сторону на один и тот же угол. Напротив, если бы Отсутствовало вращекие и элемент только деформировался, то линии ab и ас повернулись бы на одина­ ковый по величине угол либо навстречу друг Другу, либо в про­ тивоположные стороны. Прямоугольная грань деформировалась бы при этом в косоугольный параллелограмм.

47

Вобщем случае можно считать, что выделенная нами грань,

содной стороны, повернулась относительно точки а нс угол da вследствие вращения элемента и, с другой стороны, линии ab и cd дополнительно повернулись на угол rf(3 вследствие деформа­

ции прямоугольника в косоугольный параллелограмм (фиг. 1.16). При этом линии ab и ас грани приняли окончательное положе­ ние ab' и ас', образовав с координатными

осями углы d-\x и a?f2.

Из чертежа (фиг. 1.16) видно, что db — d^ — da,

d*[2 == бф -}- da,

Вычтя из первого уравнения второе,

Угловая скорость вращения элемента относительно оси, про­ ходящей через точку а параллельно координатной оси 2, будет

Рассмотрев аналогично движение граней, параллельных плос­ костям xOz и yOz, получим выражения для всех компонентов угловой скорости в такам виде:

Выражения (1.49) дают нам связь в дифференциальной фор­ ме между компонентами угловой скорости и компонентами линейной скорости.

В случае, когда частицы жидкости не вращаются и движение, следовательно, безвихревое

шЛ. = шу — шг = 0.

48

Используя соотношения (1.49), получим условия незавихренности потока

Угловая скорость вращения, так же, как и линейная скорость, в каждой точке потока может быть изображена вектором.

Вихревой линией будем называть такую линию в вихревом

. потоке, в каждой точке которой в данный момент времени век­

является мгновенной осью вращения жидких частиц, располо­ женных вдоль вихревой линии.

Как видим, формально понятие вихревой линии аналогично понятию линии тока, но по существу это совершенно различные линии.

Так же, как и линии тока, вихревые линии в реальном потоке не могут пересекаться между собой и через каждую точку про­ странства может быть прове­ дена только одна вихревая ли­ ния.

Если выделить в вихревом потоке некоторый замкнутый контур, то совокупность вихре­ вых линий, проходящих через точки этого контура, образует

дящейся в вихревом движении, т. е, весь внутренний^ , объем трубки заполнен вихревыми линиями. Тогда вся жидкость обра­ зует вихревой шнур. Бесконечно тонкий вихревой шнур назы­ вается вихревой нитью. Изолированный вихревой шнур, окру­ женный безвихревым потоком, называется вихрем.