книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

§5. Развитие метода мажорантных функций

вработах Линделефа, Ляпунова, Пуанкаре

идругих ученых

Вконце прошлого века существенное дополнение и развитие получила как общая схема доказательства теоремы существо­ вания интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений

скомплексными переменными, так и отдельные ее звенья, на­ пример уточнение области сходимости и т. п.

Так, в 1896 г. Линделефом (35) предложено названное им

элементарное доказательство данной теоремы в статье [204.3]. Идея этого доказательства подробно излагается на примере уравнения (3.17), где /(х, у) — функция, аналитическая по х, у, голоморфная для х = 0, г/=0 и представимая рядом

для X, у, ограниченных по модулю некоторыми числами. Требу­ ется доказать существование голоморфного для достаточно ма­ лых IX! интеграла уравнения (3.17), равного нулю при х=0. Иначе говоря, надо показать, что коэффициенты щ ряда

можно так определить, что у будет интегралом уравнения (3.17).

Так можно найти коэффициенты щ ряда (3.20), формально удов­ летворяющего уравнению (3.17). Следующий этап — доказа­ тельство сходимости ряда (3.20) уже отличается от предложен­ ных ранее. При этом рассматривается уравнение

08

Тогда из тождественности и f (x,Y) можно записать

— фундаментальное тождество, из которого автор получает доказательство сходимости ряда, определяющего У. Придавая р значения 1, 2,..., получаем

~at = [/ С*. 0)]„ = IА0о I,

(3.26)

— [/ (X, Y ^—і)1д—11

но, по предположению, |Л0о|<Л1, и тогда из первого уравнения (3.26) при действительных положительных х получается Yi<Mx. Если рассматривать 0 ^ x ^ . h , где h — меньшее из двух величин

р и ~ , то получится Уі<r, xs^p и, следовательно, J(x, Уі)<М. Но так как х и Y x— величины положительные, все члены раз­

ложения f (х, У,) будут положительны, так что получится

[?(*, У Д ^ ^ У . К М .

Итак, полиномы У], У2, ... Уц (с положительными коэффици­ ентами) все меньше г, когда OsgTx^/i. Отсюда заключаем, пере­ ходя к пределу, что он будет таким же и для ряда У. Этот ряд, имея конечную сумму для x = h , следовательно, будет сходящим­ ся для \х \</і. Таким образом, уравнение (3.17) допускает инте­ грал, переходящий в 0 для х=0 и голоморфный в круге с цен­

тром в точке нуль и радиусом, которым служит меньшее из двух

г

Полученный результат Линделеф распространяет на систему дифференциальных уравнений и доказывает более общую тео­ рему о существовании системы интегралов для уравнений

где fi — аналитические функции переменных х, у ь ... уп и пара­ метров А,і, А,2, ... кт, разложимые в степенные ряды вида

О.И.ѵ

исходящиеся для достаточно малых модулей аргументов. Эти интегралы удовлетворяют нулевым начальным условиям и пред­ ставляются степенными рядами по х, Я,і, Л2, ... кт, сходящимися до тех пор, пока модули этих величин остаются меньше некото­ рых пределов.

Вэтой оригинальной работе Линделеф по-новому построил мажорирующую функцию и нашел сочетание метода пределов с идеями первого метода Коши, что дало ему возможность полу­ чить область существования интеграла, совпадающую с обла­

стями, найденными другими методами. Развитые здесь идеи были затем применены Линделефом для (по его же термину) элементарного доказательства теоремы о существовании неяв­ ных функций.

Новые оценки интервала сходимости интегралов дифферен­ циальных уравнений, применяя метод мажорантных функций, получил Ляпунов.

В заметке [93.4], оставшейся неопубликованной, А. М. Ляпу­ нов (36) дал, по существу, новое, очень оригинальное доказа­ тельство теоремы существования интеграла системы уравнений, заданных в нормальной форме, методом мажорант.

В теореме 1 рассматривается система

82

следует из сходимости ряда, представляющего интеграл вспо­ могательного уравнения

и обращающегося в а при t=0. А абсолютная сходимость раз­

тде X определяется из (3.28). Предполагая е < X и беря |а | < е , из

ние условия (3.31), откуда и следует справедливость теоремы. Верхний предел X для хс при данном t из рассматриваемого интер­ вала можно найти из уравнения

где fi обращаются в нуль при xi=x2 = ... =х„ = 0 для любого t и синектические, пока |/|< 7 ', m ax|fi|=M при max|Xi| =k. Тогда ряды для интегралов Хі п о целым положитель­ ным степеням t, аь а2, ..., ап, обращающиеся в нули при а*=0 для любого t, будут сходиться абсолютно, пока

В этой же заметке имеется и третья очень важная теорема, содержащая более общее по сравнению с теоремой 1 выраже­ ние для оценки модуля t в случае сходимости рядов Хі. Исходя из предложений теоремы 1 и рассмотрев некоторые вспомо­ гательные соотношения, Ляпунов установил, что эти ряды будут

Доказательство теоремы о существовании интегралов, пред­ ставляемых степенными рядами и удовлетворяющих данным начальным условиям для уравнений высших порядков, в весьма общей форме давалось Кенигсбергером (37) в книге [195.2].

Существенное внимание методу мажорантных функций до­ казательства существования интегралов придавал Пуанкаре (38). Основы этого метода и его приложения были изложены в известном сочинении о проблеме трех тел [237.17], получившем премию Оскара II, и в трактате о новых методах небесной ме­ ханики [237.20].

84

метры, и представление интегралов степенными рядами как по малому параметру, так и по началь­

ным условиям. Основным методом доказательства был метод мажорантных функций. Автор сначала рассмотрел систему урав­ нений

— степенные по t и ц и обращающиеся в нуль при 7=0 и фор­

85

с коэффициентами, зависящими от t и, возможно, не разлагаю­ щимися в ряд по t и формально удовлетворяющие уравнениям (3.33). В процессе дальнейших выкладок, которые мы опустим, он строит мажорирующие ряды для (3.37) при условии 0<^<^і и дает правило определения коэффициентов этих рядов.

Далее рассматривается построение и существование инте­ гралов для системы трех уравнений, правые части которых со­ держат три неизвестные функции и параметр (не содержат аргумента t). Полученные результаты позволяли раскладывать решение дифференциального уравнения по степеням малого па­ раметра, но лишь для таких значений независимой переменной t, модули которых были довольно малы. Это то, что было изве­ стно Коши. Но в дальнейшем Пуанкаре получает более общий результат.

Рассматривая систему (3.33), он предполагает, что решения этих уравнений x — Q(t, ц), y = a)(t, ц) удовлетворяют нулевым начальным условиям, а также то, что для любой величины t из интервала (0, ^о) обе функции ср и ф могут быть разложены по степеням ц, х—Ѳ((. 0), у—ш(/, 0) (коэффициенты этих разложе­ ний будут некоторыми функциями от t).

утверждает Пуанкаре, Ѳ(^, ц), a(t, ц) могут быть разложены в степенной ряд по ц (именно ц, а не t и ц) для любой величины t из интервала (0, t0) при достаточно малом |ц |.

При доказательстве этого строилась система аналогично (3.35) с конкретным видом мажорант фі и фь В результате ее исследования Пуанкаре пришел к заключению о сходимости степенных рядов по ц для всех (рассматриваемых •— В. Д.) зна­ чений t при достаточно малых |ц|, выражающих интегралы вспомогательных и, следовательно, исходных уравнений. Автор заметил потом, что полученные результаты могут быть приме­ нены и для случая нескольких параметров. Он рассмотрел так­ же их применение к проблеме трех тел.

Вопросу об уточнении области сходимости интеграла при способе мажорантных функций была посвящена заметка Штекеля [259.1]. Он несколько изменил систему основных нера­ венств, используя для уравнения первого порядка неравенство, аналогичное (3.2), где вместо величины М входит надлежащим

образом подобранная величина G, и получает: рі = а (1—

ь

—е 20а >р.

Новый вид мажоранты был предложен Фейером в [143]. Она

выбиралась общей для всех функций fi системы уравнений

— \і{Уи У2, ..., уп), благодаря чему, по методу исчисления преде­ лов, требовалось интегрировать вспомогательную систему, перехо­ дящую в одно уравнение. Таким образом, вопрос существования

86

голоморфных решений данной системы сводился к отысканию интеграла этого одного уравнения простой квадратурой. В от­ дельных случаях эта мажоранта доставляла радиус сходимости больший, чем общеизвестный.

Различные стороны метода мажорант привлекали внимание ученых и в последующие годы. Так, в 1915 г. Пере возвратился к обсуждению вопроса о соотношении областей сходимости ин­ тегралов при мажорантном методе и методе последовательных

приближений.

Существенное значение для уточнения области сходимости в случае исчисления пределов имели работы [218.4.— 5 и др.] Миттаг-Лефлера (39) и др. Если вместо ряда Тейлора подста­ вить введенные им ряды полиномов, эти ряды представят систе­ му решений уравнений во всей их звезде голоморфности (отно­ сительно аргумента).

§6. Применение метода мажорантных функций

кдоказательству существования интегралов уравнений

вполных дифференциалах и с частными производными.

Теорема С. В. Ковалевской

Первые работы в этом направлении, как отмечалось раньше, принадлежали Коши, рассмотревшим этот вопрос для линейной системы п уравнений с частными производными первого поряд­ ка, содержащих п неизвестных функций и взятых в нормаль­ ной форме.

Во второй половине прошлого века вопрос этот стал решать­ ся в основном с 70-х годов. Именно в это время (1872) появи­ лись публикации Буке и Мерэ относительно существования ин­

(1875) о существовании решений уравнений с частными произ­ водными. В последующие десятилетия указанная тема нашла широкое развитие в многочисленных трудах, обзор которых вы­ ходит за пределы наших задач.

В статье [106] Буке отмечает, что он давно установил при­

■синектических интегралов системы уравнений в полных диффе­

87

произошел обмен мнений, в том числе и о данной теореме. Вне сомнений, что к своим результатам по этому вопросу они

могли подойти независимо друг от друга, хотя приоритет в раз­ работке метода остается за Врио и Буке. В этом смысле Мерз был их учеником. Возможно, было принято соглашение не вы­ ступать с независимыми публикациями на эту тему. Но так как Мерэ в соответственном месте своего курса ничем не обмолвил­ ся о решении того же вопроса другим автором, то Буке обнаро­ довал упомянутый выше результат. В связи с этим он писал, что объявляет предложение, которое «было сообщено различным липам и, в частности, месье Мерэ. Публикация «Краткого курса анализа» показала мне, что автор забыл нашу беседу по этому вопросу» [106, 265]. Это замечание вызвало бурный протест Мерэ, которому он посвятил часть предисловия в новом издании «Лекций по анализу» [214.5]. Пространно изложив историю во­ проса, Мерэ утверждал, что Буке не мог без его помощи от­ крыть эту теорему. Столь сильная и, можно сказать, болезнен­ ная реакция объяснялась еще и тем, что при упоминании данной теоремы другие авторы связывали ее только с именем Буке. Не останавливаясь далее на этом споре, отметим все же, что Мерэ явно выразил свои претензии лишь через 22 года после первых публикаций.

Рассматриваемый вопрос был позже предметом работ Адамара, Гульдберга и др. Гульдберг рассматривал условия интегри­ руемости уравнения второго порядка, а также случаи так назы­ ваемого неполностью интегрируемого уравнения.

Существенным шагом в развитии применения метода мажо­ рантных функций к доказательству существования интегралов уравнений в частных производных была диссертация С. В. Ко-

88

валевской [29.1]. Здесь нашел применение и дальнейшее разви­ тие метод Вейерштрасса, а также были уточнены и обобщены соответственные результаты Коши, остававшиеся к тому же не­ известными Ковалевской в то время. Строгость и простота дока­ зательства теоремы Ковалевской, ясность изложения сделали ее работу, по характеристике Пикара [235.22, 36], классической; еще раньше ее результат высоко оценил Пуанкаре [237.17, 26].

В первом параграфе работы рассматривается система одно­ родных дифференциальных уравнений первого порядка, линей­ ных относительно частных производных от п неизвестных функ­ ций фі, ф2, ... фп, по независимым переменным: х, х\, хч, ... хг при

п известных функциях G ^

но взятых степенных ряда, обладающих общей, хотя бы и огра­ ниченной, областью сходимости, и в нулевой точке обращающих­

нения (3.41) формально им удовлетворяют; 2) все эти п рядов сходятся безусловно (абсолютно — В. Д.) в некоторой области и представляют решения уравнений (3.41). Доказательство стро­

и в обеих частях каждого уравнения получаются разложения по степеням х. После некоторых преобразований находятся ря­ ды, формально удовлетворяющие заданным дифференциальным уравнениям, а сходимость их доказывается методом мажорант­ ных функций. При этом рассматривается вспомогательная си­

щим образом. Такого типа мажоранта использовалась потом Пуан­ каре и другими. Легко распространив полученный результат на

89