книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Интегрируя это уравнение вдоль некоторой данной кривой, по­ лучим

Z .

Но это равенство невозможно, отмечают авторы, так как, с одной стороны, определенный интеграл имеет конечную величину, а с другой — ѵ0 равно кулю. Если т = 1, получим

г

§ <f(z)dz

V = ѵ0ег°

Так как По = 0, функция ѵ есть тождественный нуль, а следова­ тельно, «данное дифференциальное уравнение не допускает ино­ го интеграла, принимающего величину и0 для z=Zo, чем инте­ грал монодромный и моногенный».

Далее Брно и Буке уточняют, что при восстановлении функ­ ции и они имели в виду ее однозначность. Но если, выходя из точки z0 и следуя вдоль какого-то направления, достигается та­ кая точка z = zi и « = «і, для которой дифференциальный коэф­ фициент f(u, z) становится бесконечным, или принимает форму

■jj-, или перестает быть монодромным и моногенным, функция и

может быть испытана около этой точки различными способами, о которых говорится далее.

Отметим здесь, что из доказательства Врио и Буке следова­ ло, что путь движения от z0 к z подразумевался конечным, ина-

г

че об интеграле (z)dz нельзя было бы сделать так просто

Zo

указанные заключения.

Авторы разобрали также случай, когда дифференциальный коэффициент в отличие от предыдущего, есть неявная алгебраи­ ческая функция переменных z и и.

Полагая U = , они для уравнения

получали функцию и, для которой при z = z 0 будет и= «о, U=U0. При этом оказалось, что функция-интеграл и остается конечной, непрерывной и монодромной до тех пор, пока дифференциаль­

ный коэффициент U = - £ будет простым корнем уравнения

(3.12). Если же величина U в некоторой точке zq станет кратным корнем порядка п, то функция-интеграл и перестает в общем быть монодромной и получает п различных значений, когда пе­ ременная z вращается около точки z0.

70

§2. Развитие идей Коши, Врио и Буке

вработах Мерз

Младшим современником Врио и Буке был ученик Лиувилля талантливый французский математик Мерз (31). Уже в 1855 г. заметка двадцатилетнего юноши [217.1] о двоякопериодических монодромных и мокогенных функциях была представлена Коши Парижской академии. Аналогичный вопрос незадолго перед тем изучался Лиувиллем для более частного случая, а также Врио и Буке в [112.4].

Через некоторое время (в 1868 г.) Мерз выступил на кон­ грессе научных обществ в Париже с подробной программой по­ строения теории функций на принципах, отличных от общепри­ нятых в то время.

Он считал необходимым положить в основу изучения функ­ ций не общий характер непрерывности, а их «разложения в схо­ дящиеся степенные ряды и произведения степеней приращений независимых переменных» [214.2, 134]. Таким образом, уже здесь Мерз высказал те же идеи, которые в то время интенсивно разрабатывал Вейерштрасс. Отмечая этот факт, Осгуд [226, 77] связывал его с выходом монографии Мерз [214.3] в 1872 г.

В то же время Мерз стал вводить новую, несколько своеоб­ разную терминологию. Он подчеркивал полезность построения всей системы исчисления бесконечно малых (теории функций) на новых основах. Это упростило и сделало бы более строгими как отмечал автор, доказательства многих теорем, в том числе и теорем существования интегралов дифференциальных уравне­ ний. Он подчеркивал отличие своей точки зрения от точки зре­ ния Лагранжа, считавшего «очевидной возможность общего разложения в ряды любой непрерывной функции — вещь, кото­ рая давно не допускается» [см. 137].

Эти новые воззрения, проникнутые единым принципом, были положены Мерз в основу его курса анализа [214.3]. Он исходил из понятия голотропной (аналитической) функции. Понятие кру­ га сходимости было обобщено здесь на случай многих перемен­ ных. Доказательство теорем существования дано по методу Врио и Буке, но в более общей форме, а также для случая си­ стем уравнений, содержащих параметры. После Коши здесь впервые обращалось внимание на существование интегралов для уравнений с частными производными, хотя, как отметил сам автор, вопрос этот еще не исчерпан у него с должной полнотой и точностью (он рассматривал весьма частный вид систем таких уравнений и при том весьма схематично). Теория неявных функ­ ций получила у него оригинальную и довольно полную разра­ ботку.

Весьма важным было дополнение теории обыкновенных диф­ ференциальных уравнений изучением свойств интегралов, рас­ сматриваемых как голотропные функции произвольных постоян-

71

следний) раздел его посвящался применению развитых принци­ пов к системам дифференциальных уравнений.

Второе, значительно расширенное, издание курса Мерэ выш­ ло в 1894 г. (первая часть)— «Основные принципы» [214.5]. Затем последовали еще три части (1895—1898) с развитием теории и обширными ее приложениями. Еще до выхода этого труда, в 1891 г. Рикье писал: «Уже несколько лет назад некото­ рые геометры пытались основывать общую теорию функций на свойствах целых рядов. Мы должны сослаться в первую очередь на Вейерштрасса и Мерэ, которые, не зная работ друг друга, встречались на одном и том же пути» [247, 59]. Там же Рикье отметил, что Вейерштрасс не опубликовал никакого общего сочинения по теории функций и ограничился развитием идей в своих лекциях, которые оставались поэтому малоизвестными. Когда же был изложен сжато, но полно метод Мерэ (в 1872 г.), «он показался нам и на много,— пишет Рикье,— выше обычных методов». Как Вейерштрасс, так и Мерэ изложение своих идей начали с университетских лекций: один — в Берлине в 60-е гг., другой — в Дижоне с 1869 г. Правда, понятие мажорантных функций Мерэ воспринял от Врио и Буке и к новым своим идеям пришел через школу Коши в результате пересмотра основ ана­ лиза, а также под влиянием нужд преподавания. Путь Вейер­ штрасса субъективно был несколько более прямым и цельным, а идеи отличались большей глубиной и точностью, что прояви­ лось в его четких и осторожных формулировках.

Как известно, идеи и взгляды Вейерштрасса получили гораз­ до большую известность и популярность среди математиков и в литературе. Достаточно сказать, что при изложении данного вопроса в больших курсах и даже в специальных иссле­

72

дованиях, например [226, 5], имя Мерэ иногда лишь упоминает­ ся, тогда как описанию работ Вейерштрасса отводится много места. Это объясняется, очевидно, и тем, что Вейерштрасс соз­ дал не только идеи, но и мощную школу, воспитал много талант­ ливых учеников, которые продолжали, развивали далее и по­ пуляризовали его идеи.

§ 3. Уточнение теоремы единственности (Жордан, Фукс)

Из анализа метода мажорантных функций для построения голоморфного интеграла в области начальных данных легко усмотреть и единственность этого интеграла в силу единого спо­ соба определения коэффициентов ряда, представляющего инте­ грал. Но можно предположить существование других, не голо­ морфных, интегралов в окрестности z0 и, значит, не представляе­ мых степенным рядом. Но это возможно только в том случае, когда точка z0 особая и лежит на границе области.

У Врио и Буке этот вопрос не был еще четко сформулирован, но по существу они его поставили и решили, имея в виду путь

ломорфными интегралами у, z, удовлетворяющими данным начальным условиям, допускалось существование другой систе­ мы интегралов у + ц, z + %, удовлетворяющих тем же начальным условиям. Установив непрерывность функций г] и |, автор вво­ дит обозначение м = тах {|г] ] + | | | } в некоторой области на­ чальных данных и при движении х вдоль некоторой дуги, так что и есть функция длины дуги s, положительная и неубываю­

венными нулями до тех пор, пока они непрерывны и их модули меньше некоторой величины. Это доказательство во втором из­ дании курса Жордана (т. III, стр. 100) было заменено новым, более простым, но при предположении движения к точке х0 по «исправимой» линии, когда длина дуги s может быть сделана меньше некоторой конечной величины.

Важным шагом в исследовании данного вопроса была ста­ тья Фукса [153.13], опубликованная в марте 1886 г. Здесь автор отмечал, что непосредственным толчком к его занятиям теорией дифференциальных уравнений была монография Врио и Буке [112.7]. После тщательного анализа этой работы в свете новых результатов теории функций комплексного переменного, полу­

73

ченных за последующие три десятилетия, и опираясь на свой двадцатилетний опыт глубоких исследований в новой теории, Фукс (33) пришел к выводу, что доказательство теоремы един­ ственности, данное Врио и Буке, является неполным и требует существенного усовершенствования и уточнения.

Рассматривая вопрос о единственности решения уравнения

и формулируя его в общей форме, Врио и Буке вместе с тем пред­ полагали конечным путь движения переменной точки 2 к совпа­ дению ее с точкой z0, характеризующей начальные условия. Это вело к ограничению класса особых точек z0. Но в таком случае не всегда можно было делать разложения, предпринятые Врио и Буке. Это было допустимо тогда, когда интегралы исследуе­ мых уравнений, приведенных к указанному далее виду [3.14], подчинялись некоторым условиям. Таким образом, более точные результаты можно было получить на пути углубленного изуче­ ния природы особых точек.

В статье [153.13] Фукс прежде всего отметил, что Врио и Бу­ ке упустили случай рассмотреть поведение интеграла в окрест­

Решение этого вопроса могло бы помочь найти пути преодоле­ ния тех трудностей, которые встретились им при трактовке осо­ бых точек для f(z, у). В связи с этим Фукс и занялся более по­ дробным исследованием особенностей интеграла уравнения (3.14) при 2= 0. Здесь он ввел новое понятие точки неопределен­ ности, под которой понимал особую точку, где функция «не по­ лучает определенного значения» и которая в то же время может быть точкой разветвления или нет. Прямого эквивалента в со­ временных понятиях этому определению Фукса нет, так как по­ следнее весьма широко. Но он ввел его именно для охвата осо­ бых точек как однозначных (терминология Вейерштрасса), так и многозначных функций. Кроме того, он здесь же разъяснил, что существуют функции с точками неопределенности, с так называемым неопределенным разветвлением, которые во всей окрестности точки а не могут быть представлены степенным ря­ дом по г—а. Эти явления могут иметь место в интегралах нели­ нейных дифференциальных уравнений. Поэтому нужно, как пра­ вило, отказываться от употребления обычных вспомогательных средств, когда природа особенностей исследуется через разло­ жение в окрестности особой точки. Нужно гораздо чаще, как советует Фукс, прибегать к помощи других вспомогательных

74

средств, чтобы изучить в целом множество значений, которые могут принять функции в окрестности особой точки.

При исследовании уравнения (3.14), где F — функция, опре­ деленная во всей области значений х, у и k — целое положитель­ ное число, Фукс устанавливает, что при 2= 0 у как интеграл это­ го уравнения может иметь значение р, при котором F(x, у) не имеет особенностей.

— Р) + ßj2 + . . . и по уравнению

нельзя заключать, что z как функция от у не могла бы достичь для у = р значения 2= 0. Такое заключение связано с предполо­ жением, что у вдоль некоторого пути конечной длины переходит от уо к р, когда одновременно г, непрерывно меняясь от доста­ точно близкого к нулю значения 2= 20, переходит в 2= 0. Но если 2=0 — точка неопределенности, то эти предположения не вы­ полняются. В этом случае у, исходя из уо, может принимать лю­ бое значение р, в то время как 2 остается как угодно близко к 2=0. Но тогда нельзя для установления связи между 2 и у раз­

= р (г,у)-

После этого Фукс показывает, что для различных значений t в окрестности 2=0 могут существовать также различные значе­ ния у. Он получает формулы, согласующиеся с уже известными результатами у Пикара и Пуанкаре при исследовании аналогич­ ного уравнения с другой точки зрения.

Возвращаясь затем к доказательству Врио и Буке единст­ венности интеграла (см. § 1 настоящей главы), Фукс рассматри­ вает уравнение

тождественное с уравнением (3.11), считая 2 функцией от ѵ. Оно совпадает с (3.14) при y=z, z=v, k = m. Так как у = и — голо­ морфный интеграл уравнения (3.4) или, что то же, уравнения (3.13), то ф(2, и, V) — «хорошо определенная» функция от z и ѵ.

75

Но из предыдущего теперь известно, что и=0 может быть точ­ кой неопределенности интеграла уравнения (3.16), а, значит, можно получить бесконечно много функций 2 от ѵ, которые для ѵ = 0 принимают любое значение, в том числе и z = z0, и удовле­ творяют уравнению (3.16). Но тогда получается также как угод­ но много функций V от z, которые для z = z0 равны нулю и удов­ летворяют дифференциальному уравнению (3.10), т. е. сущест­ вует бесконечно много функций у= и + ѵ, принимающих для z = z0 значение уо и удовлетворяющих уравнению (3.13) или (3.4). Это положение имеет силу и в случае т = 1, когда точка ѵ = 0 может быть точкой неопределенности интеграла уравнения (3.16).

ям (z0, уо), верна только тогда, когда для этой функции и инте­ гралы уравнения (3.16) не обладают точкой неопределенности

н=0.

Выше названную работу Фукса не следует, однако, пони­ мать как доказательство неверности теоремы Врио и Буке по существу. Для случая, когда точка z стремится к z0 вдоль неко­ торого конечного пути L, их доказательство остается в силе. Тео­ рема будет также справедлива и в случае бесконечного пути, но удовлетворяющего некоторым условиям, как это будет показано далее. Замечания Фукса связаны с тем случаем, когда путь не удовлетворяет таким условиям '. Статья его сыграла весьма по­ ложительную роль в уточнении этого вопроса.

Среди других работ по данной проблеме отметим опубли­ кованную в Праге в 1889 г. статью Лерха [202], где было предложено новое доказательство теоремы единственности Врио и Буке и при том для системы (двух) дифференциальных урав­ нений. Однако рассмотренное выше исследование Фукса остав­ лено Лерхом без внимания, возможно, оно ему не было известно.

§4. Теорема единственности в трактовке Пикара

иПенлеве

После критики Фукса изложение теоремы единственности Врио и Буке потребовало либо дополнительных оговорок в духе исследования Фукса, что методически казалось мало приемле­ мым, либо изменения идеи доказательства таким образом, что­ бы в одном приеме охватить все возможные случаи единствен­ ности и не оставить повода к противоречию, т. е. подтвердить истинность теоремы и в случае бесконечного пути.

Некоторые математики пошли по второму пути. Первым ре­ шил эту задачу Пикар. Еще в процессе чтения курса анализа на факультете наук в Париже он предложил некоторое усовершен-

1 См. об этом в [16.3, 27].

76

ствование метода доказательства теоремы единственности Врио и Буке, но в духе их идей, для случая системы т уравнений с т функциями [232.4], рассматривая более подробно два уравне­ ния с двумя функциями.

Затем, вероятно, под влиянием работы Фукса, Пикар сущест­ венно изменил идею доказательства теоремы единственности, впервые опубликовав его во втором томе «Трактата по анализу» (первое издание, 1893, стр. 314). Он рассматривал уравнение

1 = № ,9) (3.17)

при условии, что функция / — голоморфна в окрестности точки *0, Уо и существует единственный голоморфный в окрестности Хо интеграл, принимающий при х = х 0значение г/о.

Пикар прежде всего уточняет здесь понятие стремления пе­ ременной точки у к данной точке г/о- Около точек Хо, г/о описыва­ ются окружности С и Сі как угодно малого радиуса и предпо­ лагается, что X следует вдоль дуги кривой L, остающейся внутри С, и совпадает с точкой Хо, а соответственные величины у оста­ ются при этом внутри С1и при стремлении х к х0 стремятся к уо. Распространяя это положение на интеграл, принимающий Дан­ ное значение для х=Хо, можно установить, что голоморфный интеграл есть единственный, обладающий предыдущим свойст­ вом. Пикар отмечает, что здесь он не предполагает каких-либо ограничивающих условий относительно пути. В процессе доказа­ тельства автор опирался на основную теорему существования интегралов уравнений с частными производными.

Это непрямое доказательство Пикара могло быть полезным для приложений, и существенным его элементом являлось ука­ зание на способ движения переменной точки х к х0. В случае бесконечного пути здесь уже не мог пройти контрпример Фукса

всвязи с неограниченным уменьшением радиусов окружностей

Си С1.

Синой точки зрения к решению вопроса подошел Пенлеве в лекциях [228.11]. Рассматривая уравнение (3.17) с начальными

гралов, принимающих в точке а значение Ь? И дается отрица­ тельный ответ. При этом Пенлеве уточняет, что если х стремится к точке а вдоль некоторой кривой L, то эта кривая может иметь точку а асимптотической, и тогда длина ее может возрастать неопределенно при таком стремлении х к а. Единственное усло-

77

вне, которому подчиняется L, такое: для любого как угодно ма­ лого е существует вдоль L такая точка х, что для любой точки, следующей за ней, кривая L остается внутри круга с центром а и радиусом е.

Итак, пусть X стремится вдоль L и допустим, что интеграл уравнения (3.17) г/= ср(х) стремится к Ь. На кривой L найдется тогда точка Хо, расстояние которой от точки а будет меньше, чем

~Y ■Тогда соответствующая величина у=Уо будет внутри окруж­

Несколько иначе решался аналогичный вопрос для уравнения второго порядка [228.11, 397].

Автор пятитомной монографии по теории дифференциальных уравнений английский математик Форсайт (34) при рассмотре­

вал на трудности построения общего доказательства теоремы единственности и вместе с тем считал вышеприведенное доказа­ тельство Пикара неполным, так как оно основывалось на соот­ ветствующей теореме существования для дифференциальных уравнений с частными производными. Не удовлетворяло Фор­ сайта и доказательство Пенлеве, «фактически допускающее, что какая-нибудь ветвь возможного нерегулярного решения регу­ лярна внутри круга половины радиуса, вне которого, как известно, существует регулярное решение: допущение, требую­ щее подтверждения, прежде чем предложение может быть рас­

(3.18), голоморфное для х= а и удовлетворяющее начальным условиям уі(а)=Ьг. Любое решение, голоморфное для х=а, со-

1 Современное изложение см. в [16. 3, 25—26].

78

ответствующее тем же начальным условиям, очевидно, совпа­ дает с решением Коши.

Затем автор ставит вопрос, а не может ли существовать других аналитических решений Уі (х) системы (3.18), голоморф­

ных в некоторой области А, прилегающей к точке а, но не в точ­

ке а, и таких, что при стремлении х к а изнутри А функции уі стремятся соответственно к Ьі?

Относительно области А не делается никаких предположе­ ний. Она может быть, например, заключена между двумя спи­

ралями, по отношению к которым точка а является асимптоти­ ческой и дуга которой неограниченно возрастает, когда точка

кривой стремится к а.

Вопрос можно поставить еще и так: существует ли примы­ кающий к точке а такой путь I, что решение Уі (х)_системы (3.18) было бы голоморфным вдоль /, кроме точки а, и чтобы Уі (х)

стремились соответственно к Ьі, когда х стремится к а вдоль I. Меняя в случае надобности направление /, всегда можно допу­ стить, что в каждой точке / обладает непрерывной касательной.

Пусть s — дуга I, считающаяся положительной при выходе х из Л'ь в направлении к_а. При этом убудет возрастать и стремиться к пределу а, когда х стремится к_а, а может быть равна +°о.

Далее уточняется понятие «х стремится к а вдоль /» в более строгих терминах, но в том же смысле, как и в предыдущем до­ казательстве при движении по кривой L; формулируется теоре­ ма о том, что не существует решения уі{х) системы (3.18), голо-

морфного_вдоль направления I (примыкающего к точке а), кро­ ме точки а, и такого, что Уі (х) стремится к Ь{, когда х стремит­

ся к а вдоль I, и приводится ее доказательство. Полученный результат применялся также для случая действительного пере­ менного.

Этот же вопрос привлекал затем внимание и других ученых. Так, в статье Юнга [279] (1902 г.) выражалось некоторое сомнение в строгости доказательств Пикара и Пенлеве. Юнг стремился уточнить некоторые неясные вопросы и предложил свой вариант второго доказательства Пенлеве. Особое внима­ ние он уделял строгой формулировке понятия «приближение», введя новый термин «кривых приближения». В целом статья носит обзорный характер. В ней ставилась также цель популя­ ризовать в английской литературе новые результаты по данной теме, обращая особое внимание на теорему единственности. На эту интересную статью в скором времени откликнулся Пикар. В небольшой заметке [235.20] он несколько подробнее изложил свою прежнюю идею доказательства теоремы единственности и уточнил некоторые другие вопросы, касающиеся теоремы суще­

ствования решений дифференциальных уравнений.

79