книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

на, так называемая нормальная, форма, которая удовлетворяет инвариантному условию

и к которой каждое дифференциальное уравнение приводится только одним способом. Отсюда находится число произвольных констант, появляющихся в (5.24): т2+4 т + 2.

В первой части работы [130.7] Дарбу строит новый метод интегрирования, устанавливая интегрирующий множитель р, для (5.24), когда последнее становится полным дифференциалом некоторой однородной функции. Далее показывается, что инте­ грирование этого уравнения приводится к интегрированию си­ стемы

Дарбу сначала устанавливает условия, при которых уравне­ ние (5.24) допускает как частный интеграл алгебраическую не­ приводимую функцию f(x, у, z)= 0, а затем находит общий ин­ теграл этого уравнения в форме

показатели, а 1= т ^ +2. Во многих случаях можно обой­

тись знанием и меньшего числа частных интегралов, возмож­ ность для этого открывается подробным изучением особых точек, дифференциального уравнения. Дарбу установил, что для отыс­ кания общего интеграла надо знать р частных решений, пред­ ставляемых кривыми, не проходящими через q особых точек,.

где р = -т <'т^ г ^ + 2—q\ он запишется в форме (5.25) (при

замене индекса 1=р). Обобщение метода на случай систем алге­ браических дифференциальных уравнений рассмотрено в

[130.6].

Новое более простое доказательство теоремы о числе особых точек уравнения (5.24) в 1891 г. предложил Фуре [148]. В это. же время появилась работа Пуанкаре [237.19], где были исполь­ зованы и развиты рассмотренные идеи Дарбу и дополнены опуб­ ликованные немного раньше работы Пенлеве и Отона, о которых

Чтобы уравнение (5.24) было интегрируемо в алгебраических функциях, необходимо, чтобы для всех особых точек их «пока­

140

Пуанкаре устанавливает определенные зависимости рода интегральных кривых от показателя полиномов т и числа вет­ вей в особых точках такого или иного вида. Этим самым решал­ ся вопрос, поставленный Пенлеве относительно принадлежности к данному роду алгебраической кривой общего интеграла для всех случаев, когда измерение т было выше 4 .Основная задача автора состояла в определении верхней границы для степени р общего алгебраического интеграла, записанного в форме f + + Сф= 0, где С — произвольная константа, а f и <р — однородные полиномы по X, у, z степени р. Она полностью решалась в осо­ бом случае, когда для всех «седел» показатель z равен— 1, фор­

мулой т + 2 = р (—--- 1— — где сц и аг — взаимно простые

числа. В этом случае можно было установить алгебраическую интегрируемость уравнения (5.24).

Эта работа Пуанкаре скоро была дополнена заметкой Пен­ леве [228.4], исследовавшим тот же вопрос — установление условий наличия алгебраических интегралов для более общего уравнения первого порядка f ( x , у, у') = 0, где f — неприводимый полином по X, у, у ' и по у' — степени q. Сам Пуанкаре продол­ жил эти исследования через 6 лет [237.18], добавив к рассмот­ ренному случаю новые, более общие, когда ему удалось, преодо­ левая большие трудности, ограничить величину р и тем самым решить проблему алгебраической интегрируемости, а также дать углубленное исследование встреченных здесь особых точек.

Весьма полезной для решения вопроса была теорема Фукса [153.11] об условиях алгебраичности общего интеграла уравне­ ния вида

/ (у'г У,г,А, В , . . . , М) — 0,

где f — целая рациональная функция своих аргументов, а А, В,

... М — функции от z, подчиненные некоторым условиям. Эта теорема представляла также возможность построения такого интеграла, если он существовал. Позже Д. Мордухай-Болтов-

•ский [50] показал, что, пользуясь известным методом Лиувилля [205.2, 342 и след.], можно получить как результат Фукса, так и некоторое его обобщение.

Подробное и углубленное обобщение результатов Дарбу на алгебраические системы дифференциальных уравнений, расши­ рение области применения его методов, анализ ряда новых, свя­ занных с этим понятий и более простые доказательства ряда теорем, ряд новых интересных сведений содержится в моногра­ фии М. Лагутинского [37.1].

Исследование интегралов уравнений первого порядка и пер­ вой степени в области особых точек было одной из важнейших проблем анализа конца прошлого века. Именно совершенство­

141

вание этой теории при обращении особого внимания на роль критических точек было темой конкурса, объявленного Париж­ ской академией наук в 1890 г. Как одно из выдающихся на этом конкурсе (удостоено почетного отзыва) отмечено сочинение Ого­ на [95.4], за которым последовала большая серия работ, посвя­ щенных в основном дальнейшему развитию геометрической тео­

рии дифференциальных уравнений на основе высказанных здесь идей.

Автор изучал уравнение вида

М (І, г]) dl + N (I, т]) dr] = 0,

T. e. уравнение типа (5.24), изученное впервые подробно Дарбу в [130.7]. Здесь Рі — тройничная форма по Хі порядка т, кото­ рый называется измерением данного уравнения (т — целое, по­ ложительное). Ту же проблему Отон (54) решал с другой точки зрения, исследуя отношения между интегралами и некоторыми кривыми, проходящими на уникурсальных поверхностях, и ха­ рактер особенностей в уравнениях как обычных (критические точки — указанные в программе конкурса), так и исключитель­ ных (названных им точками поликритическими и гиперкритиче­ скими) .

Отон рассматривает интегральные кривые, обладающие про­ стым и общим для любого дифференциального уравнения свой­ ством иметь касательные на некотором, всегда и том же линей­ ном комплексе, который он назвал капитальным. Интегрантой: (дополняющей) он назвал любую кривую, касательные кото­ рой — «капитальны», т. е. расположены на капитальном комп­ лексе. В таком случае их дополняющие (а, следовательно, и ин­ тегралы) в известной степени могут быть изучены независимо от дифференциальных уравнений. Можно, например, исследо­ вать по отношению к некоторым преобразованиям поверхностей интегранты, обладающие свойством инвариантности. Он уста­ навливает, что любое дифференциальное уравнение первого по-

рядка Z7(g, ц, р) =0, где р = -, F — полином по £, ц, р, может

быть рассмотрено как уравнение некоторой алгебраической по­ верхности. Эта поверхность будет уникурсальной, если произ­ водная р входит в первой степени. Будет верно и обратное — ис­ следование интегрант влечет за собой интегрирование уравне­ ния первого порядка. Оно будет первой степени, если названная автором поверхность <$>— уникурсальна. Этот случай представ-

142

ляет особый интерес. Здесь положение точки г на $ определяется четырьмя однородными координатами гД/ = 1, 2, 3, 4), причем pZj=(fj(xu х2, х3), где р — коэффициент пропорциональности, Фз — тройничные формы. Интегранты будут характеризоваться элементом

и на плоскости I представляться местом точек х с координатами Хі (і = і , 2, 3) через интегралы так называемого регламентарного уравнения

3 < р ,

где %-с= Ж I-

Любое уравнение первого порядка и первой степени может быть рассмотрено как регламентарное. Основа развиваемого в этой работе метода состоит в том, что познание интегрант на уникурсальной поверхности $ ведет к тому же для интегралов регламентарных уравнений.

В соответствии с высказанными идеями классификация урав­ нений производится не по их измерению, как поступали раньше (Дарбу в указанном мемуаре, например, изучал случай второго, измерения), а согласно порядка поверхности $>, или согласно порядка форм cpj (линейных, квадратных, кубических и т. д.)._ Автор изучал из указанных те случаи, где $ — плоскость, по­ верхность второго порядка, скрещивающиеся поверхности тре­ тьего порядка или общая поверхность третьего порядка, содер­ жащая узловую кривую. В большинстве этих случаев (кроме по­ следнего) Отон получает интегралы рассматриваемых уравне­ ний в форме алгебраических функций или квадратур от них, в зависимости от существования, видов и количества упоминае­ мых выше особых точек.

Случай скрещивающихся поверхностей третьего порядка ведет к уравнению Риккати (присутствие одной дикритической точки) и т. д. В этой большой работе получили дальнейшее раз­ витие идеи Клебша и Дарбу, в том числе применение теории коннексов к геометрической теории дифференциальных уравне­ ний. В 1892 г. это исследование было продолжено. И здесь шла речь об изучении интегральных кривых как главных коинциденций некоторого коннекса, обозначенных автором как «регламен­ тарных», о том, как можно узнать по регламентации о принад­ лежности поверхности $ к уже изученным и т. д.

143

Следующий цикл работ Отона [95.—1.—3 .—5 .—6] связан с решением задачи о верхней границе степени алгебраического интеграла уравнений первого порядка, которой уже занимались Пуанкаре и Пенлеве. И здесь проблема трактуется геометриче­ ским методом, развитым в предыдущих работах, когда инте­ гральные кривые соответственных уравнений в однородных ко­ ординатах появляются как главные коинциденции коннексов. Подобно тому, как каждому элементу коннекса благодаря неко­ торому бирациональному преобразованию соответствует точка пространства, так коннексу соответствует некоторая алгебраи­

интегранты G, что составляет главную задачу автора, хотя он и не воздерживается от изучения кривых G самих по себе. В про­ цессе анализа он существенно использовал методы и результа­ ты большой работы Альфена [167.1] о классификации алгебраи­ ческих пространственных кривых и получившей премию Штей­ нера Берлинской академии наук в 1882 г. В скором времени Отон распространил свое исследование на алгебраические по­ верхности <$> с любыми особенностями в работах [95.7].

Ряд интересных результатов о поведении интегралов в облас­ ти особых точек в начале нашего века получил Дюляк, исследо­

для случая, когда X— рационально (отрицательно) (а коэффи­ циенты при dx и dy — голоморфны по х и у в окрестности л:=0, г/= 0). Он дополнил предыдущие результаты, показав, что в об­ щем через начало координат проходит бесконечно много инте­ гралов (см. об этом в [235.17, (1928), 30]). Затем последовала серия работ по исследованию аналитических интегралов урав­ нений первого порядка в окрестности особых точек, завершен­ ная в диссертации [137.2] и ее продолжении [137.3]. Дюляк изучал здесь, имея в виду прежде всего комплексную область изменения аргумента, интегралы уравнения вида

где X, У — голоморфны в окрестности точки Хо, у о и равны нулю при х = х 0, у — уо и которое могло быть приведено к форме (5.26). Полученные результаты использовались им и для заключений относительно поведения интегралов в действительной области.

В первой части работы для уравнения (5.26) Дюляк рассма­ тривает четыре случая:

144

где в скобках и правой части имелись разложения по степеням X и у, из которых записаны лишь члены низших измерений: одно­ родные полиномы А, ф„, соответственно степени п—2, п и п. Предполагалось, что ни для каких значений х и у одновременно А(х, у) и уц>п(х, у)+х\рп (х, у) не обращались в нуль. При этом, были справедливы две теоремы:

1. Можно найти такое число е, что когда | х о |< е , |г/о|<е, то интеграл уравнения (5.28), соответствующий начальным усло­ виям *о, у0 для | х | < | * о | , будет голоморфным и стремящимся к нулю вместе с х или алгеброидным и, следовательно, по крайней мере по одной ветви стремящимся к нулю вместе с х.

2. Все ветви рассматриваемых интегралов сходятся с х к ну­ лю, если X является множителем левой части уравнения (5.28); для каждого интеграла, проходящего в окрестности х=0, у = 0, у стремится некоторым образом к нулю, когда х->0.

Единственные интегралы, для которых х и у сходятся к нулю,, есть для х=0 алгеброидные (в общем голоморфные) и их суще­ ствование в бесконечном числе было хорошо известно, но не ис­ следовано, единственные ли они, для которых х и у сходятся к нулю. Кроме того, вторая теорема дает достаточные условия сходимости у с X к нулю.

Дальнейшему уточнению, развитию и обобщению получен­ ных результатов посвящены многие работы Дюляка, публико­ вавшиеся главным образом во французских журналах в 1907— 1913 гг. В том же направлении исследования проводили Мак­ миллан, получивший другим методом некоторые результаты Дюляка, а также Г. Ремундос (55). Ряд интересных результа­ тов последний сообщил в серии статей, публиковавшихся в 1908 г. в Париже. Он рассматривал весьма интересное по ряду обстоятельств дифференциальное уравнение вида

где афО, f — голоморфна по х, у в окрестности нулевой точки,, стремится к нулю при х->0, у-+0 и не содержит члена вида ау. Используя известные результаты Врио и Буке, Ремундос изучил сначала проблему существования голоморфного интеграла в ок­ рестности нулевой точки и равного нулю при х = 0. При этом было установлено отсутствие указанного вида интеграла при данных условиях заведомо в том случае, когда коэффициенты разложения в ряд Маклорена функции f(x, у) все действитель­ ны и отрицательны и число а положительно. Принципиально важным было то, что, рассматривая построение решения этого уравнения в форме степенного ряда, автор установил источник

146

его расходимости в связи с присутствием некоторых, подробна изученных, множителей, названных им «множителями расходи­ мости». Полученные выводы он распространил и на уравнения некоторого вида высших порядков, введя понятие «силы» (56) для выражения yi=F(x, у, у',... г/(т)), где F — полином относи­ тельно производных с коэффициентами, голоморфными в окрест­ ности нулевой точки функциями. В определенных случаях знак величины этой «силы» позволяет решить вопрос о наличии или отсутствии голоморфного решения. Борель (как сообщил Ремундос в [244.2]) понятие «сила» предложил заменить термином «вес». Несколько позже [244.3] для уравнения вида (5.29) Ремундос рассмотрел а как переменный параметр при неподвиж­ ных коэффициентах f(x, у) и установил (в зависимости от их характера) три случая, когда совокупность значений а, при ко­ торых уравнение обладает голоморфным, исчезающим в х = 0 интегралом, есть счетное множество. Исследование уравнения (5.29) было также предметом статьи лейтенанта кавалерии Витвинского [278].

Изучение поведения интегральных кривых уравнения вида (5.27) и более общих в области особых точек проводилось Бюхелем, Розенблатом, Диком, Коном и Горданом, Матсумото и др. Системы уравнений вида (5.29) и более общего исследованы Бендиксоном, Беркеляндом, Розенблатом, Купменом (несколько иного вида) и др. Отличный от общепринятого метод для иссле­ дования того же вопроса для уравнения n-го порядка предложен Лонгли [208.2].

§ 5. Уравнения с неподвижными критическими точками. Условия Фукса и Пуанкаре. Однозначные интегралы

Особые точки интегралов дифференциальных уравнений, как отмечалось выше, Фукс разделил на два класса — неподвижные и подвижные. Очевидно, что подвижные особые точки появляют­ ся в интегралах в связи с тем, что аргумент г входит в правую часть уравнения w'=f(w, г ) (5.30) через его коэффициенты, ко­ торые сами могут иметь особые точки. Таким образом неподвиж­ ные особые точки интегралов могут быть какими угодно и их положение, вообще говоря, можно установить непосредственно по уравнению. Отсюда е и д н о , ч т о особый научный интерес пред­ ставляет исследование вопроса о природе подвижных особых точек, а также выделение таких классов уравнений, интегралы которых не имеют никаких подвижных особых точек. Так, легко доказать, основываясь на теореме существования Коши и исходя из общеизвестных положений теории функций [35.4, 47], что интегралы линейных уравнений не имеют подвижных особых точек. Не случайно поэтому общая аналитическая теория линей­ ных уравнений была построена раньше на 20—30 лет, чем зало­ жены основы общей теории нелинейных уравнений, хотя именно

Если в интегралах данных дифференциальных уравнений отсутствуют особые критические точки (или точки разветвле­ ния), то они, следовательно, представляют однозначные анали­ тические функции, теория которых к концу прошлого века была хорошо изучена. Установление таких классов уравнений пред­ ставляло поэтому особый интерес.

Исследование однозначных функций, определенных алгебраичёскими дифференциальными уравнениями первого поряд­ ка, исходит от работ Абеля и Якоби, рассматривавших уравне­ ние

Предложение о том, что каждая однозначная двоякопериоди­ ческая функция, которая в конечных точках может иметь толь­ ко полюсы, удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению вида F(y, у')=0, высказал Мерэ, будучи еще студен­ том [112, 6, 129]. Уравнения такого же вида с однозначными ин­ тегралами исследовали затем Врио и Буке с Вейерштрассом. Эрмит (57) первый указал на значение жанра р алгебраическо­ го уравнения F(y, у') =0 для проблемы интегрирования.

Итак, как общий класс сначала были изучены уравнения с неподвижными критическими точками. Эта проблема поставле­ на и впервые решена Фуксом в 1884 г. в статье [153.10].

При изложении своего метода он исходил из того, что пове­ дение интегралов линейных уравнений в окрестности особых то­ чек, в частности критических, характеризуется некоторыми ве­ личинами так, что последние в любом случае делаются незави­ симыми от начальных значений интеграла в том смысле, что «каждая (такая) величина менялась с этими начальными дан­ ными не непрерывно». Задача, таким образом, состояла в том,

148

чтобы отыскать такие классы дифференциальных уравнений (первого порядка), которые по своей природе стоят ближе всего к линейным, т. е. те, у которых соответственные величины харак­ теризовали бы критические точки интегралов, находящиеся в неподвижных местах, и не менялись бы непрерывно с началь­ ными условиями данных интегралов. Фукс рассматривал урав­ нение

где F — целая рациональная функция по у и у', коэффициенты которой зависят от х. Тогда, полагая y' = z и учитывая условие

из двух последних уравнений исключается z и получается дис­

где Fi — целая рациональная функция по и и у с зависимыми от X коэффициентами, для которого дискриминат Di(x, и) отли­ чен от нуля для любой (за исключением м = 0) точки некоторого круга К в w-плоскости, и записывает каждый корень уравнения

которых кругов, описанных около точки а и полностью принад­ лежащих области В, могут быть представлены рядами по поло­ жительным целым степеням х—а.

Если точки разветвления интеграла передвигаются непрерыв­ но с изменением начальных значений, то последние в общем можно так варьировать, что каждая точка некоторой области независимого переменного станет критической. Доказав вер­ ность обратного утверждения, Фукс возвращается к исследова­ нию уравнения (5.31), предполагая функцию F также неприво­ димой относительно у'. Интеграл этого уравнения у имеет кри­ тическую точку в х=Хо, в окрестности которой коэффициенты уравнения (5.31) однозначны и непрерывны только тогда, когда для х = х 0 следует у=Уо такого свойства, что корни г/f уравнения

149