книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

линейную неоднородную систему

+«,(q’1' 4’!........<P") U = l ,2 ........./■

*C. В. Ковалевская перешла к рассмотрению (§ 2) более общего

•случая нелинейного уравнения, содержащего функцию ср от г 1 переменных х, х ѵ х2, . . . , хг и ее производные вида

где G — целая рациональная функция по всем своим аргумен­ там и ct+ cti+ ... +аг^ п . Задача состояла в определении самым общим образом функционального элемента (в смысле Вейерштрасса) ср(х, х\,..., хг\а, аи ... аг), т. е. степенного ряда отно­ сительно разностей х—а, Х\—щ...... хт—ат, сходящегося внутри некоторой окрестности точки (щ, йг„ •••, аг) и удовлетворяющего данному уравнению (3.43). При решении ее сначала рассматри­ вается так называемый нормальный случай, когда по крайней

в G, а затем показывается (§3), что, если дифференциальное уравнение не имеет нормальной формы, ему можно всегда при­ дать такую с помощью линейного преобразования независимых переменных, и рассмотреть задачу уже относительно новой не­ зависимой переменной. Здесь же Ковалевской установлено очень важное условие, при котором дифференциальное уравнение в частных производных всегда имеет интеграл и которое прошло мимо внимания как Коши, так и занимавшегося тем же вопро­ сом одновременно с Ковалевской Дарбу, что было отмечено в письме Вейерштрасса Эрмиту (см. [57.2, 5]). Именно она заме­ тила, что если в дифференциальное уравнение п-го порядка вхо­

тальных производных уравнения (3.43)а<т, то можно постро­ ить степенной ряд, формально удовлетворяющий данному урав­ нению. Но для его сходимости коэффициенты должны подчи­ няться таким ограничениям, что этот ряд, вообще говоря, не будет сходиться ни в какой точке (х, х \, ... хг), как бы близко ни взять ее к точке (а, а\, аг, ..., аг). Этот факт был показан на при-

1 См. о нем подробнее в [91, 442].

90

Полученные результаты были обобщены также (§ 4) на слу­ чай системы т алгебраических дифференциальных уравнений с частными производными от т неизвестных функций по г+1 переменному. Указанная работа С. В. Ковалевской получила широкую известность, и ее метод решения задачи, обладающий большой общностью и простотой, стал классическим и перешел в учебную литературу.

Почти одновременно с диссертацией Ковалевской опублико­ ваны заметки Дарбу [130.4], где рассматривался тот же пред­ мет, но с меньшей основательностью и полнотой. Здесь давалось

для которых искался интеграл f{qu — Qn), непрерывный и конеч­

порядка имелось в виду их приведение к таким, которые содер­ жали частные производные первого порядка от искомых функ­ ций. При второй из указанных публикаций Дженочи [130.4] напомнил о приоритете Коши в данном вопросе, а также о том, что Коши владел понятием равномерной сходимости рядов и установил некоторые теоремы в данной области на заседании академии 14 марта 1853 г. (С. R. 1853, 36, 456—458).

Дальнейшее развитие и новую форму изложения нашел этот вопрос в многочисленных работах Кенигсбергера, Пуанкаре, Мерэ, Рикье, Ми, Горна, Соважа, Тресса, Делассю и др.

В докторской диссертации Пуанкаре [237.2] исследование Ковалевской было дополнено, в частности, подробным изучением уравнения

рой степени по отношению к хі, х2, .., х„. Автор доказал, что при определенных условиях 1относительно X, это уравнение допуска­ ет голоморфный интеграл, разложимый по степеням Хі, х2, ..., хп.

Обобщение полученного результата на уравнение

дано в [237.17, 28]. Ряд интересных следствий из этой теоремы развиты в работах других математиков.

1 См. об этом в гл. V, § 2.

91

В большом цикле работ Кенигсбергера в 1891—1892 гг. изу­ чались вопросы приводимости и неприводимости уравнений с частными производными и в зависимости от этого характер ин­ тегралов, условия их существования, уточнение области их схо­ димости и другие в тесной связи с новейшими результатами в алгебре и теории функций.

Вопросы существования решений систем полных линейных дифференциальных уравнений с частными производными и усло­ вия их регулярности были главным предметом исследования Горна в 1890—1891 гг. Автор обобщил здесь исследования Фук­ са о поведении интеграла линейного дифференциального урав­ нения в окрестности особой точки на уравнения с многими пере­ менными.

Доказательство существования интегралов для бесконечной системы уравнений и некоторые дополнения теоремы Ковалев­ ской рассмотрены в диссертации Ми [216.1].

Теорема Пуанкаре о разложимости интеграла системы обык­ новенных дифференциальных уравнений по степеням малого параметра распространялась Кенигсбергером на решения си­ стем дифференциальных уравнений с частными производными в [195.4], а дополнение работы Кенигсбергера [195.3] в смысле уточнения условий интегрируемости для систем первого поряд­ ка представил Штекель [259.2].

Существенный шаг вперед в решении данного круга проблем связан прежде всего с работами Мерэ и Рикье.

Как упоминалось ранее, в работе Ковалевской изучались системы, содержащие столько же уравнений, сколько было неиз­ вестных функций и притом разрешимых относительно старших производных каждой из функций по одной и той же переменной.

В работах Мерэ и Рикье теорема существования интегралов трактовалась для линейных систем первого порядка более об­ щего вида, когда уравнение содержало g функций от п перемен­ ных и число уравнений отличалось от числа функций.

Первая работа Мерэ в этом направлении [214.4] опублико­ вана в 1880 г. Углубленно изучая этот интересный мемуар, Ри­ кье заметил некоторые неточности в доказательстве сходимости, и после их исправления и дополнений была опубликована об­ щая работа [215]. Несколько позже Рикье, изучив вопрос суще­ ствования интегралов для так называемой гармонической си­ стемы и систем более общего вида, получил решение задачи для весьма широкого класса уравнений, существенно обобщив ре­ зультаты Ковалевской.

Почти одновременно с Рикье тем же вопросом заинтересо­ вался Делассю (40). В одной из первых работ в этом направ­ лении [132] он стремился, по его словам, изложить результаты Рикье более естественно и просто и с несколько иной точки зре­ ния, частично их дополняя. В серии следующих работ ему уда­ лось также получить весьма общие результаты, изложенные

92

Г л а в а IV. РАЗВИТИЕ УЧЕНИЯ

ОБ ОСОБЫХ ТОЧКАХ И ИХ КЛАССИФИКАЦИИ

§1. Постановка вопроса. Понятие особых точек

иих исследование у Коши

Теоремы существования и единственности определяли инте­ грал дифференциального уравнения в круге некоторого радиу­ са, представляя тем самым элемент аналитической функции, ко­ торый мог быть продолжен далее определенным способом. Полу­ ченная таким образом аналитическая функция будет удовлетворять тому же уравнению, что и исходный элемент. Поведение этой функции-интеграла, ее характер и область су­ ществования определяются ее особыми точками. Более того, мо­ жет быть поставлен вопрос о рассмотрении любой аналитиче­ ской функции как функции множества ее особых точек. При этом, как отметил В. В. Голубев [16.5, 157], центр тяжести изу­ чения аналитических функций переносится из области голоморф­ ности на множество особых точек. Поведением на особом мно­ жестве некоторых вспомогательных функций-параметров опре­ деляется характер и поведение аналитической функции во всей области ее существования. Отсюда можно понять то большое внимание, которое уделяли многие математики изучению пове­ дения интегралов уравнений в области особых точек. Изучение характера и расположения особых точек интегралов по виду определяющего их дифференциального уравнения является основ­ ной и важнейшей задачей аналитической теории дифференци­ альных уравнений. В постановке и развитии этого вопроса сыграло существенную роль само учение об особых точках функ­ ций и его эволюция. А его важной и неотъемлемой частью был и вопрос о классификации особых точек, которая развивалась в зависимости от постановки задач, от уровня накопленных зна­ ний, от методики исследования.

Уже вскоре после установления основных операций матема­ тического анализа особые точки функций стали понимать как такие, для которых функция не существовала или в которых нарушалась непрерывность функции или ее производной. Такое представление сохранялось до начала XIX века.

Рассматривая этот вопрос в Курсе анализа, ч. 1, Коши отме­ чал, что если по данному определению функции в частном слу­

94

чае (т. е. для данного значения аргумента) нельзя прямо полу­ чить значений рассматриваемой функции, то «отыскивают ее предел или те пределы, к которым стремится эта функция, меж­ ду тем как переменные неопределенно приближаются к данным частным значениям. ... Значения функции, определенные таким образом, называются особенными. Таковы, например, те значе­ ния функции, которые, соответствуют бесконечным значениям переменной, а также те, которые соответствуют разрыву непре­ рывности функции. Разыскание особенных значений функций принадлежит к числу самых важных и самых утонченных вопро­ сов анализа» [122.1 (русск. пер.), 43]. Затем Коши довольно подробно изучал различные формы неопределенных выражений и способы их вычисления как для функции одного, так и не­ скольких переменных. Более подробного рассмотрения поведе­ ния функции в окрестности особых точек он здесь не производил. Несколько позже, в 1823 г., в резюме уроков по дифференциаль­ ному и интегральному исчислению [122.2] Коши уже различал (по современной терминологии) полюсы и критические точки; о последних речь идет при рассмотрении примеров функций х'Іг, х!/з в связи с исследованием выражений на максимум и минимум.

В это же время он довольно подробно изучил свойства осо­ бой точки, в которой функция обращалась в бесконечность.

Так, в «Мемуаре по теории определенных интегралов», пред­ ставленном Институту в 1814 г. и после некоторых дополнений опубликованному в 1825 г. и уже содержащему его интеграль­ ную теорему в простейшем частном случае интегрирования по прямоугольному контуру, и в известном мемуаре об определен­ ных интегралах, взятых между мнимыми пределами [122.3], где изучалась та же теорема в более общем виде, Коши указы­ вал, что величина интеграла не зависит от пути интегрирова­ ния, соединяющего те же две точки, если подынтегральная функция будет конечной и непрерывной в прямоугольнике, со­ держащем область интегрирования '. В том же случае, когда контур, образованный двумя кривыми, соединяющими две дан­ ные точки области, содержал такую точку, где функция обра­ щалась в бесконечность, то величины интегралов, взятых вдоль обеих кривых, будут отличаться на ±2 nif, где [ — величина, че­ рез год получившая название вычета подынтегральной функции относительно точки а. Коши уделил здесь много внимания по­ дробному рассмотрению аналогичных случаев.

Отметим, что идеей будущей интегральной теоремы Коши еще раньше четко владел Гаусс, о чем он писал Бесселю в пись­ ме 1811 г. (опубликовано в 1880 г.). Но эта идея не получила у него должного развития и долго оставалась неизвестной широ­ кому кругу математиков.

1 Подразумевается вместе с тем и непрерывность ее производной, о чем была речь раньше.

95

Дальнейшее углубленное изучение Коши свойств функций в точках, где они обращаются в бесконечность, и в том числе раз­ ных порядков, связано с созданием теории вычетов в 1826— 1830 гг.

В мемуаре 1831 г. [122.13, 53] Коши проявил понимание осо­ бого характера поведения функций в окрестности, как мы те­ перь говорим, существенно особой точки. Приводя примеры, он обособил функции, обладающие такой точкой, в отдельную

группу, и отметил, что функции типа ех становятся разрывными для х = 0, «никогда не будут разложимы в сходящиеся ряды, упорядоченные по возрастающим степеням х». Как известно, существенным шагом вперед в этом отношении были теоремы Вейерштрасса (1841) и Лорана (1843) [201.1] о разложении не­ прерывных и дифференцируемых в круговом кольце функций в ряд по положительным и отрицательным степеням аргумента.

Таким образом, уже к началу 30-х годов XIX века Коши раз­ личал основные типы особых точек однозначных функций, по­ нимал характер их влияния на поведение функции, но они не получили у него еще специального названия (в терминологии он отличал точки бесконечности функции и точки разрыва) и не были объектом специального изучения. Однако в ряде работ по­ следующих лет Коши неоднократно возвращался к изучению поведения интегралов, когда подынтегральная функция была бесконечной или разрывной в некоторых точках области. Так, в мемуаре [122.14, 109] (1841) несколько подробнее сказано о по­ ведении функции в окрестности существенно особой и критиче­ ской точки, а в заметке [122.19] обобщено упоминаемую выше теорему на более общий случай, когда интеграл брался по замк­ нутому криволинейному контуру. В других статьях обобщена теорема вычетов.

В письме Кориолису в январе 1837 г. [122.5] Коши под­ черкивал, что функция, не принимающая бесконечных значений, в общем может быть непрерывной, пока она не стала многознач­ ной. Таким образом, корень уравнения не перестает быть в об­ щем непрерывной функцией от параметра, входящего в уравне­ ние, пока оно не получит равных корней. Те значения параметра, при которых уравнение имеет общие корни с его производной, Коши называет главными. «В таком случае,— говорит он,— любой корень будет разложим в ряд по возрастающим степеням параметра, пока его модуль будет оставаться меньше всех мо­ дулей главных величин». Здесь же ставится вопрос о разложе­ нии корней уравнений некоторой степени по возрастающим или убывающим степеням, а также и по дробным.

Более подробно эти мысли Коши были развиты через не­ сколько месяцев в письме [122.6]. Если мы не ошибаемся, в ли­ тературе нашего века об этих результатах Коши не упомина­ лось. А именно здесь можно усмотреть основу дальнейших ис­

96

следований в области критических точек как самого Коши, так и его учеников и последователей. Изложив доказательства вы­ ше упомянутых и других теорем о разложении корней по пара­ метру, Коши развивает здесь новое геометрическое построение для выражения зависимости t и z, связанных уравнением jt(z) + + /ш (г)= 0, где функции я(г) и w(z) — многочлены; причем степень первой выше второй, г=х+іу.

Рассматривая также уравнения л (г )= 0 и w(z)= 0, Коши установил, что если они имеют равные корни, то раскладывают­

ся по возрастающим и дробным степеням t и — в зависимости

от изменения |/|. В процессе дальнейшего анализа он применял и такой прием, как сечение, выходящее в форме луча из узловой точки и разделяющее две ветви кривой, сходящиеся в этой точ­ ке. При этом он заметил, что кривые в узловых точках встреча­ ются под равными углами и вычислил также приращение функ­ ции при переходе от одной ветви на другую в окрестности такой точки. Несколько позже (1844) Коши изучил аналогичный во­ прос и для случая более общего уравнения f(t, z) = 0, т. е. когда параметр входит в уравнение нелинейно.

Упоминая об этих работах, Брилль и Нетер [ПО, 188] упре­ кали Коши за недостаточную, по их выражению, общность изло­ жения, так как он использовал ряд Маклорена, а не Тейлора. Нам подобный упрек представляется несущественным. Основное значение этих работ Коши состоит не столько в окончательной и методической разработке вопроса, сколько в постановке его, в подготовке фундамента для более детальных и полных иссле­ дований, в предвосхищении некоторых более поздних результа­ тов и прежде всего в работах Пюизё (42); вполне вероятно, они могли быть толчком и для теоремы Лорана.

Особенно много интересных статей, трактовавших данные вопросы, было опубликовано Коши в 1846 г. Из них мы отметим весьма важный мемуар [122.21], где была изложена глубокая идея перехода под знаком интеграла к многозначным функциям.

Автор здесь отметил, что нет препятствий для рассмотрения такого интеграла, под знаком которого функция содержит кор­ ни алгебраического или трансцендентного уравнения. Если при этом подвижная точка, описав кривую, возвратится к первона­ чальному положению, то корень данного уравнения окажется замененным другим корнем того же уравнения. В этом случае величина интеграла вдоль замкнутого пути не будет зависеть от выбора точки входа. При последовательных обходах по тому же пути под знаком интеграла будут получаться, как говорит Коши (стр. 690), новые функции (т. е. значения других корней) и вме­ сте с тем различные значения интеграла. И этот интеграл, вооб­ ще говоря, будет также функцией от переменной х, которая для одного и того же х в разные моменты может иметь различные

значения в конечном или бесконечном количестве. Но «это не будет мешать интегралу после одного единственного обхода по­ движной точки приобрести определенную величину, юторая будет для простоты зависимой от положения подвижной точки и не зависимой, при некоторых условиях, от формы кривой».

Далее Коши отметил, что эта теорема позволит без труда узнать природу функции, обратной той, которая представляет данные определенные интегралы или по существу интеграл урав­ нения dt = f(x)dx. В том случае, когда эти функции будут перио­ дические, можно вычислить указатели (модули) их периодич­ ности или, как в случае однозначной функции f(x), через выче­ ты, или через интегралы вдоль линий, пересекающихся между точками разрыва (т. е. точками разветвления) и указанные в [122.20]. Дальнейшее развитие эта работа Коши получила в ме­ муарах [122.24]. Здесь автор рассмотрел точки Сі, С2, ..., для которых функция обращается в бесконечность или имеет крат­ ные корни. Из них проводятся прямые CiDu C2D2, ..., сравнивае­ мые автором с помехами, перед которыми останавливается по­ движная точка. Она их не может пересечь, не нарушив непре­ рывности функций. Эти линии он называет линиями остановки, а их начала — соответственно точками остановки (points d’arret). Это понятие может быть рассмотрено как некий прообраз дальнейшего понятия разреза. В предыдущей из рассмотренных работ Коши отмечал важность развиваемых им идей для изуче­ ния эллиптических и абелевых функций и был прав, так как эти и другие работы данного цикла открывали путь к изучению фундаментальных свойств функций обращения от интегралов алгебраических функций.

§ 2. Изучение особых точек в работах Пюизё и Римана

Существенное дополнение теория однозначных функций, в частности особенности поведения функции в области особых то­ чек, получила в исследованиях по теории многозначных функ­ ций. Пюизё изучал свойства и поведение алгебраических функ­ ций абелевых интегралов во всей плоскости комплексной пере­ менной. При этом он открыл весьма плодотворные принципы, на основе которых была выяснена природа критических точек. Он уделил много внимания разработке общего метода отыскания периодов эллиптических интегралов, рассматриваемых как ин­ тегралы от многозначных функций комплексного переменного, взятые по контуру в комплексной области, чем занимался потом и Риман.

Следуя методам Коши, Пюизё прокладывал новые пути в области изучения алгебраических функций, получившие даль­ нейшее развитие в работах Эрмита, Вейерштрасса и других ма­ тематиков.

98

Метод Римана был построен на со­ вершенно иных и весьма своеобразных геометрических представлениях, о сущ­ ности которых упоминалось во введе­ нии.

Рассмотрим работы этих ученых с интересующей нас точки зрения.

Основные результаты В. Пюизё из­

их величины, если точка разрыва функ­

ции находилась внутри области, огра­ ниченной замкнутой кривой, по кото­ Виктор Пюизё (1820—1883).

рой брался интеграл. Однако внутрен­ ний механизм таких изменений и прежде всего изменений самих

функций им не был разобран. На этот пробел обратил внимание Пюизё, рассматривая и как неявную функцию от г, заданную алгебраическим уравнением

Он прежде всего четко разграничивал те точки функции, для которых она обращалась в бесконечность (полюсы), и те, где уравнение (4.1) имело кратные корни.

В первой части работы Пюизё подробно исследовал поведе­ ние функции и интеграла от нее в случае отсутствия особых то­ чек и вывел очень простым способом интегральную теорему Коши, расширив при этом применение метода сведения интегра­ ла по некоторому контуру / к интегралу по окружности С, лежа­ щей внутри контура. В результате он пришел к следующему за­ ключению: если замкнутая кривая CLMC (рис. 2) такова, что ее можно преобразовать в одну точку С, не переходя через та­ кие точки, для которых функция и становится бесконечной или равной другому корню уравнения (4.1), то интеграл Juidz, взя­ тый вдоль всей этой линии, будет равен нулю [240.1, 374]. После этого для представления функции « = cp(z) строится ряд Тейлора

и радиусом не больше, как расстояние от с до ближайшей осо­ бой точки. Этим самым центр круга сходимости был перемещен из начала координат комплексной плоскости в переменную