книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

где а, b, с независимы от t", f , алгебраичны по t и y{q~A), . . . , у',у,х а е,е1е2 (независимы от t") стремятся к нулю с и, придавая функ­

ции у и ее производным до yU-v включительно числовые значения, при которых функции a(t),b(t),c(t) станут величинами а0,Ь0,с0, получим упрощенное уравнение вида

которое должно иметь однозначный интеграл, чтобы уравнение (9.13) было с неподвижными критическими точками. Имелось в виду, что определенная им функция t (х) должна быть однозначной, бу­ дучи производной (<7—3)-го порядка от однозначной функции.

Замечание о некоторых уравнениях третьего и четвертого порядков с однозначными интегралами в дополнение к работам Пенлеве и Бореля [105.2] сделал Шази в [124.1]. Более подроб­ но этим вопросом и другими исследованиями уравнений четвер­ того и высших порядков с неподвижными критическими точками он занимался в четвертой части работы [124.2].

§ 4. Некоторые приложения теории нелинейных уравнений

Как видно из предыдущего, аналитическая теория нелиней­ ных уравнений в процессе выработки собственных методов ис­ пользовала также результаты многих других теорий и методов. Но и построенные здесь методы и найденные результаты оказа­ лись полезными и применимыми как для других отраслей теории уравнений и анализа, так и для применений к решению некото­ рых фундаментальных задач механики. Частично эта тема уже трактовалась нами раньше при рассмотрении соответственных конкретных вопросов. Особо интенсивно стали применяться ме­ тоды аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений к основным проблемам динамики, небесной механи­ ки и космогонии с конца прошлого столетия. Одна из первых и очень успешно применяла эти методы к механике, попутно их развивая, С. В. Ковалевская.

Большое значение в этом отношении имели ее работы о вра­ щении твердого тела около неподвижной точки [29.2.—3.—4]. Этот вопрос был предметом исследований Эйлера, Пуансо, Лаг­ ранжа и других видных математиков !. В их работах решены две задачи о движении. Аналитическими исследованиями найде­ но, что в обоих случаях задача решается с помощью эллиптиче­ ских функций, а искомые величины выражаются с помощью функций времени, имеющих особые точки только в форме по-1

1 См. об этом подробнее в [26.2, 16].

240

люсов для конечных значении аргу­ мента. В основу решения этой зада­ чи С. В. Ковалевская положила но­ вую идею и применила к исследова­ нию проблемы методы теории аналитических функций, представив аргумент — время в форме комп­ лексного переменного. Она искала вообще все те случаи, когда пара­ метры движения выражались мероморфными функциями от t, содер­ жащими пять произвольных посто­ янных, и в результате пришла к от­ крытию третьего случая, когда в

между собою моментов. В этом случае решение получено с по­ мощью эллиптических и ультраэллиптических функций.

Как отметил Н. Е. Жуковский [26.2, 18], основа успеха С. В. Ковалевской при решении задачи заключалась в прибавлении к известным интегралам живых сил и площадей еще одно­ го нового алгебраического интеграла. После этого дело свелось к выполнению определенных аналитических операций. Все слож­ ные и длинные вычисления Ковалевская проделала до конца и нашла выражения общих решений рассматриваемой системы уравнений в функциях от времени. За первый из указанных ме­ муаров она получила Борденовскую премию Парижской акаде­ мии наук, за второй — премию Шведской академии наук. Важно здесь отметить, что ее идеи при решении данной проблемы при­ вели к постановке общей задачи об отыскании такого класса дифференциальных уравнений, интегралы которых — однознач­ ные функции. В этом направлении получены важные результа­ ты, тесно связанные вместе с тем с развитием общей теории алгебраических функций. Исследования Ковалевской в этом направлении были продолжены многими учеными. Из них отме­ тим работу А. М. Ляпунова [43.3], давшего строгое доказатель­ ство теоремы С. В. Ковалевской и притом обобщившим ее на случай любых однозначных общих интегралов (С. В. Ковалев­ ская рассматривала только такие однозначные интегралы, кото­ рые выражались рядами Лорана с конечной главной частью), а также монографию Г. Г. Аппельрота [3.1], посвященную реше­

статьях Г. Г. Аппельрота [3.2] и П. Я. Полубориновой-Кочиной [57.1], а также в богатых содержанием лекциях В. В. Голубева [16.4].

ской теории дифференциальных уравнений существенно расши­ рилась, охватывая не только смежные области анализа, но и та­ кие дисциплины, как изучение автоколебательных процессов, теорию автоматического регулирования и т. д. Подробная исто­ рия этой важной проблемы может быть темой отдельной боль­ шой работы и мы приведем здесь, в дополнение к сказанному раньше, лишь некоторые сведения о применениях изучаемой тео­ рии, ограничиваясь их начальным этапом и используя работы Пеклеве [228.11 и др.]. В этом отношении прежде всего отмеча­ ется применение полученных результатов к исследованию первых интегралов дифференциальных систем. А отсюда следовало определение первых интегралов уравнений динамики, алгебраи­ ческих по отношению к скоростям.

Далее можно указать изучение уравнений п-го порядка, инте­ гралы которых выражаются в форме Р(Си С2, ... С„, х, у) = О, где Р — полином по отношению к константам и аналитическая функция по X, у. Этот класс уравнений содержит, в частности, такие, интегралы которых у(х) являются алгебраическими функ­ циями констант. Опираясь на общую теорию, Пенлеве доказал, что интегрирование такого уравнения приводится всегда к ин­ тегрированию дифференциальной системы, все неполярные осо­ бенности которой неподвижны. Эта система может быть общего или особого класса. Применение общих методов нелинейной теории позволяло проще и в более общей форме решать вопрос об определении алгебраических интегралов линейных уравнений. Пенлеве трактовал также и обратный вопрос, в частности, о по­ строении всех линейных однородных уравнений третьего поряд­ ка с рациональными коэффициентами, общие интегралы которых алгебраические.

Существенный интерес представляет вопрос о применениях результатов рассматриваемой теории к действительной области. Здесь прежде всего изучались кривые, определенные системой трех, а затем п уравнений, в том числе и содержащих параметр. Много внимания Пенлеве уделил уравнениям динамики. Он рас­ сматривает материальную систему S e n степенями свободы и независимыми от времени связями, предполагая S лишенной трения и подчиненной заданным силам, имеющим потенциал. Надо вычислить положение 5 в некоторый момент t, зная ее по­ ложение и скорости при t = 0. Но если система 5 проходит через некоторые особые точки, то, как известно, уравнения динамики не представят возможности изучения ее движения. Можно пред­ положить, что такие особенности в естественных проблемах ни­ когда не представятся, так как материальные системы всегда занимают в данный момент времени определенное положение. Но этот аргумент был бы основательным, если бы формулы ди­ намики строго соответствовали действительности. Автор приво­ дит примеры, когда система S (при стремлении t к ^і) стремится к некоторому определенному положению, для которого уравне­

242

ния движения перестают быть регулярными. И в исследованиях этого рода важную роль играло изучение особых точек интегра­ лов. При этом Пенлеве показал, что наличие существенно осо­ бых точек для интегралов уравнений динамики, вследствие осо­ бенности их формы, является общим правилом, а не исключени­ ем. Поэтому представляло большой интерес узнать, обладает ли система уравнений Лагранжа рассмотренными автором осо­ бенностями или нет. Если доказать, что они существуют, то это* приведет к весьма замечательным особенностям движения; если же окажется, что они не существуют, то представляется некото­ рая возможность наблюдать за движением системы 5 по край­ ней мере до тех пор, пока 5 не пройдет через особое положение. Применив известные результаты своих исследований по анали­ тической теории к действительной области, Пенлеве установил ряд общих теорем о движении рассматриваемой системы 5. Если ее положение регулярно, то уравнения Лагранжа, решенные по отношению ко вторым производным, могут быть представлены в форме

X'; = /. (х[, . . . , < , X,,... ха) 3= V «(.о (хр . . . , х п) х)х\ +

и можно искать параметры х\, Хг,..., хп таким образом, чтобы в окрестности 5, где S — регулярна, коэффициенты а#<*> были бы голоморфны. Это имеет место, если х і стремятся к конечным пределам, когда t стремится к tx. Система (9.17) определит дви­ жение S и это движение будет оставаться регулярным для t > t x. Но при этом существенную роль играет стремление x / ( t ) к ко­ нечным пределам, что обеспечивает следующая доказанная Пен­ леве теорема: если при t, стремящемся к tu S стремится к регу­

что если t-*~оо и S стремится к регулярному положению Si, то Si есть необходимо положение равновесия, и все скорости x/(t)

стремятся к нулю вместе с -у-. И наоборот, если t , возрастая,

стремится к t\ и система S стремится к регулярному положению равновесия со стремящимися к нулю скоростями, то tx— необ­ ходимо, бесконечно.

В том случае, когда S есть особое место и при t->tі скорости X i ' ( t ) стремятся к конечным пределам, то уравнения движения, в общем, не определят положение S для t > i \ . То же заключение имеет место, если скорости Хі'-+ао при/->-^і или, оставаясь конеч­ ными, не стремятся к предельным величинам, когда t-+tx. При этом могут быть различные случаи, которые далее и исследу­ ются.

После трактовки ряда дальней­ ших важных проблем динамики 1 Пенлеве рассмотрел также аналити­ ческую характеристику определяю­ щих движение функций для трех категорий систем, не допускающих особых положений, а также интегри­ рование уравнений динамики с по­ мощью рядов. Отдельные парагра­ фы были посвящены трактовке проблемы трех тел и проблемы п тел. В дальнейшем Пенлеве посвя­ тил ряд работ специально исследо­ ванию различных проблем механи­ ки и получил ряд весьма сущест­ венных результатов 2, хотя ему и не удалось решить все поставленные вопросы, а некоторые высказанные им положения не лишены ошибок,

что позже показано, в частности, Ю. Д. Соколовым (76), дока­ завшим важную теорему о минимуме взаимных расстояний трех материальных точек.

Работы Пенлеве имели весьма большое значение и для раз­ вития одной из важнейших отраслей динамики—теории соуда­ рений. Инициатором этого рода исследований был Ф. А. Слудский, высказавший еще в 1878 г. теорему о необходимом усло­ вии общего соударения п материальных точек, взаимно притя­ гивающихся по закону Ньютона. После работ Пенлеве эта проблема была предметом исследований Леви-Чивита, Бискончини, Зундмана, Армелини, В. П. Ермакова, Шази, Биркгофа (77) и других 3. Полный анализ поведения величин, характери­ зующих движение трех тел в окрестности момента общего со­ ударения, дан в докторской диссертации Ю. Д. Соколова [68.1]. Здесь же впервые установлены все условия общего соударения (одно для прямолинейного движения и два для плоского, кроме условия Ф. А. Слудского). Кроме того, доказаны теоремы, пред­ ставляющие широкие обобщения теорем Слудского и Дзиобека, и исследованы все особые случаи соотношений масс, оставлен­ ные Шази без рассмотрения. Дальнейшее развитие и обобщение этот вопрос получил в последующих работах Ю. Д. Соколова, подытоженных в монографии [68.3].

1 См. в [68.3, 7] теоремы 2, 3.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. РАЗВИТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Г л а в а х . ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Постановка вопроса. Диссертация Каке и другие работы

Так как линейные уравнения являются одним из видов более общего класса дифференциальных уравнений, обыкновенных или с частными производными, то, естественно, на них распрост­ раняются теоремы существования и единственности голоморф­ ных решений, рассмотренные выше. Вместе с тем линейные урав­ нения по своей структуре более простые и обладают рядом спе­ цифических свойств, благодаря чему оказалось возможным глубокое проникновение в их теорию и получение выводов весь­ ма широкой общности. Достаточно напомнить, что первая общая теория интегрирования была создана Эйлером именно для клас­ са линейных уравнений. Как раз здесь оказалась весьма благо­ датная почва для дальнейших многочисленных исследований. Мы не погрешим против истины, если отметим, что за первые 250 лет развития теории дифференциальных уравнений большая часть исследований посвящена именно уравнениям линейным. Уже к концу прошлого века здесь были созданы весьма глубо­ кие и общие теории, пролившие свет и на другие отделы теории дифференциальных уравнений.

При этом были использованы новейшие результаты, главным образом из теории функций, из алгебры, теории групп и т. д.

Теоремы существования и их доказательства для линейных уравнений допускали иной подход, применение других или про­ ще применяемых методов. При способе мажорант здесь можно взять за мажорирующие функции более специального вида. Это обстоятельство дает возможность иногда расширить область, в которой интегралы, установленные по теореме Коши, будут заве­ домо голоморфными.

Трактовка многих вопросов для систем линейных диффе­ ренциальных уравнений удобна с методической точки зрения, когда, не нарушая общности, можно рассматривать случай двух уравнений и результаты его распространить на систему любого

конечного числа уравнений.

Для доказательства теорем существования интегралов линей­ ных уравнений применялись с различными модификациями в

245

основном те же общие методы, о которых у нас шла речь рань­ ше. В этом параграфе мы кратко остановимся на первых двух и? них, в следующих рассмотрим применение метода мажорант­ ных функций.

Одной из первых работ, где рассматривался вопрос отыска­ ния решений линейных уравнений, была диссертация [118] Каке. Здесь наблюдалось своеобразное сочетание метода ломаных и метода последовательных приближений. Основная идея Каке выражена словами: «можно искать уравнение в частных разно­ стях, совпадающее с предлагаемым, когда разности независимой переменной стремятся к нулю, затем ищут свойства этого урав­ нения, которые не зависят, большей частью, от этих разностей». Свой метод он рассматривал как новый для интегрирования линейных дифференциальных уравнений вида

= А ( X ) + Ло ( X ) у + Ах ( X ) ÉL + . . . + Ар (х) - 0 . (10.1)

В соответствии с этим рассматривалось уравнение в конеч­ ных разностях

Ö f = A(x) + A0(x)y + Al ( x ) ^ + . . . + Ap( x ) ß - . (10.2)

При этом указывается, что каждое уравнение, эквивалентное (10.2), будет иметь тот же предел, что и уравнение, эквивалент­

ное (ЮЛ), и что переменная рассматривается в форме и + ѵ]/—1, я коэффициенты Л*(х) — величины, конечные для рассматривае­ мых значений х.

Отметим, что изложение Каке довольно трудоемкое, перегру­ жено массой тождественных преобразований, которые мы опус­ тим. В результате он пришел к соотношению

иT . Д.

Обозначив, наконец, через ф0 (х) и гр (х) результаты, полученные

і=о

сать общий интеграл в виде у = Ѳ(х) + ф 0(х) + ф(х).

Следует отметить, что Каке в своей работе явно не говорит о теореме существования интеграла. Этот вопрос сливается у

246

него с методом отыскания интеграла, кстати говоря, довольно громоздким и на практике в общем случае мало приемлемым,

что видел и сам автор.

Несколько позже аналогичный вопрос рассматривался в ра­ ботах Фукса [153.4], Оливера [225], в статьях А. Старкова [70.

1. - 2].

Основываясь на работах Коши и применив своеобразный ите­ рационный процесс, Старков предложил свой способ интегриро­ вания обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вида

доказав вместе с тем существование их интегралов. Уравнение (10.3) приводилось к системе п совместных уравнений

коэффициенты которых находились последовательным интегри­ рованием соответствующих линейных дифференциальных урав­ нений порядка п—1 и ниже. Тогда общий интеграл уравнения (10.3) представлялся в форме суммы

Ф = С,/, (х) + C2f2(x) + . . . + CJn{x),

где функции находились последовательным интегрированием функций Q(x) в определенном порядке. Сходимость рядов тако­ го вида установлена для тех значений х, для которых существу­ ют и ограничены функции Qk■ Практическое применение этого метода имело смысл лишь для уравнений второго порядка, ког­ да функция Q могла быть определена простой квадратурой. Первая статья Старкова вызвала две полемические заметки проф. Е. Ф. Сабинина [61.1.—2], где последний пытался пока­ зать прямую связь работы Старкова с известным мемуаром Коши [122.8], а также отметил некоторые неточности в изложе­ нии Старкова. В ответ на это Старков [70.2] отклонил многие замечания Сабинина как недостаточно обоснованные и в свою очередь указал на ряд промахов в заметках Сабинина.

Четкая постановка теоремы существования решений для ли­ нейных дифференциальных уравнений и доказательство ее мето­ дом последовательных приближенных была предложена Пеано в 1887 г. Он рассмотрел вопрос (в области действительного переменного) для системы однородных уравнений и изящно доказал сходимость рядов, выражающих их интегралы во всем интервале непрерывности коэффициентов и единственность ре­ шений при заданных начальных условиях. Полученный резуль­ тат распространен также и на случай неоднородных систем.

Несколько позже, в 1894 г., уже в процессе доработки метода последовательных приближений Пикар применил его специаль-

247

ио и к доказательству существования интегралов линейных уравнений. Для уравнения вида (10.3) он повторил результат Пеано, а также доказал еще теорему о том, что если коэффици­ енты Рі (х ) зависят от произвольного параметра k, являясь целы­ ми его функциями, когда х меняется от 0 до а, т. е. голоморф­ ными во всей плоскости комплексного переменного k, то любой интеграл уравнения для тех же значений х есть функция, целая от к. Доказательство следует из равномерной сходимости ряда, представляющего интеграл внутри некоторого круга С (по пере­ менному к), и использования формулы Коши, выражающей зна­ чение функции в области через ее значения на границе области.

Пикар не отметил здесь упоминаемой выше работы Пеано, и в связи, очевидно, с этим, последний позже (1897) в статье [232.4] отстаивал свой приоритет применения метода последо­ вательных приближений к доказательству существования инте­ гралов дифференциальных уравнений.

В дальнейшем различные варианты доказательства теоремы существования интегралов линейных уравнений и другие свя­ занные с этим вопросы (для действительной области) были рас­ смотрены в статьях Гуцмера, Шлезингера, Полякова, Хилла, Пиконе, Бохера и других авторов.

§ 2. Теорема Фукса

Первая работа Фукса по аналитической теории линейных дифференциальных уравнений опубликована в годичном отчете ремесленного училища Берлина в январе 1865 г.

В следующем году после небольших изменений и дополнений она появилась в журнале Крелля (т. 66) и стала основой огром­ ного цикла работ как самого Фукса, так и его учеников и последо­ вателей. Эти работы составили одно из мощных направлений анализа прошлого века. Задавшись целью, под влиянием работ Врио и Буке, построить общую аналитическую теорию линейных дифференциальных уравнений, Фукс, естественно, прежде всего обратил внимание на доказательство теоремы существования интегралов таких уравнений. Он сначала отметил, что «главная задача в теории дифференциальных уравнений состоит не в при­ ведении их к квадратурам, а гораздо важнее — в исследовании изменения их интегралов для всех точек плоскости, то есть для всех значений переменных, полученных из самого дифференци­ ального уравнения» [153.1, 121].

Непосредственным толчком к занятиям Фукса данным кру­ гом вопросов было изучение сочинений Римана и, в частности, его работы о гипергеометрическом ряде. Этим занятиям способ­ ствовали, как указал сам Фукс, и лекции Вейерштрасса об абе­ левых функциях, читанные им летом 1863 г. Изложенные там идеи послужили фундаментом теории линейных дифференциаль­ ных уравнений и оказали существенное влияние на способ, как

248

говорит Фукс, «абстрактного установления интеграла линейного дифференциального уравнения», т. е. на метод доказательства теоремы существования.

Фукс рассматривает уравнение

где pi — функции от x, имеющие лишь конечное число точек раз­ рыва внутри простой (односвязной — В. Д.) замкнутой области Т, однозначны и непрерывны в Т. Около точки х0 описывается окружность радиусом, равным расстоянию до ближайшей осо­

бой точки. Область круга называется здесь окрестностью точ­ ки х0.

Если точка х0 — не особая, то внутри Т существует такая ее окрестность, в которой функция у — решение уравнения (10.5) — будет конечной, однозначной, непрерывной и удовлетворяющей заданным начальным условиям при х = х 0. Для доказательства обозначается: тах\рі\=Мі (в окрестности х0), щ — ближайшая

к х0— особая точка, \а.і—х0\ =г и ------ 1------- = фі; і= 1, ..., т. То1_х хо

гда для каждого целого k , следуя методу мажорантных функций,

где [/ (х)]0 = [/ (х)]ж=Х((. Затем все производные функций у, удовлет­ воряющих уравнению (10.5), приводятся к виду

где величины А получаются из величин р и их производных опе­ рациями сложения и умножения. Далее строится уравнение

все производные интеграла которого могут быть представлены в форме, подобной (10.7)

вместо функций р и их производных подставлены соответствен­ но функции ф и их производные.

Отсюда следует Ви (х0) > \ Акі{х0) |, і=\, 2,..., т. Если найти решение уравнения (10.8) в виде функции и, однозначной, непре­ рывной, конечной в окрестности х0 и удовлетворяющей началь­

249