книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

рии трудностей автор предположил, что при изучении особенно­ стей этого уравнения его можно свести к простому и уже изу­ ченному Врио и Буке виду (5.6).

Опираясь на некоторые допущения «для большинства слу­ чаев», он полагает возможным обсудить уравнение (8,5) и воз­

вратиться к начальному уравнению, т. е. к ~ ~ =р(у). Здесь

встречаются большие трудности при установлении, является ли функция у, определенная данным уравнением, однозначной от ж. Имеется и ряд других затруднений, которые нелегко устра­ нить, и Пикар ограничивается изучением интегралов уравнения (8.3), которые он называет однозначными по виду

Рассматривая специально случай уравнения

где функция R — рациональна по у и у', Пикар получил лишь достаточные условия, чтобы интеграл у(х) не имел ни критиче­ ских алгебраических, ни критических трансцендентных точек не­ которого частного вида. Он рассматривает также уравнение бо­ лее общего вида

где f — полином по у, у/, у", в предположении неподвижности критических точек общего интеграла, стремясь к обобщению из­ вестной проблемы Фукса и Пуанкаре, поставленной для уравне­ ний первого порядка. Здесь играло важную роль некоторое би­ однозначное преобразование, поэтому сначала рассматривался случай, когда оно будет бирациональным.

В дальнейшем Пикар опубликовал еще несколько статей, где возвращался к уточнениям и дополнениям рассмотренного вы­ ше круга вопросов, но не смог получить существенно интересных результатов. Его же верные заключения относительно простей­ ших видов уравнений вели к известным уже результатам. Видно было, что применяемые им основные методы, весьма эффектив­ ные для уравнений первого порядка, не были такими в новой области, хотя он и получил ряд интересных заключений. Отно­ сительно работ Пикара по этому циклу несколько позднее Пенлеве справедливо отмечал [228.23], что усилия знаменитого гео­ метра, как и усилия всех тех, кто шел, следуя за ним, сталкива­ лись с трудностями, которые не представлялись в случае (урав­ нений — В. Д.) первого порядка: могут существовать существен­ но особые подвижные точки интегралов. Таким образом, распро­ странение условий Фукса на второй порядок могло привести к уравнениям, обладающим критическими подвижными трансцен­ дентными точками.

1 Нестрогость некоторых положений Пикара в этой части работы позже была отмечена Пенлеве [228. 23, 9].

200

Работы Пикара вызвали ряд последующих исследований других авторов. Среди них назовем прежде всего Валленберга. В первой части большой статьи [272.4] он исследовал на пред­ мет однозначности интеграла однородное дифференциальное уравнение вида (8.3) в том случае, когда подстановка w = y ' \ y вела к уравнению первого порядка вида g(w, w')= 0 без особых неподвижных точек на конечном расстоянии. Тогда подвижные особые точки уравнения (8.3) ищутся среди полюсов функции W. А условие того, что они не будут представлять существенно особые точки интеграла уравнения (8.3), состоит в том, что в

разложении

показатель высшей степени w, если он больше единицы, должен быть больше или равен. 2. Условия же (необходимые и достаточ­ ные) отсутствия в интеграле уравнения (8.3) точек разветвле­ ния, т. е. его однозначности, получаются полностью из указан­ ных выше результатов исследований Врио и Буке относительно уравнения g(w', w)= 0. Найденный метод во второй части при­ менен к исследованию того же вопроса относительно дифферен­ циального уравнения (8.7), где f — однородный многочлен т-го измерения по у, у', у", с коэффициентами — аналитическими

функциями по X .

В следующей статье Валленберг установил, что общий инте­ грал уравнения (8.2) может быть однозначной функцией только в том случае, когда функция F будет линейной по второй про­ изводной. Затем несколько иным путем он подошел к уже изве­ стным результатам Пикара о жанре уравнения (8.2) и т. д., и дополнил их, а также выписал четыре основный типа биноми­ альных уравнений второго порядка с однозначными частными интегралами. Полученные результаты продвигали решение во­ проса вперед, но все же в несложных и весьма частных случаях.

Исходя из исследований Пикара, была установлена также

в работах Франсена [149] и Миттаг-Леффлера [218.3]. Получен­ ные в результате интегрирования функции есть известные одно­ значные. Отметим, что поводом к вышеуказанным работам Мит­ таг-Леффлера и Франсена послужило письмо Пикара МиттагЛеффлеру в мае 1893 г. Автор подчеркивал здесь глубокое раз­ личие в подходе к изучению некоторых проблем относительно уравнений первого порядка и более высокого. Это отличие со­ стоит прежде всего в том, что в уравнениях первого порядка (целых, алгебраических) существенно особые точки интегра­ лов — неподвижны. Но эта теорема не распространяется на уравнения высшего порядка, и для алгебраического дифферен­ циального уравнения (8.7) существенно особые точки будут в общем подвижны, что Пикар показывает на примере. Если для

201

уравнений первого порядка были из­ вестны условия неподвижности крити­ ческих алгебраических точек, то сов­ сем иначе обстояло дело с уравнения­ ми высшего порядка. В этом случае можно еще было легко узнать, что произвольная точка не может быть критической алгебраической для инте­ грала, но из этого не следовало с не­ обходимостью, что общий интеграл будет иметь неподвижные критические точки, так как он мог иметь подвиж­ ные существенные особенности. Пикар высказал здесь также предположение, что необходимые и достаточные усло­ вия для реальной однозначности обще­ го интеграла (в отличие от введенного им понятия «общего интеграла по

виду») будут в общем иметь трансцендентную природу. Свои работы в этом отношении он не считал особенно ободрительными и писал, что «мало вероятно, что уравнения высшего порядка с критическими неподвижными точками могут повести к изучению новых трансцендентных, расширяя в этом смысле линейные урав­ нения» [235. 13, 300].

но от тождественного нуля). Чтобы установить «однозначность по виду» общего интеграла уравнения (8.9), Пикар искал усло­ вия того, чтобы интеграл у(х) обладал подвижными полюса­ ми, используя, как он сам указал, идею С. В. Ковалевской, по­ ложенную ею в основу исследований интегралов движения твер­

(1889 г.), непосредственно для нашей теории. Отметим, что ин­ тегрирование дифференциальных уравнений, интегралы которых имеют в конечной части плоскости из особых точек только по­ движные полюсы, вполне возможно при некоторых условиях [16.4, гл. II]. Поэтому особый интерес представляли те случаи, когда интегралы уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки имели вышеуказанный характер. При

202

этом можно было получить решение задачи, которая распада­ лась на две части: а) установление тех случаев, когда интегра­ лы уравнений движения имеют подвижные полюсы; б) дать до­ казательство, что в таких случаях интегралы не имеют других особых точек, кроме подвижных (некритических) полюсов при любом конечном t, т. е. во все время движения. Обе задачи С. В. Ковалевская решила. Достаточность найденных ею усло­ вий была очевидна из того, что полученные уравнения удалось проинтегрировать и их интегралы в действительности оказались без подвижных критических точек. Указанные исследования С. В. Ковалевской являются классическим примером примене­ ния методов аналитической теории дифференциальных уравне­ ний к решению задач механики. При этом она быстро и творче­ ски использовала самые глубокие идеи относительно однознач­ ности интегралов уравнений общего вида, которые в те годы только стали разрабатываться. А полученный ею результат был использован для решения тогда еще чисто теоретического во­ проса. В дополнение к известным Ковалевская нашла еще один случай однозначных интегралов изучаемой задачи. В связи с неполнотой метода Ковалевской, предполагавшего в интегралах существование полюсов (а возможны были случаи, когда инте­ гралы, не имея полюсов, могли обладать, например, существен­ но особыми точками или на конечной части комплексной плос­ кости вообще не иметь особых точек), для решения ее задачи был предложен так называемый метод уравнений в вариациях

В то же время (конец XIX в.), несмотря на ряд неудач, Пи­ кар предпринимал весьма энергичные попытки выделить класс уравнения второго порядка с неподвижными критическими точ­ ками в серии работ о новых трансцендентных. Но, несмотря на многочисленные, глубокие исследования, с весьма остроумными приемами, решение общего вопроса оставалось открытым, и его положение было уточнено Пикаром в следующих словах: от­ дельные уравнения, о которых можно было утверждать, что их критические точки были неподвижны, были уравнения интегри­ руемые, и эта интегрируемость также указывала с очевидностью на неподвижность критических точек [228.23, 111].

Однако в феврале 1893 г. появилась весьма важная заметка Пенлеве [228.8], открывшая новую главу в исследованиях одно­ значности интегралов дифференциальных уравнений второго порядка. Здесь он различал особые неалгебраические точки: трансцендентные и существенно особые. При рассмотрении урав­ нения

203

где F — алгебраическая функция по всем переменным, отмеча­ лось, что можно доказать, и этот факт весьма неожиданный, что для уравнения вида (8.10), взятого случайно, не существует су­ щественно особых точек. В дальнейшем уравнения этого вида Пенлеве разделил на два класса — общий и особый. К послед­ нему он относил те уравнения, в интегралах которых могли при­ сутствовать подвижные существенно особые точки. Для выяв­ ления их важное значение имела теорема (А), сообщенная в этой заметке. Ее условия были уточнены в сообщении [228.9J, где рассматривалось то же уравнение (8.10). Здесь автор писал: «Условия того, чтобы уравнение принадлежало к особому клас­ су, следующие: 1. величины у" есть бесконечные или перестав­ ляющиеся при любом у', для величин х, у, удовлетворяющих соотношение S,(x, г/) = 0, куда входит г/; 2. уравнение (8.10), где X рассматривается как функция, допускает при любом х0 инте­ грал х^хо- Наконец, пусть х, у — пара величин, которые обра­ щают в нуль Si (или пусть у'=°°), тогда невозможно заменой переменных у і= <р(х, у, у'), алгебраической в окрестности рас­ сматриваемых величин, выразить уравнение регулярно в соот­ ветствующей области».

Возвращаясь к [228.8], отметим, что уравнение (8.10) мож­ но заменить системой

yz производится наиболее общее томографическое преобразова­ ние с двумя переменными, из теоремы (А) получалась теорема (A') о том, при каких условиях интегралы у(х), z{x) уравнений (8.11) представляли бы существенно особые подвижные точки.

Из этих теорем вытекало важное заключение о том, что ни в каком случае интеграл у(х), однозначный или с п значениями внутри некоторой области, не представлял в этой области осо­ бой линии. Но, как следовало из дальнейших исследований Фа­ ту, Зоретти, а позже В. В. Голубева, вопрос оказался значитель­ но сложнее, чем можно было ожидать в 90-е годы XIX века, и доказательство Пенлеве, как отметил В. В. Голубев [16.5, 136Jг не было корректным. Условия I и II теоремы (А) или (A') явля­ ются достаточными для существования подвижных существенно особых точек. Однако Пенлеве указывает, что иногда эти усло­ вия являются также и необходимыми, а именно тогда, когда они выполняются оба, по его выражению, intrinsèquement, т. е. внутренним образом.

Таким образом, те уравнения (8.10), которые удовлетворяют внутренним образом условиям I и II, принадлежат особому классу.

Если предположить, что интеграл принимает конечное число значений около подвижных критических точек, то, в случае при­

204

уравнению третьего порядка. Если же уравнение (8.10) принад­ лежит особому классу, то его интеграл у(х) может не иметь по­ движных существенно особых точек, но является в каждом слу­ чае трансцендентной функцией констант у0, уо'- Говоря о приме­ нимости этого метода к уравнениям более высокого порядка, Пенлеве здесь же замечает, что интегралы уравнений третьего порядка могут быть однозначными и представлять особые по­ движные линии. В таком случае интеграл необходимо неопределен в окрестности этих линий.

Вслед за сообщением Пенлеве появилась заметка Пикара [235.12], где он указал на большое значение работы Пенлеве, отметив, что в упоминавшемся ранее письме к Миттаг-Леффле- ру он также различал точки трансцендентные и существенно особые. «Не углубляя вопроса — писал он дальше,— я предпо­ лагал, что алгебраические дифференциальные уравнения второ­ го порядка имеют в общем существенно особые подвижные точ­ ки: это предположение не было верным. Как видно из статьи Пенлеве, имеется единственно особый класс уравнений, которые могут иметь подвижные существенные особенности. Действи­ тельно, этот класс содержит все уравнения, которые были объек­ том моих исследований, то есть уравнения, интегралы которых, согласно моей терминологии, являются по виду однозначными и те, которые были по виду уравнениями с критическими непо­ движными точками. Я надеюсь, что полезные исследования Пен­ леве внесут скоро некоторую ясность на особый класс уравне­ ний, столь важных для определения новых трансцендентных».

Как увидим далее, эта надежда Пикара сбылась в скором вре­ мени.

§ 2. Уравнения с неподвижными критическими точками. Метод исследования Пенлеве

Активная научная деятельность Пенлеве началась в 1887 г. публикацией докторской диссертации и получением весьма су­ щественных результатов по уравнениям первого порядка. В те­ чение ближайших пяти лет им была в основном построена теория уравнений первого порядка, о чем шла речь в предыду­ щих главах. После нескольких заметок относительно уравнений высшего (второго) порядка с интегралами, обладающими конеч­ ным числом ветвей, он продолжил разработку теории уравнений второго порядка с однозначными интегралами, которая в основ­ ных чертах была создана в 1893—1895 гг. В последующие 10— 12 лет (а из них особенно в первое пятилетие) шла доработка, уточнение и весьма существенное дополнение ранее полученных

205

результатов, пропаганда их среди учеников, наконец, создание первой научной школы по нелинейной аналитической теории дифференциальных уравнений в начале нашего века.

Занимаясь еще уравнениями первого порядка, Пенлеве уде­ лил серьезное внимание рассмотрению интегралов как функций произвольных констант или начальных условий. Этому вопросу были затем посвящены третья и шестая лекция его курса [228. 11]. Большое значение в теории уравнений второго порядка имел характер зависимости их общих интегралов от произвольных констант. Более того, он непосредственно определял принадлеж­

классу особому. Но в зависимости от того, как уточняет Пенле­ ве в [228.9, 568], что существенно особые точки будут фиксиро­ ваны или подвижны, произвольные константы у0, у0' входят в интеграл у двумя различными способами. Они различаются по тому, можно или нет заменить их двумя константами а, ß таким

функция единственной константы интегрирования. Если это так, то уравнение (8.10) приводится к уравнению первого порядка, алгебраическому по у, у’ и коэффициенты которого есть функ­ ции от X , зависящие от уравнения Риккати. Отсюда следует уточ­ нение важнейшего положения о том, что если интеграл уравне­ ния (8.10) будет представлять новую трансцендентную, то не­ обходимо (но недостаточно), чтобы он содержал две константы некоторым трансцендентным способом. Этим самым, с одной стороны, был установлен существенный признак, при выполне­ нии которого можно было ожидать новых открытий, а с дру­ гой — вскрывался внутренний механизм довольно сложной за­ висимости констант, присущей лишь уравнениям второго поряд­ ка. Открытие этого нового качества — одна из больших науч­ ных удач Пенлеве.

Установленная таким образом классификация уравнений вида (8.10) легла в основу построения курса [228.11]. Многие положения формулировались здесь для уравнений общего клас­ са Е„. Но автор показал, что для этих уравнений случай некото­ рого п приводится к случаю п = 1. Иначе говоря, любое уравне­ ние, интеграл которого есть алгебраическая функция двух кон­ стант, приводится алгебраически к уравнению, интеграл кото­

206

рационально константы уо, Уо', Уо", связанные соотношением

Мы рассмотрим, как накоплялся этот материал в историче­ ском аспекте. После фундаментального исследования, показав­ шего наличие двух названных классов, открылась, естественно, возможность приступить к более подробному изучению сначала общего, а затем особого из них. Но Пенлеве пошел иным пу­ тем — конкретного исследования более простых видов уравне­ ний. Он рассмотрел сначала уравнение вида

где R — рационально по у', алгебраично по у и не зависит явно от X, т. е. уравнение, подобное (8.6), изученному ранее Пикаром, и решил вопрос, когда это уравнение обладает однозначным ин­ тегралом. Примененный им метод позволял образовать все урав­ нения такого вида с указанным свойством. Пенлеве изучил так­

записав его в форме y"=R\{y', У, Е, х), ср(у, У, х)=0, где R\ рациональная дробь по у', у, У; Ф — полином по у, У, а У выра­ жается рационально через у, у', у". Если при этих условиях кри­ тические точки интеграла уравнения (8.14) неподвижны, жанр Ф = 0 не может превзойти единицу. Но если х не входит явно в (8.14), то получается, что у и У будут однозначными по х. Отсю­ да следует, что алгебраическое преобразование позволит изу­ чать единственно уравнения вида

где А, В, С — рациональные функции либо от одного у, либо от

у и от У(1—у2) (1—В2у2) = у в ( у ) . Можно показать, что если коэффициенты В, С являются нулями в исходном уравнении, то они также будут нулями и в преобразованном.

Если уравнение (8.13) считать эквивалентным уравнению первого порядка между у и у', где у' рассматривается как функ­ ция от у, то можно установить необходимые условия, чтобы у(х) был однозначным. Применяя эти условия к уравнению у"=Ау'2, автор приводит его к нескольким конкретным видам с однознач­ ными интегралами. Эти результаты другим путем уже были по­ лучены Пикаром [235.9].

При переходе к уравнению у"=Ау'2 + Ву' сначала отмечает­ ся, что А должно удовлетворять условиям предыдущего случая, и выписываются, как и для случая у"—Ау'2 + С, конкретные ви­ ды уравнений с однозначными интегралами. Все они интегриро­ вались в квадратурах либо приводились к уравнению Риккати с периодическими коэффициентами.

207

В это же время был рассмотрен и вопрос об общем интеграле

.алгебраического дифференциального уравнения

принимающем данное число п значений около критической по­ движной точки и зависящем алгебраически от констант уо, уо'.

Далее были установлены отдельные виды уравнения (8.16),

•обладающие интегралами с неподвижными критическими точ­ ками. При этом получен пример уравнения (66), которое не могло быть приведено каким-либо способом к комбинации урав­ нений первого порядка.

Исследования Пенлеве по уравнениям первого и второго по­ рядков в скором времени были отработаны в методическом от­ ношении, дополнены в ряде пунктов и положены в основу его курса лекций [228.11] в 1895 г., изданного несколько позже литографированным способом. Именно здесь появились впер­ вые многие новые его результаты, а также нашли уточнение уже

известные.

Из уравнений второго порядка сначала изучались те, кото­ рые принадлежали к общему классу, т. е. интегралы которых алгебраически зависят от констант. Используя важнейшие ре­ зультаты Пикара в его известных исследованиях об алгебраиче­ ских функциях двух переменных, особенно теоремы о бирациональных преобразованиях, которые мы упоминали, и собствен­ ные дополнения, Пенлеве удалось выяснить природу интеграла во всяком случае, когда он зависит алгебраически от постоян­ ных. При этом установлено, что всякое уравнение Е„ общего класса или эквивалентно комбинации двух уравнений первого порядка с неподвижными критическими точками, или приводит­ ся алгебраически либо к линейному уравнению, либо к гиперэл­ липтической системе

vWw+vfW =h(x)äx'’ v W +v m =k(i,dx’

R = a0 + ayy + агу%+ a3ys -f a4yl + аъуь.

Для получения этих результатов Пенлеве пришлось сделать значительное отступление от темы, посвятив несколько лекций теории поверхностей, допускающих непрерывную конечную груп­ пу бирациональных преобразований. При этом значительное место уделено изучению однозначных функций, определенных обращением двух полных алгебраических дифференциалов. Из­ вестная теорема Вейерштрасса о функциях многих переменных, обладающих теоремой сложения, была строго доказана в 16 лек­ ции (стр. 345—348). Благодаря этому можно было более ясно представить природу поверхностей S, допускающих конечную непрерывную группу бирациональных преобразований в себя. 'Этот вопрос раньше был предметом исследований Пикара и Пу­

208

анкаре. В случае справедливости тео­ ремы Вейерштрасса эти поверхности были гиперэллиптическими или их вырождениями. Но доказательство этой теоремы Вейерштрасса, как сви­ детельствует Пенлеве, не было опуб­ ликовано, а первое строгое ее доказа­ тельство Пикаром и Пуанкаре не обла­ дало достаточной полнотой. Этот пробел восполнен Пенлеве.

Особенности дифференциальных уравнений с неподвижными критиче­ скими точками изучены в 19-й лекции. Лекция 20 посвящена рассмотрению уравнений второго порядка с фиксиро­ ванными критическими точками, инте­ гралы которых зависят алгебраически от одной из констант. Здесь, таким

образом, изучались уравнения некоторой части особого класса, интегралы которых назывались функциями полутрансцендент­ ными. В другом случае имелась просто трансцендентная функ­ ция двух констант. В первом случае уравнение Е„ было эквива­ лентно комбинации двух уравнений первого порядка с неподвиж­ ной критической точкой.

Итак, неприводимыми к уравнениям первого порядка будут те уравнения Е„ особого класса, интегралы которых содержат две постоянные в трансцендентной форме, выбранные некото­ рым образом. Изучению этого класса уравнений с фиксирован­ ными критическими точками посвящалась лекция 21. Здесь прежде всего уточняется смысл понятия неприводимости. Как известно, вопросы приведения дифференциальных уравнений в конце XIX века были объектом многочисленных работ С. Ли, Кенигсбергера, Пикара, Вессиота, Драша. Согласно общей точ­ ке зрения участвующие в уравнениях переменные рассматрива­ лись симметрически, а система имелась в виду приводимой, если интегрирование приводилось к последовательной и совместной интеграции более простых систем, скомбинированных некоторым образом.

Пенлеве исходил из иной точки зрения, считая независи­ мую переменную данной. Входящие при этом в систему пере­ менные уже не играли симметрической роли и одна из них или некоторые из них были переменными независимыми, а осталь­ ные — функциями. Подчинив независимую переменную условию оставаться все той же, Пенлеве ввел более узкое определение неприводимости по сравнению с общепринятым в других иссле­ дованиях, но, как говорил он, здесь импонирующее. Так, рас­