книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

точку. Не останавливаясь на способе выражения коэффициентов ряда через исходное уравнение и способе аналитического про­ должения функции, приведем основные результаты более инте­ ресной второй части, где рассматривались разложения в окрест­ ности точек, соответствующих кратным корням уравнения (4.1). Пусть в точке 2= а имеем «i = «2= ... ир= Ь, тогда при z — a, и = = Ь функция /(и, 2) и ее первые р—1 производные обратятся в

Около точки а описывается окружность бесконечно малого ра­ диуса а. Тогда среди корней уравнения (4.1) можно искать р таких, которые внутри этой окружности будут принимать беско­ нечно малые значения ß. Пюизё начинает исследование с общего

и Ва будут низшего порядка, чем все остальные. Тогда р иско­ мых значений ß приблизительно определятся уравнением А$р +

обхода подвижной точки z вдоль контура CLMC (рис. 3) ßi пе­ рейдет в Рг и т. д. и после р-го обхода ßP перейдет в ßi, так что конец предыдущей величины совпадает с началом последующей. Уточнив некоторые положения, автор приходит к выводу, что,

функции «1, «г, •••, Ир, которые становятся равными b в точке А, могут быть упорядочены вдоль круга таким способом, что при движении 2 вдоль бесконечно малого круга, описанного около

100

точки А, конечная величина каждой из них будет равна началь­ ной величине последующей», т. е. «эти функции образуют около точки А циркулирующую (циклическую— В. Д.) систему, со­ ставленную из р членов» [240.1, 389]. Далее уточняется, что после движения точки z вдоль того же контура в прямом отсчете k раз после корня щ получим корень щ+и и т. д. Определение этих подстановок Коши считал в работе Пюизё особенно важным.

z = а, и = Ь обращается в нуль, Пюизё применяет для доказатель­ ства сходимости построенного им ряда в окрестности критиче­ ской точки хорошо известную идею паралеллограмма Ньютона без ссылки на предшественников (Ньютон, де Гуа, Стирлинг, Крамер и др.), развивавших эту идею. Это привело к тому, что некоторые авторы метод многоугольника Ньютона 1 позже стали называть методом Пюизё (Врио, Врио и Буке [112, 10] и др.) 2.

Итак, в результате довольно остроумного исследования Пюи­ зё установил, что различные функции ии «2, ... ип, удовлетворя­ ющие уравнению (4.1), могут быть всегда разделены на некото­ рое число циркулирующих систем относительно точки А. При движении по кругу переменной точки z около А различные зна­ чения и внутри системы в определенном порядке могут перехо­ дить одно в другое, не выходя из одной системы в другую. Далее автор разрабатывает представление функций ии и2, ..., ир в виде сходящихся рядов по дрсбным степеням z—а (когда точка z остается внутри круга, описанного около точки А, с радиусом,

Далее автор рассматривает построение так называемых элемен­ тарных кривых (рис. 4) CDNPDC, обладающих тем свойством, что функции одинаково изменяются, если подвижная точка про-

1 Значение и роль многоугольника Ньютона в развитии математики осно­ вательно разобраны в статье Н.Г. Чеботарева [84].

2 См. об этом в разделе «Ньютон или Пюизё?» Заметки Д. А. Граве [18.3].

101

но получающихся из уравнения f(u, с )—О их начальных значе­ ний bь Ь2, ..., Ьт в точке С. Нетрудно в понятии характеристиче­ ских кривых усмотреть некоторый пробраз разрезов, введенных

позже Риманом.

Полученные результаты Пюизё затем легко обобщает на случай любой целой функции, когда уравнение имеет вид

Nvm + Pvm~l+ ... +Sv + T = 0, где N, Р , ..., S, Т — полиномы по z.

Оно приводится к предыдущему подстановкой ѵ— ~щ[у Разло­

жение V в ряд следует по целым или дробным возрастающим положительным степеням z—а (с конечным числом слагаемых с

отрицательными степенями).

Третья часть работы посвящалась исследованию интегралов от алгебраических функций. Пюизё прежде всего ввел понятие элементарных интегралов, т. е. Ju^dz, вычисляемых по кривой CLMC в случае рис. 3. Он подробно разобрал их интересные свойства, многие из которых перешли потом в учебники. Усовер­ шенствовав общую теорию криволинейных интегралов алгебра­ ических функций и их разложений на элементарные интегралы, Пюизё посвятил следующую часть мемуара определению числа разных значений, приобретаемых этими интегралами, а также вычислению их модулей периодичности. При этом было установ­ лено число линейно независимых периодов в зависимости от степени уравнения и числа особых точек.

В работе [240.2] Пюизё обобщил некоторые предыдущие ре­ зультаты относительно периодов интегралов, опираясь на очень важную, строго доказанную, как отметил Коши, теорему о том, что непрерывная алгебраическая функция, везде однозначная, есть необходимо функция рациональная. Здесь под однозначной понималась монодромная функция. Исходя из этой теоремы и ранее изложенных принципов, Пюизё решает вопрос о неприво­ димости данного уравнения с двумя переменными.

Рассмотренные сочинения Пюизё, как и работы Коши, были ■основой исследования поведения интегралов дифференциальных уравнений в области критических точек.

Творчество Римана (43) оставило глубокий след в математи­ ке и определило пути развития ряда ее отраслей на многие де­ сятилетия. Не входя в подробное рассмотрение его основных идей \ мы коснемся их лишь с точки зрения влияния на разви­ тие учения об особых точках. Его докторская диссертация [246.1] (1851 г.) легла в основу нового физико-геометрического направления в теории функций комплексного переменного. Здесь он по-новому подошел к обоснованию самого понятия аналити­ ческой функции, предложил новое обоснование теории конформ­ ных отображений и уделил много внимания геометрической тео­ рии многозначных функций.

1 См. об этом в работах [192. 11; 47, 1; 5] и др.

103

Сразу же после рассмотрения достаточных и необходимых условий того, чтобы w = u + vi была функцией z = x+yi, и изуче­ ния конформного отображения Риман переходит к построению многолистной комплексной поверхности. Такую точку а, при об­ ходе которой подвижная точка после каждого полного оборота попадает на новый лист, а после т обходов оказывается снова на начальном листе, автор называет точкой ветвления (т—1)-го порядка. Итак, над точкой а будут соединены между собой т листов поверхности Т. Если имеется п листов, то остальные п— m листов разбиваются на системы из т ь m2,... листов, причем листы каждой системы соединены между собой в точках ветвле­ ния (mi—1)-го ( т 2—1)-го порядка, совпадающих с точкой а. Поверхность Т будет определена, если задана ее граница как по положению, так и по направлению и задано положение точек ветвления. Исследование связности поверхности производится при помощи проведения на ней разрезов, соединяющих некото­ рые точки границы без самопересечений, хотя конечная точка разреза может быть и на границе. После доказательства теорем о разрезах вводится понятие «порядка связности» поверхности п—m (где п — число разрезов некоторой системы, a m — число полученных после разрезывания односвязных частей поверхно­ сти) и изучаются его свойства. Каждый разрез уменьшает или увеличивает на единицу число граничных кривых. Это число для «-связной поверхности или равно п, или на четное число мень­ ше п.

Общие вопросы концепции Римана несколько подробнее бы­ ли изложены в вводной части его статьи по теории абелевых функций [246.2]. Здесь он отметил, что функция переменной величины х+уі, заданная в некоторой части плоскости х, у мо­ жет быть непрерывно продолжена только одним способом. В за­ висимости от природы функции и независимо от направления продолжения для одних и тех же значений z она может прини­ мать одни и те же значения или нет. В первом случае функция называется однозначной (в этом случае функция w не может иметь разрыва вдоль некоторой линии), во втором — много­ значной. Чтобы установить ее поведение в этом случае, «нужно прежде всего направить внимание на некоторые точки плоскости z, при обходе которых функция принимает новые значения. На­ пример, для функции log(z—а) такой точкой будет точка а» (там же).

Различные продолжения одной и той же функции в плоскости автор называет ветвями этой функции, а точку, при обходе кото­ рой происходит замена ветви,— точкой ветвления. Там, где нет точек ветвления, функция монодромная. Она может быть пред­ ставлена рядом по целым степеням (положительным или отри­ цательным) приращений переменных, а при наличии ветвления функции в данной точке такое разложение невозможно. При этом делается важное замечание о том, что «не представляется

104

целесообразным свойства функции, не зависящие от способа ее представления, связывать с тем или иным видом формулы, по­ средством которой она может быть задана» (там же, русск. пе­ ревод, стр. 90).

Итак, на многолистной поверхности многозначная функция в любой ее точке имеет только одно определенное значение «и поэтому может быть рассматриваема как вполне определенная функция точки на этой поверхности» (там же). Отметим еще, что бесконечно удаленная точка плоскости в построениях Рима­ на вводилась наравне со всякой другой (образ ее получался при помощи конформного отображения плоскости на сферу).

Укажем еще на одну особенность концепции Римана, состоя­ щую в том, что он устранял из рассмотрения существенно осо­ бые точки и оставлял лишь полюсы, по его терминологии точки, где порядок бесконечности функции оставался конечным. И это естественно, так как, по замечанию В. Л. Гончарова, «введение существенных особенностей опорочило бы основной принцип римановых поверхностей» [17, 12].

Указав, что многосвязная поверхность с помощью системы разрезов может быть превращена в односвязную, Риман отме­ чает полезность этой операции при исследовании интегралов от алгебраических функций. Эти интегралы меняются скачкообраз­ но при переходе через какой-нибудь разрез. Числовые значения этих скачков зависят от стольких независимых переменных ве­ личин, каково число разрезов. Эти принципы нашли широкое применение в исследовании по теории абелевых функций [246.2]. Среди других важных результатов, здесь была получена фор­ мула, выражающая род р замкнутой римановой поверхности Т по известному числу листов и кратности точек ветвления, опре­ деление модулей периодичности интегралов, исследование урав­ нений данного класса и др.

Многолистные поверхности, построенные Риманом, имели более глубокое значение, чем просто геометрическая интерпре­ тация многозначных функций. Их особенности и свойства вместе с особыми точками и разрезами характеризовали в его исследо­ ваниях свойства и характер определенных аналитических функ­ ций комплексного переменного.

Теория преобразования многолистных поверхностей в одно­ листные представляла одну из возможностей униформизации многозначных функций. Она была применена Риманом для по­ строения довольно простой весьма совершенной теории абелевых функций. Позже эти идеи получили широкое развитие в рабо­ тах других математиков и применение в аналитической теории дифференциальных уравнений.

Нетрудно установить некоторое сходство предметов занятий Римана и Пюизё, воспитанников разных школ, применявших совершенно различные методы, работавших над основными сво­ ими произведениями практически одновременно и независимо

105

друг от друга и получивших вместе с тем в отдельных пунктах весьма идентичные результаты, хотя постановка проблемы в це­ лом у Римана более общая и глубокая. Кроме того, она сочета­ лась с работами, непосредственно относящимися к аналитиче­ ской теории дифференциальных уравнений, о чем речь будет во

IIчасти. Но эти обстоятельства, естественно, не снижают роли

изначения работ Пюизё, по выражению Пикара, «сделавших эпоху» [235.23, 3].

§3. Классификация особых точек и функций

вработах Вейерштрасса и Фукса

Классификация особых точек однозначных функций комп­ лексного переменного и названия их были предложены Вейер-

штрассом 1в 1876 г. [275.6].

«Для каждой функции,— говорил он,— существуют необхо­ димо особые точки, которые являются точками границы области непрерывности функции, не принадлежа самой области»2. Это следовало непосредственно из определения области непрерыв­ ности. Если ряд, представляющий данную функцию, сходился во всей плоскости, то она обладала единственной особой точкой г - o о. Любая окрестность особой точки содержит бесконечно много точек, принадлежащих области непрерывности f(z). Сле­ довательно, Вейерштрасс имел в виду изолированные особые точки. Он подразделял их на несущественно и существенно осо­ бые. Под первыми он понимал такие точки а для функции /(г), когда при умножении последней на целую степень z—а полу­ чалась функция, регулярная в окрестности а. При отсутствии такой возможности точка а считалась существенно особой. В ос­ нове классификации функций Вейерштрасс полагал число и ха­ рактер особых точек. Класс рациональных функций одного пе­ ременного (z ) Определялся им как «совокупность таких одно­ значных функций от z, для которых в области (существования — В. Д.) этих величин имеются только несущественно особые точ­ ки». При этом установлено, что если внутри некоторой области однозначная функция имеет бесконечно много несущественно особых точек, то внутри или на границе этой области существу­ ет, по крайней мере, одна существенно особая точка. Следова­ тельно, рациональные функции с необходимостью характеризу­ ются лишь конечным числом несущественно особых точек. Эти же идеи могут дать намек, указывал Вейерштрасс, и для иссле­ дования и классификации трансцендентных однозначных функ­ ций одного аргумента, т. е. в соответствии с числом обладаемых

1 Эти названия были предложены Вейерштрассом значительно раньше на его лекциях. В литературе они стали известны через работы его учеников. Фукс упоминал об этом в 1868 г. (153. 2, 378].

2 В работе [5, 178] это положение изложено ошибочно в связи с неточно­ стью перевода.

106

ими существенно особых точек. Из них ближайшими к рацио­ нальным будут те, которые имеют конечное число существенно особых точек. Функции, имеющие данное число таких точек, принадлежат к одному виду.

Любая однозначная функция без существенно особой точки может быть представлена как отношение двух целых рациональ­ ных функций от Z. Отсюда встает очень важный вопрос о воз­ можности составления арифметического выражения из перемен­ ной г и неопределенных констант, представляющего все одно­ значные функции определенного класса с конечным числом существенно особых точек (и только этого класса). Решение этого вопроса и составляло основной предмет указанного сочи­ нения Вейерштрасса. Общее разложение произвольной целой функции было дано в форме произведения

л -1

где g(z) — некоторая целая функция. В этом случае данное бес­ конечное произведение будет абсолютно сходящимся для всех конечных значений z. Понятием целой трансцендентной функции Вейерштрасе пользовался и раньше. Формулой (4.5) подчерки­ валась, следуя Эйлеру, аналогия между многочленами и целы­ ми трансцендентными функциями как своего рода «многочлена­ ми бесконечно высокой степени» [47.1, 74]. Вейерштрасе пред­ ложил ряд формул для выражения конкретных видов известных однозначных функций. Он ввел также понятие примфункции как такой однозначной функции, которая имеет только одну (существенно или несущественно) особую точку и один или ни одного нуля. Через эту функцию арифметическими операциями легко выражалась любая однозначная функция с одной особой точкой и более сложные (с конечным числом существенно осо­ бых точек). Последний параграф статьи [275.6] Вейерштрасе посвятил исследованию поведения рассматриваемых функций в окрестности их существенно особых точек. Здесь была доказана известная теорема о том, что при как угодно малом изменении z в бесконечно малой окрестности точки С функция f(z) изменя­ ется прерывно таким образом, что может приближаться как угодно близко к любой произвольно заданной величине и, сле­ довательно, не обладает для z = c определенным значением. Этот же вопрос исследовался в 1868 г. в магистерской диссертации [69.17] Ю. В. СохоцкогоСущественно особую точку z0 он на­ зывал такой точкой функции f(z), что f(z0) обращалось в бес-1

1 Как отметил А. И. Маркугаевич [47. 1, 79], эту же теорему одновременно с Сохоцким получил итальянский математик Казорати.

107

конечность бесконечного порядка. Позже (1879) теорема Сохоц- кого—Вейерштрасса была уточнена Пикаром [235.2, 663].

Обобщение понятия особых точек на функции многих пере­ менных было дано Вейерштрассом в 1880 г. [275.7, 128]. Более подробно поведение функций многих переменных в окрестности особых точек изучено в [275.8, 157 и след.].

Автор первого учебника по теории аналитических функций [99.2, 174] Отто Бирман, следовавший идеям Вейерштрасса, особые точки однозначных функций определял как такие, в ко­ торых терялись свойства, присущие области непрерывности, т. е. конечность, непрерывность и однозначность.

Классификацию особых точек для однозначных функций комплексного переменного, введенную Вейерштрассом, Фукс считал недостаточной для функций многозначных, являющихся частыми объектами аналитической теории дифференциальных уравнений. Поэтому он предложил в [153.13] собственную клас­ сификацию, имея в виду охватить ею все известные тогда про­ стые и сложные особые точки многозначных функций. «Точку а, в которой функция может принять ряд значений, зависимый от одного из последних элементов пути», Фукс назвал точкой не­ определенности. Это основное понятие. Им автор хотел подчерк­ нуть природу точки, в которой функция не получает определен­ ного значения. Оно зависит от пути, по которому к данной точке подходит аргумент, и для случая однозначной функции совпа­ дает, очевидно, с существенно особой точкой.

Точка неопределенности в то же время может быть (или не быть) и точкой разветвления. Причем разветвление в такой точ­ ке подразделяется на два вида. Если а — точка неопределенно­ сти, то может быть, что в довольно малой, но конечной окрест­ ности а не содержится другой точки разветвления. Такое раз­ ветвление называется определенным. Например, для функции (г—a)%(p(z), где ср(г) — однозначна в окрестности z=a, а в точ­ ке а неопределенна и где X— действительная величина, точка а есть точка неопределенности с определенным разветвлением.

Может быть, что в любой как угодно малой окрестности а имеется в наличии бесчисленно много точек, кроме а, в которых встречается разветвление. Тогда оно называется неопределен-

жительное целое число, z=a есть точка неопределенности, в ко­ торой одновременно наблюдается неопределенное разветвление.

Пусть е Е~“ —Ь. Тогда уравнение z ^_a = ^ + 2 kni пред­ ставит для бесконечного ряда действительных чисел k бесконеч­

ный ряд точек z, удовлетворяющих уравнению ег ~ а = Ь. Таким образом, находится бесконечно большое число отличных от а ве­

108

личин, но внутри достаточно малой области, заключающей эту точку. И в каждой из таких точек находится разветвление.

Фукс подчеркивает, что в общем случае не представляется возможным разложить функцию в степенной ряд по целым или дробным степеням z —а, который бы представлял эту функцию в некоторой окрестности точки неопределенности а с неопреде­ ленным разветвлением. Это обстоятельство встречается уже для точек неопределенности, в окрестности которых нет разветвле­

ния. Такой, например, является функция —,-------, представляе-

е ~ с— Ь

мая рядом Лорана внутри кольца, образованного двумя круга­

приближения к точке а.

Так как указанные выше особенности наблюдаются для не­ линейных дифференциальных уравнений, то Фукс предлагает в таких случаях отказываться от традиционных средств и боль­ ше прибегать при исследовании подобных особенностей к помо­ щи других вспомогательных средств, чтобы проникнуть в суть целого запаса значений, которыми обладает функция в окрест­ ности особой точки.

Таким образом, к концу 70-х и в 80-е годы прошлого века были установлены основные виды особых точек функций комп­ лексного переменного и охарактеризовано поведение функций

вих окрестности.

§4. Особые точки дифференциальных уравнений (Врио и Буке, Жуковский, Пуанкаре и др.)

Первая монография по теории функций комплексного пере­ менного, включавшая систематически и дидактически обрабо­ танные результаты Коши, Лорана, Пюизё, Эрмита, Лиувилля и других ученых до 1855 г., принадлежала Врио и Буке [112.6] (1856). В дальнейшем основное содержание этой работы было включено в их книгу [112.9] по теории эллиптических функций, оставшуюся долгое время одним из основных пособий по этому предмету. Она была переиздана с большими дополнениями в

1875 г. [112.10].

Авторы заменили здесь некоторые известные понятия (вме­ сто монодромной функции — ионотропная и т. д.) и установили ряд новых: многозначная функция — политропная; голоморф­ ная — непрерывная, ионотропная и имеющая производную, или функция, подобная целым функциям (многочленам).

Введенные ими понятия критических точек, корней или нулей функций и полюсов [112.10, 12—15] стали общеупотребительны­ ми. Полюс определялся так: «Если функция и — голоморфна в некоторой части плоскости, за исключением точки г, где она

109