книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

ностей осуществляется, как правило, не непосредственно, а че­ рез цепочку промежуточных звеньев. Так, запросы естествозна­ ния и техники ставят новые проблемы, для решения которых старые методы оказываются недостаточными. В связи с этим разрабатываются новые методы, которые вместе с тем продви­ гают и теорию.

Решение ряда проблем физики и небесной механики, как известно, тесно связано с теорией дифференциальных уравне­ ний. И для решения ряда поставленных таким образом вопро­ сов применялись методы из других отраслей, соответственно видоизмененные, а иногда и создавались новые. Например, ра­ боты С. В. Ковалевской (5) по теории движения твердого тела вокруг неподвижной точки привели к новому направлению в аналитической теории дифференциальных уравнений: к поста­ новке задачи об отыскании такого класса уравнений, интегралы которых есть однозначные функции. Независимо от нее анало­ гичная задача на чисто теоретической основе ставилась Другими

венную теорию дифференциальных уравнений, асимптотические методы, теорию устойчивости и др. В этой же степени это поло­ жение справедливо и относительно работ А. Пуанкаре по небес­ ной механике и других ученых.

Одним из важнейших источников движения науки является внутренняя логика ее развития. В этом смысле она развивается относительно самостоятельно и независимо от непосредственной практики. Так, в 60—80—90-е годы прошлого века после весьма бурного периода развития аналитической теории дифференци­ альных уравнений Риман, Пуанкаре, Пенлеве и другие ученые подошли в своих глубоких исследованиях к таким задачам, ко­ торые не поддавались изучению уже известными приемами и требовали качественно новых методов .исследования, возникших из внутренней потребности самой теории. Вышеуказанные сто­ роны процесса развития науки — общественно-производствен­ ная практика и внутренняя логика не сводятся одна к другой и не покрываются друг другом, а находятся в определенной весь­ ма тесной связи между собой, в диалектическом единстве.

Одной из ведущих сил развития рассматриваемой нами тео­ рии была борьба противоположностей внутри самой теории, ко­ торая на разных этапах проявлялась в различных формах. На первых порах это сказывалось в стремлении найти алгорифм или метод решения любого дифференциального уравнения, не­ возможность этого и привела к созданию теоремы о существо­ вании интеграла дифференциального уравнения. Несколько поз­

10

же аналогичная проблема в теории линейных уравнений стала источни­ ком знаменитой теории Фукса, а также привела к формулировке об­ щей проблемы, о чем шла речь вы­ ше, и к получению глубоких резуль­ татов в области нелинейных диффе­ ренциальных уравнений.

Противоречивость предыдущих постановок вопроса отмечал Фукс в одном из своих выступлений [153.7, 123]: «Когда давалось дифференци­ альное уравнение, то раньше делали бесплановые попытки так его пре­ образовать, чтобы оно могло быть приведено к известному типу, кото­ рый научились интегрировать в те­ чение прошлого времени. Если это не удавалось, то дифференциальное

дили в форме рядов. Эти бесплановые попытки, как сейчас это видно из положения вещей, все же могли вести к цели только в редких случаях... Кроме того, как правило, отсутствовали вспо­ могательные средства, чтобы узнать всякий раз о возможности или невозможности такого приведения. Но когда приведение к квадратурам удается, то для установления природы решения дифференциального уравнения кое-что удается узнать в редких случаях». Эту мысль автор поясняет на примере дифференци­ ального уравнения, приводящегося к квадратуре и имеющего решением эллиптические функции. Чтобы исследовать природу этих решений, говорит Фукс, «надо было сделать ни чуть не меньше, как создать теорию этих функций».

Что же касается решения дифференциальных уравнений в форме рядов, то и этот метод потерпел неудачу, так как «такие ряды, как правило, представляли функцию не для всей допус­ тимой области».

Уже после сформирования основных положений теории одно из противоречий подметил А. Н. Коркин, рассматривая его как недостаток новой теории. По этому поводу он писал: «В по­ следнее время пытаются применить к дифференциальным урав­ нениям теорию функций комплексного переменного, которая так само является результатом изучения функций алгебраических и их интегралов. Но при большой общности своих теорем эта теория имеет также существенное несовершенство, а именно, в ней отсутствуют методы вычисления неизвестных функций. Эти же вычисления есть настоящее интегрирование уравнения и окончательная цель его анализа». [31.1, 317]. Наличие указан­

П

риваемые функции и едва ли в этом смысле подходит к задаче нахождения общих интегралов, т. е. к задаче нахождения совокупностей всех возможных решений дан­ ного уравнения» [18.1, 463].

Вместе с тем математика является продуктом многовековой деятельности мышления самих математиков. В этом отношении наша теория не была исключением.

Остановимся далее на вопросе накопления фактов по тем дисциплинам, которые послужили основой аналитической тео­ рии дифференциальных уравнений.

Видную роль в предыстории теории дифференциальных урав­ нений и интегрального исчисления в целом сыграли обратные задачи, относящиеся к касательным, т. е. задачи об определении кривых, касательные к которым обладают указанным свойством. Такие задачи были уже предметом занятий Р. Декарта, И. Бар­ роу. Понятием дифференциального уравнения математики ста­ ли оперировать еще в период формирования дифференциально­ го и интегрального исчисления. Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен Лейбницем в письме к Ньютону в 1676 г. и вошел в обиход немного раньше. Многие вопросы гео­ метрии, астрономии, физики не могли быть решены непосредст­ венно действиями дифференцирования и интегрирования и тре­ бовали составления и решения некоторого уравнения, содержа­ щего аргумент, неизвестную функцию и ее производную или дифференциал. В связи с этим зарождается именно теория ре­ шения дифференциальных уравнений.

Ряд дифференциальных уравнений был проинтегрирован Ньютоном в «Математических началах натуральной философии» (1686). Ему же принадлежит общий метод получения интегра­ лов уравнений в форме степенного ряда. При этом использова­ лась идея способа неопределенных коэффициентов и последова­ тельных приближений. Он имел четкое представление о том, что

12

для одного и того же дифференциального уравнения можно получить бесконечное множество решений, но запись общего решения с произвольной постоянной, осо­ знавая ее важность, осуществил Иоганн Бернулли.

Лейбниц умел решать дифференци­ альные уравнения с разделенными пере­ менными, а в 1693 г. ему уже были изве­ стны способы, при замене переменных, приведения однородных и линейных уравнений (первого порядка) к разделе­ нию переменных. В то же время Лейбниц нашел метод неопределенных коэффици­ ентов для интегрирования уравнений с помощью рядов. Вскоре был найден ме­ тод интеграции известного уравнения

Бернулли, применена идея интегрирующего множителя (И. Бер­ нулли), получены решения для уравнений второго порядка, не содержащих явно одной из переменных (Я. Бернулли предложил замену у' = р для сведения уравнения к первому порядку).

Таким образом, к началу XVIII века были найдены методы интегрирования простейших дифференциальных уравнений пер­ вого порядка и заложены основы классификации этих уравне­ ний по способам решения. Однако рассмотрение этих вопросов в то время носило эмпирический, разрозненный характер и нет оснований говорить о какой-то общей теории дифференциаль­ ных уравнений к началу XVIII века. Но в то же время росло число задач, ведущих к дифференциальным уравнениям. По­ следние появлялись в большом количестве и в самых разнооб­ разных формах. От их решения зависели судьбы новых законов и открытий в самых разнообразных областях естествознания и техники. Поэтому почти все крупные математики того времени включились в эту работу. Количество сочинений, посвященных этим вопросам, огромно, и их обзор может быть темой большой монографии. Мы назовем здесь лишь некоторые результаты.

Так, уже в 1724 г. итальянским математиком Я. Риккати (9) было опубликовано подробное исследование уравнения, полу­ чившего позже (1769), по предложению Даламбера, название уравнения Риккати. Последним занимались также Г. Лейбниц, X. Гольдбах, Я- Бернулли, И. Бернулли, Д. Бернулли, Л. Эйлер и многие другие. Ввиду особого интереса, который представляет это уравнение для аналитической теории дифференциальных уравнений, истории его изучения отведен специальный параграф

вкниге.

Суравнения Риккати начинается методическая разработка

теории дифференциальных уравнений. Особенно большой вклад в этом отношении сделал Эйлер. Он обогатил теорию дифферен­

13

циальных уравнений рядом первоклассных открытий *. Так, уже в 1732 г. он предложил метод понижения на единицу порядка некоторых однородных уравнений с помощью подстановки пока­ зательной функции. Позже этот прием привел Эйлера к общему методу, который применим для интегрирования линейных диф­ ференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

В мемуаре 1843 г. он указал, что общим решением уравнения порядка п есть линейная комбинация его п частных решений. Здесь же он впервые ввел термины частного и общего решения для обозначения уже известных понятий. В решении неоднород­ ного линейного уравнения Эйлера опередил Даламбер, предло­ живший в 1747 г. общий метод приведения решения уравнения высшего порядка к решению системы совместных дифференци­ альных уравнений первого порядка. Подробную разработку это­ го вопроса чуть позже дал Эйлер (1750—1752). Он же разра­ ботал методы интегрирования некоторых классов линейных уравнений с переменными коэффициентами.

Несколько позже (1766) Даламбер установил, что общее решение неоднородного уравнения составляется из суммы част­ ного его решения и общего решения однородного, соответствен­ но, с теми же коэффициентами. В это время Лагранж детально разработал известный уже Эйлеру метод вариации произволь­ ных постоянных и применил его к данному типу уравнений.

В применении метода интегрирующего множителя для урав­ нений первого порядка существенное участие принимали Ник. II Бернулли (1720), А. Клеро (1739 и след.) и Л. Эйлер (с 1732). Большой заслугой Эйлера было установление ряда классов диф­ ференциальных уравнений, обладающих множителем заданного вида. Он же распространил метод интегрирующего множителя на уравнения высших порядков (1770). Этим же вопросом зани­ мался и А. И. Лексель (10) (1771). Одним из важнейших при­ менений теории интегрирующего множителя было открытие уравнения, сопряженного с данным однородным линейным уравнением, и факта взаимной сопряженности этих уравнений. (Лагранж, 1766, Эйлер, 1778).

Изучение основных уравнений динамики привело к разработ­ ке систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Более подробным их исследованием занимался Даламбер, применив к линейным однородным системам с постоянными коэффициента­ ми метод неопределенных множителей. Он рассматривал также некоторые случаи систем уравнений второго порядка. Эти иссле­ дования продолжены А. И. Лекселем.

Важное значение как исток аналитической теории дифферен­ циальных уравнений имела теория особых решений. Впервые такое решение встречается в работе Тейлора «Метод прираще-

1 Подробнее об этом см. в монографии Н. И. Симонова [64].

14

ний» (1715), не понявшего, однако, его значения, но назвавшего его «некото­ рым особым решением задачи».

Несколько позже (1734) Клеро на­ шел особое решение уравнения, нося­ щего его имя, и установил, что оно не содержится в общем интеграле урав­ нения. Статья Клеро побудила Даламбера (1748) к отысканию особого ре­ шения более общего уравнения, назы­ ваемого потом именем Лагранжа. Еще ранее ряд дифференциальных уравне­ ний с особыми решениями рассмотрел Эйлер во втором томе «Механики» (1736). Позже (1756) он установил (как и Клеро), что такое решение уравнения можно получить дифферен­ цированием и что оно не содержится в

общем решении. Но тогда он еще не заметил связи особых реше­ ний с огибающими. Некоторые методы отыскания особых инте­ гралов были предложены Лапласом в 1772 г. и позже.

В связи с ними Лагранж обратил внимание на эту актуаль­ ную тогда проблему. В большой статье (1774) он впервые дал подробное и исчерпывающее для того времени освещение во­ проса. Здесь был установлен способ отыскания особого решения либо непосредственно из дифференциального уравнения, либо из общего интеграла дифференцированием по постоянной, а также изложена геометрическая трактовка вопроса (связь с тео­ рией огибающих). Позже он расширил полученные результаты за счет рассмотрения особых решений уравнений высших поряд­ ков и с частными производными. Эти и другие результаты Лаг­ ранжа были включены автором в «Лекции об исчислении функ­ ций» (1801). Среди других он развил здесь метод получения дифференциального уравнения, имеющего особым решением данную кривую. При этом был найден большой класс таких дифференциальных уравнений.

Далее исследованием признаков особых решений занимался Пуассон, стремившийся вывести их непосредственно из данного уравнения, без его интеграции.

Несколько позже Коши установил, что критерий Лапласа необходим, но недостаточен для существования особого реше­ ния, и надо поэтому дать еще некоторые дополнительные пра­ вила (для достаточности), что и было им предложено в форме исследования интеграла некоторого вида

Де-Морган (11) отметил в [133.1, 523] важность этого ре-

Подробнее об этом см. в [251].

15

зультата Коши, который характери­ зовался как крупнейшее достижение века в теории дифференциальных уравнений.

Задачи астрономии, прежде все­ го небесной механики, широко содей­ ствовали развитию приближенных способов интегрирования дифферен­ циальных уравнений. Разработка этих методов оказала существенное и непосредственное влияние на раз­ витие такого важнейшего отдела аналитической теории дифференци­ альных уравнений, как теоремы су­ ществования и единственности ре­ шений. После Ньютона применение приближенных решений дифферен­ циальных уравнений в форме спе­

циальных рядов находим у Даламбера, Эйлера, Кондорсе. Весь­ ма простой и широко известный плодотворный метод разработал Эйлер и позже подробно изложил его в первом томе интеграль­ ного исчисления [141.2]. Метод Эйлера послужил позже основа­ нием одного из доказательств теоремы существования решения уравнения y' = f(x, у). Ему же принадлежит идея представления решений дифференциальных уравнений в виде определенных интегралов, с помощью которых он искал сумму ряда, представ­ ляющего интеграл данного уравнения. В развитие этой мысли Эйлера появился известный метод, примененный Лапласом для решения носящего его имя дифференциального уравнения с частными производными.

Метод разложения в цепную дробь интеграла обыкновенного дифференциального уравнения применил Лагранж в 1776 г. Этот метод представлял возможность определить по характеру

сходимости, оценкам погрешностей и т. д.

Геометрическая теория дифференциальных уравнений полу­ чила развитие главным образом в трудах Г. Монжа, исследо­ вавшего весьма широко связь теории дифференциальных урав­ нений, теории поверхностей и пространственных кривых. Даль­ нейшее развитие теории дифференциальных уравнений связано с работами Коши, Гамильтона, Якоби, Лиувилля, а затем С. Ли, Майера, Коркина, Имшенецкого, Кенигсберга и других.

Большие успехи, достигнутые крупнейшими учеными XVIII века в решении дифференциальных уравнений, создали возмож-

16

тов. Операция извлечения корня четной степени из отрицатель­ ного числа привела к мнимым числам. Хотя природа этих чисел и не была достаточно выяснена, тем не менее они играли весьма полезную роль при решении многих конкретных задач. Это дало повод математикам XVIII века ввести понятие мнимости и в об­ ласть переменных величин. Лейбниц и И. Бернулли одни из пер­ вых пытались проводить операции над комплексными числами аналогично действительным — например разложение подынте­ гральных функций на элементарные дроби и т. п.

В 1712 г. И. Бернулли ввел в анализ понятие мнимых лога­ рифмов, и в связи с этим разгорелся его знаменитый спор с Лейбницем о природе логарифмов отрицательных величин. Поз­ же полемика по этому же вопросу продолжилась между Даламбером и Эйлером, показавшим в 1749 г. многозначность лога­ рифмов (12). Большое значение для упрочнения мнимых вели­ чин в анализе сыграла их полезность при решении дифференци­ альных уравнений математической физики главным образом в работах Даламбера (1752) и Эйлера (1755).

Важным этапом в развитии теории функций комплексного переменного было установление (в работах Эйлера и Даламбе­ ра) факта о том, что пары сопряженных гармонических функций являются соответственно действительной и мнимой частью неко­ торой аналитической функции от комплексного переменного. В процессе этого получены уравнения, названные потом уравне­ ниями Коши—Римана.

В дальнейшем математики XVIII века рассматривали функ­ ции мнимого переменного все же как результат определенных аналитических действий, не имея еще способов их геометриче­ ской реализации и действий над ними, что не давало ученым возможности оперировать с этими величинами независимо от их аналитического происхождения. Вместе с тем Эйлер счел воз­ можным рассмотреть во «Введении в анализ бесконечно малых» (1748) комплексную величину как наиболее общее понятие пе­ ременной. Так постепенно выяснялись основные факты теории элементарных функций комплексного переменного. Заслуга введения действий дифференцирования и интегрирования над комплексными величинами принадлежит Эйлеру. Его посмерт­ ные мемуары по этим вопросам существенно продвигали разви­ тие новой теории аналитических функций. Он же рассмотрел конформное отображение1 областей сферы на плоскость (1777). Несколько раньше этими вопросами в связи с построением гео­ графических карт занимались Ламберт и Лагранж (1772). Че­ рез несколько лет (1779) Лагранж дал способ отображения сфе­ рических фигур на поверхности вращения.

Вычисление интегралов между мнимыми пределами впервые было введено Лапласом в 1782 г. Потом он пользовался этим

1 Этот термин впервые встречается в работе Гамбургского геометра Г. Шу­ берта в 1789 г.

18