книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Значение постановки и решения этой проблемы Коши трудно пере­ оценить. Желая подчеркнуть важ­ ность нового открытия Коши, его сравнивают иногда с доказательст­ вом Гаусса основной теоремы алгеб­ ры. В этом смысле высказывался Л. Фукс в своей речи 3 августа 1900 г. «Как Гаусс дал в первый раз строгое основание теоремы о том, что каждое алгебраическое уравне­ ние обладает корнем, то так же Ко­ ши создал для дифференциальных уравнений надежную основу доказа­ тельством, что дифференциальным уравнением всегда дается решение, которое удовлетворяет определен­ ным наперед заданным условиям»

[153.17, 424].

Нам кажется такой подход не совсем точным. Вопрос о су­ ществовании и числе корней алгебраического уравнения был поставлен раньше. Гаусс дал строгое и блестящее его решение в четырех известных доказательствах. В теории же дифферен­ циальных уравнений, являющихся по своему характеру более сложной математической структурой, чем алгебраические, во­ прос о существовании решений и их единственности при опре­ деленных условиях был поставлен в общем виде и разрешен несколькими способами Коши. Но дело не только в этом. Подход Коши к решению данной проблемы содержал настолько важные и плодотворные идеи, что на основе их позже развилась новая ветвь анализа — аналитическая теория дифференциальных урав­ нений, а также под влиянием последней качественная теория. Наконец, весьма важно и то, что методы Коши оказались весь­ ма эффективными с практической точки зрения, давая возмож­ ность получать приближенные решения дифференциальных урав­ нений с учетом допущенных погрешностей. Поэтому его идеи способствовали дальнейшему мощному развитию прикладного анализа, облегчали применение математических методов к по­ требностям других наук и практики. Что же привело Коши к но­ вой проблеме?

До Коши вопрос о существовании решений определенного вида для уравнений в полных дифференциалах ставился еще Эйлером и был тесно связан с вопросом о существовании соот­ ветствующих интегрирующих множителей. Что же касается Ко­ ши, то следует отметить, что создание им так называемого пер­ вого метода было обусловлено и тесно связано с его работой по перестройке основ анализа в целом. В процессе этого он не толь­ ко излагал известные результаты на повой основе теории преде­

30

лов, но многие методы, чувствуя в них пробел, создавал и сам, например достаточный признак сходимости рядов, вывод фор­ мулы остаточного члена степенного ряда и т. п. Коши был хоро­ шо знаком с достижениями предшественников, он глубоко изу­ чил работы Даламбера, Эйлера и своих почти непосредственных учителей — Лагранжа и Лапласа. Продумывая курс теории дифференциальных уравнений для слушателей политехниче­ ской школы в свете новых принципиальных установок, он был поставлен перед необходимостью создания нового метода, а критически осмысливая работы основоположников анализа, он, очевидно, нашел исходную идею для своего первого метода в результате изучения метода ломаных Эйлера.

Предлагая в первом томе «Интегрального исчисления» об­ щий метод для отыскания приближенных решений данных диф­ ференциальных уравнений при определенных начальных усло­

те Лакруа по дифференциальному и интегральному исчисле­ нию, но и сам Эйлер, очевидно, понимал несовершенство данно­ го процесса и предложил его улучшенный вариант [141.2, 381]. Здесь он получает решение уравнения у' = ѵ в каждом частичном интервале с помощью бесконечных рядов (а не полагая в нем V —const) и рассматривает вопрос о погрешностях.

Во втором томе [141.2, гл. XII] найденный метод распростра­ няется на уравнения второго порядка. Хотя Эйлер и не пытал­ ся исследовать сходимость своего процесса и не вел речи о су­ ществовании решений вообще, поставленный им вопрос имел важное принципиальное значение. Именно его развитие приве­

и типов уравнений, приводящихся к квадратурам, геометриче­ ская трактовка решений, развитие теории особых решений, ре­ шение подобной проблемы в области алгебраических уравне­ ний, имевшееся уже доказательство существования определен­ ного интеграла, данное самим Коши, а также ряд общих идей развития анализа, связанных с его арифметизацией и др.

Интересен вопрос, когда же впервые был изложен метод Коши? И когда состоялась его первая публикация? Многие ав­ торы, упоминающие о нем, приводят различные даты от 1820 до 1844 г. Сам Коши пишет, что он изложил этот метод в своих литографированных лекциях по интегральному исчислению в Парижской политехнической школе. Курс этот он читал в пе­ риод 1820—1830 гг. Следовательно, возможно, что теорему суще­ ствования интегралов уравнений он нашел уже к 1820 г., как это утверждает Белл [97, 400]. Но изложить ее он мог не ранее 1821 г., ибо этот материал проходили на втором году обучения.

31

Как известно, «Курс алгебраического анализа» Коши издал впервые в 1821 г. Затем следовал первый том Курса анализа бесконечно малых в 1823 г. Обозначение на титульном листе «том I» свидетельствовало о намерении автора издать и том II. Об этом он говорит в предисловии к первому тому и отмечает: «Методы, которым я следовал, отличны во многих отношениях от тех, которые излагаются в сочинениях того же жанра. Моя главная цель состоит в сочетании строгости, которая была для меня законом в моем курсе анализа с простотой, которая сле­ дует из прямого рассмотрения бесконечно малых количеств» [122.2, 9—10]. Однако второй том курса анализа бесконечно малых Коши не был опубликован и мог сохраниться лишь в ли­ тографированном виде. Автор упоминает о нем в мемуаре [122.8, 318] под названием «Лекции второго года для королевской по­ литехнической школы» 1.2 К сожалению, этот курс отсутствует в европейских публичных библиотеках. Но в предисловии к пер­ вому тому автор уже писал: ... «В интегральном исчислении мне кажется необходимо доказать в общем существование интегра­ лов или примитивных функций перед тем, как делать известны­ ми их различные свойства. Чтобы достичь этого, надлежит сна­ чала установить понятие интегралов, взятых между данными пределами, или определенных интегралов» [122.2, 10].

Отсюда можно заключить, что аналогичный методический подход автор осуществлял и во втором томе. Поэтому имеют, на наш взгляд, некоторые основания Шлезингер [254.1, 4], Пиаджио [55] и другие, указывающие как первую дату публика­ ции 1823 г. Отметим также, что упоминание о создании первого метода встречалось уже в предисловии к первому тому «Упраж­ нений в математике», изданных в 1826 г. Коши здесь писал, что среди других он дал «метод, с помощью которого можно интег­ рировать аппроксимативно дифференциальные уравнения лю­ бой формы, определяя пределы допущенных ошибок» [122.4, 1]. Таким образом, этим методом он владел уже заведомо к 1826 г. Схема его была опубликована в так называемом мемуаре 1835 г. Некоторые авторы как первую дату публикации приводят имен­ но эту (Белл [97, 604], Вальсон [269, т. 2, 105], Пенлеве [228.21], Айне [180] и др.). Однако в результате исследований чешского ученого К. Рыхлика [252] и позже автора данной кни­ ги установлена сомнительность публикации мемуара Коши «О дифференциальных уравнениях» в 1835 г. (17). Впервые он был опубликован лишь в 1840 г. в первом томе «Упражнений по ана­ лизу и математической физике». Ошибка в литературе допущена по вине самого Коши, который утверждал в примечании к ука­ занному мемуару об его издании в Праге в 1835 г., не имея на это достаточных оснований.

32

§ 2 . П ервы й м ет од К о ш и

Резюме этого метода было изложено в § 1 рукописи Праж­ ского мемуара Г835 г. Автор доказывает здесь существование функции у —я(х), удовлетворяющей уравнению

по обоим аргументам в интервале (Хо, Хо + а) (условия а). Для получения новых значений функции в точках, следующих за Хо, автор пользуется формулой

имея в виду, что значению аргумента х + Ах соответствует зна­ чение функции у+Ау.

Далее трактуется вопрос об оценке погрешности для некото­ рого уи если брать Ах меньше заданного числа б, и указывается, что предельная функция у = л ( х ) является непрерывной не толь­ ко по X, но также и по уо, и при произвольном у0 дает, таким об­ разом, общий интеграл уравнения (1.1). В заключение § 1 Коши отмечает: «Метод, который я хотел напомнить, находится строго изложенным и воспроизведен более подробно и с числовыми примерами в лекциях, уже названных Я доказал в тех самых лекциях, как можно распространить этот метод на интегриро­ вание совместных дифференциальных уравнений первого поряд­ ка, каково бы ни было число переменных, и как можно получить не только общие и частные интегралы этих уравнений, но еще и их особые интегралы. Известно также, что интегрирование диф­ ференциальных уравнений некоторого порядка может быть всег­ да приведено к интегрированию совместных дифференциальных уравнений первого порядка» [122.8, 331].

Об этом методе Коши шла речь в 1837 г. в статье Кориолиса Г127], уделившего особое внимание рассмотрению пределов ошибок, допускаемых при вычислении величин у. Он предложил здесь несколько иной подход для решения указанного вопроса. В частности, он показывает, что если априори предположить существование у, то известный предел ошибки можно свести к его половине, а также, что для вычислений значений у по Ау можно составить разностные уравнения в другой форме.

Более полно первый метод Коши был изложен во втором то­ ме «Лекций» аббата Муаньо, выпущенных в 1844 г. [219]. Автор известного курса по истории математики Г. Вилейтнер утверж-1

1 Имеются в виду упоминаемые нами выше литографированные лекции в политехнической школе, т. II.

дает, что «Коши впервые поставил теорию дифференциальных уравнений на незыблемую основу, предложив на своих лекциях в Парижской политехнической школе между 1820 и 1830 три ме­ тода, устанавливающих существование решений (опубликовано Ф. Муаньо в «Лекциях...»)». [13, 418]. Как видно уже из выше­ изложенного, вторая часть фразы неточна. В лекциях для поли­ технической школы Коши, как сам он об этом сказал, дал толь­ ко один способ, о котором сейчас идет речь. Лекции же Муаньо по своему содержанию далеко не идентичны, что прямо следует из их подзаголовка, прежним лекциям Коши.

Изложению первого метода Коши посвящены лекции 26—27. Здесь для уравнения (1.1) рассматривается интервал х0Х. Он делится на п частей точками Х\, Хг, ..., хп-\. Соответственно вы­ числяются у\, г/г,..., Уп-ь Y из системы

Установив непрерывность величины У по у0 и рассмотрев за­ висимость У от Хо, X, уо, автор проводит затем разбивку элемен­ тов Хі—Хі- 1 и так далее 1 и показывает, что (предел — В. Д.) У не зависит от способа разбивки интервала Хо, X и при неограни­ ченном возрастании числа п и уменьшении каждой из разностей Xh-—Xk-i будет сходиться к некоторому конечному и определен­ ному пределу, зависящему единственно от формы функции f(x, у), экстремальных значений ее модуля в Хо, X и количества

уо [219, 395].

Далее он легко доказывает, что эта предельная функция F(x) удовлетворяет уравнение (1.1) и при условиях (а) для х — =Хо принимает значение уо-

В уроке 27 Муаньо уделяет внимание вопросу оценки, интер­ валу существования и построению общего интеграла уравнения

висимости от интервала существования интеграла.

34

В следующих уроках обобщаются полученные результаты на уравнения любого порядка от двух переменных, на системы сов­ местных уравнений первого порядка с п+1 дифференциалами или с п производными, а также определяются пределы ошибок при применении изложенного метода в случае численного интег­ рирования (при конечном числе интервалов) уравнений первого порядка. Последние формулы имеют, впрочем, весьма громозд­ кий вид и практически мало удобны.

Таким образом, этот первый метод Коши состоял в естествен­ ном рассмотрении дифференциальных уравнений как предела уравнений в конечных разностях и довольно просто вписывался в его систему дифференциального и интегрального исчисления. Он давал возможность получить разложение интеграла в ряды, сходящиеся при всех значениях переменных, для которых инте­ гралы так же, как и дифференциальные коэффициенты ', оста­ вались непрерывными. В этом смысле, как отметил Пикар [235.22, 41], «этот метод превосходит все другие методы».

В доказательстве основной теоремы теории дифференциаль­ ных уравнений данным методом мы встречаемся впервые с чет­ ко поставленной идеей об определении свойства интеграла по характеру самого дифференциального уравнения, чем и было положено основание новому, весьма плодотворному направле­ нию в теории дифференциальных уравнений, которое получило особое развитие через несколько десятилетий после вышеупомя­ нутых работ Коши.

§3. Метод последовательных приближений

Кначалу 30-х годов XIX века Коши стал применять метод

последовательных приближений для решения дифференциаль­ ных уравнений.

Значительно раньше основная идея этого метода использова­ лась Ньютоном, потом Фурье при решении уравнений. О его применении шла речь также у Лапласа [200] и Бриссона [ИЗ]. Этот метод использовал и Гаусс при определении орбит планет по трем наблюдениям. В средневековой японской математике (1673 г.), как свидетельствует Фуивара [155], подобная идея применялась при решении некоторых кубических уравнений.

Сам Коши специальных публикаций по методу последова­ тельных приближений не оставил, хотя часто использовал его в своих работах по теории дифференциальных уравнений и дру­ гих. Этому методу уделен один из пунктов 39 лекции вышеупо­ мянутого курса Муаньо. Любопытно отметить, что авторы в то время смотрели на этот метод не столько как на общий метод доказательства существования и единственности при данных условиях решения дифференциального уравнения, сколько как1

1 Этим термином обозначалась правая часть уравнения (1.1).

на один из приближенных методов интегрирования дифферен­ циальных уравнений. В этой лекции излагались как раз прибли­ женные методы интегрирования обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений при помощи рядов. В первых двух методах использовались соответственно формула Тейлора и способ не­ определенных коэффициентов. А выше названный метод рас­ сматривался как третий на примере интегрирования уравнения вида

Dx Y + XiPxY + Х2У = 0.

Далее в правой части равенства под знаком интеграла z заме­ няем его значением и опускаем в записи пределы интегралов. Получаем

2 = / + ^ d x j x ( / + jd ;e j Xzdx} dx

ит. д. Затем доказывается, что п-й член убывает с увеличением

пи что полученный ряд для определения z при этом же условии сходится к некоторому пределу, которого он не может превзой­ ти и от которого отличается как угодно мало. Для оценки пред­

полагают, что А < |, z<£, t<r, тогда JXtdx<lх{х—х0) и следует

Условий непрерывности, при которых применим метод, Муаньо здесь не указывает, считая их, возможно, само собой разумеющимися.

Несколько ранее, чем Муаньо, в 1837 г., этот же метод был использован Лиувиллем (18) в работе [205.3] при отыскании решений уравнения вида

36

где функции от х : g, К, I — положительны; V—функция от х и па­ раметра г (г— корень некоторого трансцендентного уравнения ш(г)= = 0); кроме того, задаются граничные условия

27 — ІгѴ = 0 при X = х0 и -т- — НѴ = 0 при х = X, (1.6)

где h, Н — положительные константы, нули или бесконечности. Ес­ ли h = оо, получим V = 0 при X = х0\ если Н — оо, то имеем Ѵ=0

при X ~ X.

Как отметил Лиувилль, «Функция V представлялась полез­ ной в теории теплоты и в множестве вопросов математической

где V — неизвестная, а L, М, N — данные функции от х, изменя­ ющегося в известном интервале, занимался Штурм. К уравне­ ниям такого вида приводили многие задачи математической физики (движение тепла, упругих жидкостей и др.), которые рассматривал Фурье и др. К этой работе Штурма привели и ин­ тересы алгебры. Он отмечал, что если даже известно решение такого уравнения в конечном виде, в форме ряда или интегра­ ла, то трудно сразу определить его характеристические свойст­ ва. В зависимости же от того, насколько они известны, можно получить представление о различных явлениях динамики и фи­ зики. Ряд таких свойств неизвестной функции для заданного любого значения ее аргумента можно проще получить, исследуя данные дифференциальные уравнения. Это был совершенно но­ вый подход качественного исследования интегралов дифферен­ циальных уравнений, полезный также при вычислении корней ряда трансцендентных уравнений математической физики, когда были известны отдельные свойства, которыми обладали эти корни. Так Штурм пришел к весьма интересным и полезным заключениям, развитие которых вылилось потом в отдельную ветвь анализа, тесно связанную с изучением вибрации упругих стержней и пластин и с другими прикладными вопросами.

Уравнение (1.7) приводилось к виду

( 1.8)

где К и G — функции от х и параметра А,, ограниченные в дан­ ном интервале, и К Ф 0. Общий интеграл этого уравнения должен

37

был содержать две произвольных постоянных, за которые можно

dy

взять у и -fa, соответствующие част­ ному значению х, т. е. решение сле­

данной точке а были бы равны не­ которой произвольно заданной функции от Я . Особое внимание Штурм уделил вопросам вариации

корней у и соотношения ах в зави-

У

симости от Я , если х рассматривать как постоянное. Если данное урав­ нение сравнить с таким, у которого К и G — постоянные, и которое, сле-

довательно, могло быть решено в элементарных функциях, то получа­ лись особенно простые выводы, опи­ раясь на которые, Штурм пришел к

известной (по термину Клейна, развивавшего эти идеи далее) теореме осциляции (колебаний), или перемежаемости корней решений таких уравнений (19). Вскоре после этого появился еще ряд работ Штурма и Лиувилля, так или иначе связанных с дан­ ной проблемой.

Вышеуказанная работа Лиувилля находилась в тесной связи с исследованиями Штурма, хотя в данном случае Лиувилль рас­ сматривал несколько иную краевую задачу: случай, когда К не зависело от Я , a G имело вид Яg—I. В результате дальнейших исследований ему удалось доказать иным путем теорему коле­ баний и притом для уравнений любого порядка, но в процессе этого был утвержден новый метод доказательства существова­

где величины р определялись так: при Ко= К(хо) имеем

38

К такому же разложению можно подойти и обычным путем, по­ лучив

Оценка Rn так же, как и установление сходимости ряда (1.9), оче­ видна.

Через год Лиувилль применяет этот же метод для отыскания интеграла уравнения

где К, Z, ... М, N — положительные и непрерывные функции от х и г — параметр, независимый от этой переменной; V — функция от л: и г. Кроме того, даются начальные условия, которые мы не будем выписывать (20). Он придавал большое значение общ­ ности применяемого метода, замечая: «... Итак, я прибегну к другим принципам, обладающим двойной выгодой высокой про­ стоты и очень большой общности» [205.4, 563]. При решении вопроса он берет сначала р = 2, т. е. строит решение для уравне­ ния второго порядка по уже рассмотренному выше принципу, а затем обобщает его на случай уравнения (1.10). Этот же метод использовался и в 1840 г. в мемуаре [205.5]. Таким образом, первые публикации по применению метода последовательных приближений для интегрирования уравнений и использованию его для доказательства существования их решений принадле­ жат Лиувиллю.

В то же время (доложено в 1835 г., опубликовано в 1836 — 1838 гг.) усовершенствование этого метода и применение его к решению уравнения

4 т - + У = аУ3 dt

при начальных условиях t = 0, у — 1, ^ - = 0 предложено в [227]

М. В. Остроградским.

Он рассматривал вопрос интегрирования уравнений данного типа при помощи разложения по малому параметру, входящему в них, имея целью найти способ избавления от так называемых вековых членов. Основная идея его заключалась в одновремен­ ном разложении периода (или частоты) и самого решения по параметру а [. Позже она получила широкое распростране­ ние (21).

1 Подробно об этом см. в [28, 1. 65].

39