книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

В свете вышеизложенного трудно согласиться с утверждени­ ем Пьера Сергеску о том, что «математика в делом обязана прежде всего Пикару конструкцией нового метода умозаключе­ ний, метода последовательных приближений. Этот важнейший динамический процесс рассуждений находится в оппозиции классическим методам, которые были в большей части статичны, прямые» [258, 49]. О введении этого метода только в 1890 г. утверждал и Пиаджио [55, 12]. Э. Пикар рассматривал свой вклад по данному вопросу как усовершенствование и разви­ тие уже известного метода. Указав, что этот метод дает очень быстро сходящиеся ряды, он отметил также, что эти ряды не всегда сходятся во всей области, где интегралы уравнений не­ прерывны.

§ 4. Метод пределов Коши

Большое значение для развития ряда отделов анализа имел второй метод Коши доказательства существования и единствен­ ности решений дифференциальных уравнений — метод мажо­ рантных функций.

Идея этого метода излагается Коши в ряде его работ по так называемому «исчислению пределов» и теснейшим образом при­ мыкает к теории рядов. Впервые о нем автор доложил Турин­ ской академии 11 октября 1831 г. В этом же году вышел извест­ ный мемуар Коши по небесной механике, которым и была от­ крыта серия последующих работ в этом направлении. Интересно отметить, что толчком к созданию «исчисления пределов», с одной стороны, послужила необходимость улучшения техники вычислений, о чем мы ранее упоминали, и с другой — разработ­ ка нового метода, состоящего в приведении интегрирования си­ стемы дифференциальных уравнений к интегрированию одного так называемого характеристического уравнения в частных про­ изводных первого порядка. Идея этого сведения, как отметил Коши [122.8, 33], была подсказана ему исследованиями Гамиль­ тона дифференциальных уравнений динамики. Интегрирование характеристических уравнений велось Коши при помощи рядов и необходимо было рассмотреть правила сходимости этих рядов, оценки остатков рядов и т. д.

Хотя термин Коши «исчисление пределов» оказался мало­ удобным (смысл его будет ясен из дальнейшего) и поэтому практически в научной литературе не привился, идея его оказа­ лась весьма плодотворной. Она созрела в результате углублен­ ных исследований Коши по теории сходимости рядов. Сперва автор имел целью лишь усовершенствовать эту теорию и устано­ вить критерии оценок погрешностей. Об этом он писал в приме­ чании к резюме мемуара о небесной механике [122.13, 41]. «Но­ вое исчисление, которое я назвал исчислением пределов, пред­ ставляет не только собрание отдельных правил относительно

40

сходимости рядов, которые дают разложения явных или неяв­ ных функций от одной или нескольких переменных, но еще за­ крепление верхних пределов совершаемых ошибок, когда оста­ навливаются во всяком ряде после члена определенного номе­ ра». Коши отмечает два основных недостатка в применявшемся до того методе неопределенных коэффициентов для разложения явных и неявных функций: «1) не было уверенности в том, схо­ дятся ли полученные ряды или нет и, следовательно, нельзя го­ ворить, в каком случае формулы допустимы или должны быть отброшены; 2) не имелось общего доказательства, что получен­ ные разложения... были бы эквивалентны той же функции, то есть имели суммами разлагаемые функции» [там же, стр. 43]. Подходя к ликвидации этого пробела, Коши рассматривает в первой части работы [122.13] условия непрерывности функции, разлагаемой в ряд Маклорена, и намечает оценку остатка ряда как для функции одной, так и для функций нескольких перемен­ ных. Он формулирует здесь три теоремы: первую — о разложе­ нии в ряд неявной функции одного аргумента, вторую — то же для нескольких неявных функций нескольких переменных. По существу это первые доказательства теорем существования не­ явных функций.

Коши очень быстро понял применимость развиваемых им методов для решения вопроса о существовании интегралов диф­ ференциальных уравнений и уже здесь, пока без должного раз­ вития, сформулировал и третью теорему, которая затем была положена в основу аналитической теории дифференциальных уравнений. Именно здесь Коши говорит о представлении общих интегралов системы дифференциальных уравнений с нескольки­ ми функциями и их производными различных порядков, зави­ симых от одного аргумента, степенными рядами и формулирует условие их сходимости в общем виде.

Более подробной разработкой этого вопроса он занялся лишь через несколько лет, а через год, в 1832 г., обнародовал в Турине мемуар, содержащий основные идеи так называемого «исчисле­ ния пределов»'. Рассматривая аргумент х в комплексной обла­ сти и полагая f(x) непрерывной и конечной, он получает здесь известную формулу

где х0 = ХерУ' \ а \х\ < X. Широко пользуясь соотношением

1 Его содержание соответствует второй части работы [122, 13].

41

и установленной им формулой

—я 0

а также символом Л, означающим максимум модуля данной величины, при изменении ее в рассматриваемой области, он по­ лучает оценку остатка гп ряда

то остаток его гп не превзойдет остатка этой геометрической прогрессии, т. е.

г<■ ^ Л / (*ь)

п^ Хп- ' ( X - g f

Собственно в этих положениях и заложена руководящая идея Коши, получившая затем широкое развитие и многочисленные применения как в его собственных работах, так и в работах дру­ гих ученых. В основе ее лежит сравнение данного ряда со спе­ циально построенной геометрической прогрессией. Этим самым давалась мажоранта разложения, что было весьма важно для всех применений степенных рядов. Можно усмотреть прямую связь этой идеи с той, которая использована в его степенном при­ знаке сходимости рядов, где условие сходимости некоторого числового ряда сводится к. условию сходимости геометрической прогрессии. В этом же мемуаре Коши формулирует теорему 1: «Функция f(x) разлагается по формуле Маклорена в сходящий­ ся ряд, упорядоченный по возрастающим степеням х, если модуль переменной х, действительной или мнимой, сохраняет величину меньше той, для которой функция (или ее производная первого порядка) перестанет быть конечной и непрерывной» [122. 13, 54]. Теорема 2 трактует тот же вопрос для функции многих переменных. Современному читателю легко заметить некоррект­ ность этих формулировок. Однако сам Коши со временем их по­ нял и исправил, овладев позже понятием равномерной сходи­ мости. Но в начальный период деятельности такие формулиров­

42

ки были у него естественны. Как в этой, так и в других работах Коши полагал, что непрерывная функция необходимо обладает и непрерывной производной и опирался на это положение, спе­ циально его не оговаривая, но показывая на примерах [122.18 36]. Он был убежден, что производная может стать разрывной лишь в тех точках, где нарушается непрерывность функции. Это обусловливалось тем, что, говоря о функциях, он имел в виду их аналитические выражения от комплексного переменного, для которых существование производной следовало из правил диф­ ференцирования. При этом в понятии о непрерывной функции он подчеркивал ее ограниченность и однозначность [122.5]. Как отметил Коши [122.18, 41], условие непрерывности производной он в 1831 г. не вводил, а включил его, и то, как мы видим, услов­ но, при перепечатке мемуара в 1841 г.

Так как надо было практически часто вычислять верхние гра­ ницы (а иногда и нижние) различных функций, Коши разрабо­ тал своеобразный аппарат, благодаря которому, очевидно, и по­

выражения. Эти понятия и сейчас имеют место в теории преде­ лов. Первая публикация резюме мемуара о небесной механике и исчислению пределов, как сообщил Виванти [139, т. II, Fase. 1,

17], была осуществлена на итальянском языке в Милане в

1834 г.

Широкое применение выше изложенных идей к теории диф­ ференциальных уравнений было впервые осуществлено во вто­ рой и третьей части мемуара [122.8].

Во второй его части рассматривалось интегрирование систе­ мы дифференциальных уравнений вида

где X i , T — известные функции; Х і — искомые.

В третьей части, опираясь на мажорантный метод, разраба­ тываются формулы для оценок рядов, выражающих интегралы рассмотренных дифференциальных уравнений и других. Здесь же формулируются и доказываются общие деоремы о выраже­ нии интегралов дифференциальных уравнений степенными ря­ дами.

При этом сначала рассматривается уравнение dx=n(xi)dt, затем решается аналогичный комплекс вопросов для уравнений

43

вида d x = я(.ѵ, t)dt. Полученные результаты обобщаются на систему любых дифференциальных уравнений от аргумента t и неизвестных функций х, у, z, ... и применяются к системе (1.14). В процессе этого выполнена большая вычислительная работа и масса выкладок. В названных двух мемуарах приведено свы­ ше 400 формул. Здесь автор рассматривал довольно широкий круг вопросов, в том числе связь исчисления пределов с теорией вычетов и т. д. Однако конкретных соотношений и связей радиу­ сов области сходимости интеграла и области сходимости диф­ ференциальных коэффициентов в известной простой форме здесь мы еще не находим.

В конце мемуара Коши сообщал, что он собирается приме­ нить только что изложенный метод «к интегрированию диффе­ ренциальных уравнений, которые выражают одновременные движения небесных тел, составляющих нашу планетную систе­ му» [122.8, 384].

Первая попытка методической обработки «исчисления пре­ делов» и применения его к отысканию интегралов дифференци­ альных уравнений выполнена во втором томе курса Муаньо, в лекциях 40, 41.

§5. Эволюция идей Коши

Вряде последующих работ Коши уточняет формулировки данных уже теорем по этой тематике, упрощает пути их доказа­ тельства, обобщает ранее полученные результаты. Развитию применений метода пределов к интегрированию дифференци­ альных уравнений он посвящает десятки работ, печатаемых

главным образом в докладах Парижской академии наук. В них есть много повторений, редакционных недоработок и неточно­ стей — результат поспешной сдачи статей в печать. Даже в од­ ной статье одна и та же теорема формулируется иногда по-раз­ ному. Так, в заметке об интегрировании дифференциальных уравнений движения планет [122.7] при формулировке основной теоремы о представлении функции рядом как одно из условий один раз указывается непрерывность функции или ее производ­ ной (стр. 29), а другой раз (через две страницы)— непрерыв­ ность функции и ее производной.

Неверность теоремы Коши о непрерывности функции, пред­ ставленной сходящимся рядом непрерывных функций, отметил Абель еще в 1827 г. Значительно позже, в начале 40-х годов, за­ мечания такого же рода делали Лиувилль и Ламарль [122.18, 41; 122.17, 1339], и Коши принял это к сведению. Относительно разложения функций в ряды в 1844 г. он уже писал: «Во всяком случае, когда речь идет о разложении функций в ряды, рассмот­ рение производных функций, мне кажется, не должно быть в целом отброшено» [122.17, 1339].

В последующих работах функция, разлагаемая в ряд, пред-

44

полагалась конечной и непрерывной вместе со своей производ­ ной в окрестности некоторой точки. В целом публикации Коши после 1846 г. обработаны несколько лучше, хотя и тогда он еще мало заботился о придании своим мыслям и статьям совершен­ ной формы, будучи всецело поглощен свежими идеями, откры­ тием новых путей и методов. Так и рассматриваемая теория в работах Коши 1837—1857 гг. получила существенное развитие. Применение метода к разложению неявных функций в новой методической разработке дано в 1837 г., для разложений в сте­ пенной ряд по малому параметру, содержащемуся в алгебраи­ ческом или трансцендентном уравнении,— в 1840 г. Элементар­ ное (по выражению автора) доказательство правила сходимо­ сти рядов, представляющих интегралы системы дифференциаль­ ных уравнений, и дополнение предыдущих результатов предложено в мемуарах [122.9.—10.] (1840 г.).

Применение метода к представлению общих интегралов од­ ного уравнения или системы уравнений в частных производных было начато уже в конце 1840 г. В то же время трактовалось и разложение интегралов дифференциальных уравнений по мало­ му параметру [122.11.— 12].

В июне 1842 г. Коши доложил Парижской академии наук мемуар «О фундаментальной теореме интегрального исчисле­ ния» [270.15]. Здесь автор впервые ставит вопрос о существо­ вании интегралов уравнений в наиболее общей форме, в том числе и для уравнений с частными производными, говорит о тео­ реме, выражающей радиус сходимости ряда, представляющего функцию, и об определении предела ошибки, которая соверша­ ется при остановке каждого разложения после некоторого чис­ ла членов. Доказательство этой теоремы основано на принци­ пах «исчисления пределов».

Предполагая функцию u = f(x, у, г,..., t) непрерывной и обо­ значив т = Л f(x+Ax, у + Ау, z + Az...... t+At) при любых изме­ нениях аргументов величин Ах, Ау, Az......А? при неизменных их

# = (1 *2 ... I) (1.2 ... m). . . (1 - 2 . . . «).

Автор формулирует здесь, впрочем, довольно громоздко, основную теорему метода мажорантных функций и отмечает, что «изложенные принципы применяются к интегрированию уравнений при помощи рядов и для доказательства существо­ вания их общих интегралов в любом случае» [122.15, 467].

Вскоре после этого появилось еще несколько почти следую­ щих друг за другом мемуаров Коши, где развивались примене­

45

ния исчисления пределов к доказательству существования инте­ гралов уравнений с частными производными и систем таких уравнений, а также к разложениям их интегралов по степеням малого параметра, который содержало данное уравнение или их система. Хотя Коши и формулировал теоремы в общем случае, он все же рассматривал, как правило, линейные системы; нели­ нейную систему он приводил к линейной. Переменные брались из комплексной области.

Следующий этап исследований Коши в данном направлении связан с его новыми результатами в области общей теории функ­ ций комплексного переменного, когда он в отличие от предыду­ щего периода стал уделять гораздо больше внимания геометри­ ческой трактовке рассматриваемых вопросов. Он подходит при этом к исследованию интегралов в области изолированных осо­ бых точек, исследует природу различного вида контурных инте­ гралов [122.22], трактует о разрывных функциях [122.23] и т.д. Весьма важно было уточнение понятия непрерывной функции, а также введение понятий монодромной, моногенной, а несколь­ ко позже и синектической функции. Под монодромной он пони­ мал функцию, непрерывную в некоторой точке и ее окрестности и однозначную; функция называлась моногенной, если она об­ ладала монодромной производной Понятие моногенной функ­ ции оказалось весьма плодотворным (22). После этого, в по­ следние полтора года жизни ученого, появляется новая серия мемуаров, где известные теоремы из рассмотренных нами работ формулируются в новых терминах, даются более краткие и ясные их доказательства, учитываются результаты учеников и коллег, а также высказывается ряд новых идей. Здесь, на осно­ ве новых понятий, рассмотрены условия сходимости рядов, пред­ ставляющих общие интегралы системы дифференциальных урав­ нений [122.25—26], природа интегралов системы дифференци­ альных уравнений первого порядка [122.27], вопрос о синектических интегралах дифференциальных уравнений [122.28], о монодромных и моногенных интегралах системы дифференци­ альных уравнений [122.29] и др. В последних работах уже весь­ ма явно наличны элементы исследования интегралов по опреде­ ляющим их дифференциальным уравнениям. Таким образом,, для рождения новой теории существенную роль сыграли работы Коши. Он при весьма общих предположениях относительно вида рассматриваемых дифференциальных уравнений доказал, что их решениями будут функции аналитические.

§6. Метод мажорантных функций Вейерштрасса

Кидее мажорирования функций, а также к представлению

функций дифференциальными уравнениями, по мотивам чисто1

1 Понятие синектической функции эквивалентно функции конечной, монод­ ромной и моногенной.

46

ных математических идей примерно в одинаковой исторической

ставляющих их рядов, но и их сумма абсолютно и равномерно сходится. Эти результаты используются затем в статье [275.3], датированной 1842 г. Вейерштрасс рассматривает здесь инте-

1 Запись символа ряда, распространенного и на отрицательные индексы, имеется и в другой статье [275. 1], датированной тем же 1841 г. Этот факт, ви­ димо, не был известен Райфу, упоминающему в своей монографии по истории рядов [243, 181] в соответственном смысле лишь теорему Лорана, опубликован­ ную в 1843 г.

47

где G i ( x i, Х2, ..., Хп) — данные целые рациональные функции от

где a;o=ßj. Остается доказать, что ряды (1.19) обладают кру­ гом сходимости, радиус которого отличен от нуля. В процессе этого доказательства, изложить которое здесь не представляет­

ражения Gf. Для сходимости ряда вида (1.19) надо оценивать

п других G i (х1г х 2, . . ., х п) так, что каждый коэффициент в G t по­ ложителен и не меньше, чем абсолютная величина соответственного коэффициента в G,. Затем берутся положительные величины аъ а2,...

..., ап, имеющие такие значения, что a t > | at J. Потом образуется

Ъ%~^ (xlt х2, . . ., хп) из функций Gi (*!, х2, . . ., хп), как 0Г_1) (%,

х2, . . ., хп) образовалась из Gt (хи х2, . . ., х п). Тогда | Gi~l) {аи а2,...

..., ап) I < Gx-1) (а1( а2, ..., а п). Отсюда автор заключает: «Итак, ког­ да ряд

ѵ = 1

сходится для определенных положительных величин т, то это тем более верно в случае ряда

СО

vT Gi (öi. ä2, .. ., an) tv

V = 1

для каждой величины t, абсолютное значение которой не боль­ ше т» [275.3, 79]. После рассмотрения других вспомогательных вопросов находится условие, которому подчиняется т для схо­ димости ряда (1.20).

48

В заключение Вейерштрасс пишет: «Этим доказано, что ря­ ды Bn (t) всегда имеют общую область сходимости, радиус которой не равен нулю, и когда переменная t ограниче­ на этой областью, представляют однозначные и непрерывные функции от t , которые, будучи взяты вместо Х \ , х%,..., хп, удов­ летворяют предложенным дифференциальным уравнениям и

коэффициента в любой точке области сходимости рядов Bt (/); R — верхняя граница абсолютных величин функций Bt (/), 11| < г; тогда абсолютная величина остатка будет меньше, чем

СО

( 1.21)

\= т

Увеличивая т, это выражение можно сделать меньше любой заданной величины *. При этом отмечается, что так как ряды Bi(t) при рассмотренных условиях и соответствующих значени­ ях аргумента сходятся не только абсолютно, но и равномерно, то они образуют систему однозначных аналитических функций этого аргумента t.

Таким образом, Вейерштрасс был также одним из идейных основоположников рассматриваемой теории.

Нетрудно заметить весьма четкую постановку вопроса, более современную терминологию и характерную ясность и строгость в изложении и доказательствах учителя гимназии из Мюнсте­ ра 1.2 Отметим требование равномерной сходимости рядов3, представляющих интегралы дифференциальных уравнений, а также то, что основную теорему Вейерштрасс вывел, опираясь на свойства рядов и не прибегая к интегральному исчислению, т. е. более прямым способом, чем Коши.

п ер вы х н о м ер а х ж у р н а л а К р ел л я . У ж е в у к а за н н ы х р а б о т а х В е й ер ш т р а сс п о д ­

4 — 1024