книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Г л а в а II. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ПЕРВОГО МЕТОДА КОШИ

И МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И ПРИМЕНЕНИЕ ИХ К УРАВНЕНИЯМ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

§ 1. Исследования Липшица и других ученых по первому методу Коши

Коши проводил свое доказательство существования интегра­ ла уравнения (1.1), имея в виду непрерывность функции f(x, у)

вместе с ее частной производной ^ по х, у. Аналогичный метод

в 1868 г. при несколько менее ограничительных условиях был предложен профессором из Бонна Р. Липшицем (24). О суще­ ствовании первого метода Коши Липшиц, видимо, не знал, так

уравнений, он ссылался на Вейерштрасса и Врио и Буке, разви­ вавших метод мажорантных функций. В их работах проблема решалась для аналитических функций комплексной переменной. Автор же ставил себе целью найти ее решение для дифференци­ альных уравнений, содержащих действительные элементы и ког­ да не представлялось возможным немедленное решение вопроса обобщением на случай комплексной области. «Поэтому следует переместиться,— говорил он — на другую почву для установле­ ния условий возможности полного интегрирования» [207.2, 150]. При этом Липшиц утверждал, что ему не известно о какой-либо работе, имеющей точно такую же цель. Этот метод был изложен затем во втором томе учебника Липшица по анализу [207.3] в 1880 г., на который обычно и ссылаются в позднейшей литера­ туре (Пикар [235.5], Валле-Пуссен [268.2, 75] и др.). Некото­

где а — 1, 2, . . ., п\ функции /“ однозначны, непрерывны и ограни­ чены в области G, образованной множеством значений величин х,

50

(2.1) и которые для х = xQ принимают значения у* — у%. При этом система величин х0, у\, у\, . . ., у% должна находится внутри G, на

конечном расстоянии от ее границ.

Опираясь на вышеприведенные условия и рассматривая не­

ласти Я0 (когда переменная х принадлежала интервалу (Хо—А0, *о+А0), А0< а0), удовлетворяющих дифференциальным уравне­ ниям (2.1) и для х=Хо принимающих значения уа= у ао (207.2, 151].

В дальнейшем этот метод получил в литературе наименова­ ние метода Коши—Липшица. Его разработке и различным мо­ дификациям уделяли внимание многие ученые как в конце XIX, так и в начале XX века. Исследования были связаны с даль­ нейшим прогрессом анализа, новыми понятиями интеграла, раз­ витием теории функций и теории множеств. Видоизмененное доказательство собственно метода Коши было предложено Цейтеном [281] в 1880 г., а через год В. Вольтерра [271.1] пред­ ложил доказательство метода Липшица, несколько расширив его условия. Его идея нашла графическую интерпретацию в бо­

лее поздней работе Пиччиати.

Некоторое обобщение условий Липшица находим в заметке А. Розенблата [250.2], где для доказательства существования един­ ственного интеграла уравнения (1.1) при начальных условиях х = 0,

где k > 0, 0 < т < 1, х > 0.

Далее проводилось уточнение интервала сходимости реше­ ний и их зависимости от начальных данных. Так, рассматривая

в1895 г. систему типа (2.1) при выполнении условий, аналогич­ ных (2.2), и при непрерывности функций по каждой переменной

взаданных интервалах, Николетти доказал непрерывность и ко­ нечность интегралов по их начальным данным. Полученные ре­ зультаты он обобшил также для случая системы дифференци­ альных уравнений с частными производными. Несколько позже,

в 1899 г., аналогичная задача изучалась Эшерихом, но при бо­ лее ограничительных условиях. Но еще раньше, при условиях менее ограничительных, чем у Николетти (без условий (2.2)), его основные результаты получены Пеано [232.4]. В это же вре­ мя несколько работ посвятили данному вопросу Пенлеве [228. 13.—15.] и Пикар [235.19.—21.]. Незадолго перед тем Пенлеве (25) было доказано, что аналитическая функция действительно­ го переменного в данном интервале может быть разложена в ряд полиномов, коэффициенты которых линейно зависят от зна­ чений функции и ее производных для t = t0.

На заседании академии 5 июня 1899 г. Пикар (26) заявил, что интеграл х уравнения х\ = f (х , t), где /, f'x, непрерывны по х и

t в интервале (/0, /0 -)- а) и при t = t0, х = х0, может быть представ­ лен рядом

Pt (х0, t) + р2{х0, 0 + ... + рп(Х0, *) + ...,

сходящимся в интервале (/0, t0+ а) и равномерно сходящимся в ин­ тервале (t0, /0 + а1), где а 1 < а. Полученный результат Пикар рас­ пространил и на систему

d x.

—дР = А) {Xi, х2) . . ч хп), і — 1, 2, . . . , п,

где Х і — полиномы.

Он отметил также возможность распространения новых идей с небольшими изменениями и на комплексную область.

Через два дня — на заседании французского математическо­ го общества 7 июня — доклад с развитием этой темы сделал Пенлеве. Здесь он подчеркнул, что важным свойством метода Коши есть то, что он дает сходимость в любом интервале а, ß, где решение регулярно, и что оно сходится равномерно в любом интервале внутри (а, ß). Пенлеве сообщил при этом, что он ис­ ходил из указанного предположения при изучении движения материальной системы в наибольшем возможном интервале вре­ мени и с минимумом предположений относительно непрерывно­ сти [228.15, 151]. Он применил эту теорему к решению различ­ ных проблем динамики, а особенно к задаче трех тел.

Сравнивая интервалы сходимости интегралов по трем мето­ дам, Пенлеве пришел к выводу, что метод Коши—Липшица не только наиболее прост, но определяет решение в наибольшем интервале непрерывности, т. е. во всем интервале, где оно непре­ рывно и однозначно определено начальными условиями, что нельзя утверждать о методе последовательных приближений. Этому же вопросу с некоторыми уточнениями было посвящено выступление Пенлеве на заседании Академии 19 июня. Здесь он говорил более подробно о разложении решений в ряд полиномов в интервале их регулярности.

Важным шагом в развитии вопроса была работа Пеано [232.2], где доказывалось, что для системы вида (2.1) при усло­

52

опубликовал доказательство аналогичной теоремы для случая уравнения первого порядка другим, более просто изложенным методом.

Методическая разработка и изложение результатов Пеано для системы уравнений в привычной тогда для большинства ма­ тематиков форме была выполнена Ми в 1893 г. 1 [216.2].

Вэто же время публиковалась серия работ Валле-Пуссена.

Взаметке [268.1] он предложил более простое доказательство существования системы интегралов при предположениях, подоб­ ных тем, что и у Пеано. Существенным шагом вперед была ста­

тья монографического характера [268.2], на которую автор был вдохновлен, по его свидетельству, мемуаром Дарбу о разрывных функциях [130.5] и соответствующей заметкой Жордана в тре­ тьем томе его трактата по анализу [186.3]. В статье дается рас­ пространение понятия интегрируемости в смысле Римана на дифференциальные уравнения с двумя переменными. Тем самым доказывается возможность интегрирования уравнений (1.1) при условии, когда / разрывна по х (но интегрируема) и непрерывна по у. Изучается также частный случай интегрируемости такого уравнения, когда f разрывна (но интегрируема) по у и х. Во вто­ рой части полученные результаты обобщаются на системы и дифференциальные уравнения п-го порядка. В заключение ав­ тор сравнивает методы доказательства теоремы существования решений у Коши, Пикара, Пеано и свое. Наиболее глубоким, а также применимым практически он считает метод Коши. Свое доказательство он вполне резонно рассматривает как обобщение метода Коши, «и ни по объекту, ни по характеру не имеющему никакой аналогии» с тем же у Пеано [268.2, 81]. В связи с этим

1 С м . о м е т о д е П е а н о [6, 12— 1 7 |.

53

отметим неточность информации Пенлеве [228.27, 12], согласно которой эта работа рассматривается как упрощение и дополне­ ние результатов Пеано. Некоторые точки соприкосновения в данной работе у Валле-Пуссена (часть 1) были с работой Пеано 1886 г. [232.1]. Добавим еще, что метод Валле-Пуссена мог быть использован и для приближенных вычислений. Несколько позже [268.3] он дал доказательство теоремы о непрерывности инте­ грала уравнения y'=f(x, у, а), когда для х = х 0 У = Уо(а), по х и а и о непрерывности его частных производных по х и а до п-го

нечных систем дифференциальных уравнений трактовался в ра­ ботах X. фон Коха, в частности в [193.3].

Дальнейшее развитие на основе рассмотрения последователь­ ностей функций и новейших результатов общей теории функций действительного переменного эта тема получила в работах Арчела, Осгуда, Монтеля, Перрона, Кнезера, Северини, Каратеодори и др.

В этих работах доказывалось разными способами существо­ вание решения уравнения (1.1) в предположении только непре­ рывности правой части. Для доказательства единственности требовалось накладывать на правую часть уравнения как функ­ цию от у некоторые ограничения. Но могла ли сохраняться единственность решений в некоторых точках, если таких ограни­ чений не накладывать? Этот важный вопрос в отрицательном смысле был решен Лаврентьевым [36]. Для построенного им дифференциального уравнения вида (1.1) с непрерывной пра­ вой частью ни одна точка области не была точкой единствен­ ности. Через каждую из них (являющуюся точкой ветвления) проходит бесконечное множество интегральных кривых. Для случая трехмерного пространства аналогичный вопрос рас­ смотрен Бокштейном [6].

Изучению вопроса о единственности решений дифференци­ альных уравнений посвящены работы Аркаиса, Тамаркина, Бомпиани, Перрона, Тонллеи, Нагумо и др. Ограниченность объема работы не позволяет нам даже кратко остановиться на всех этих интересных результатах.

§2. Применение метода Коши—Липшица

ккомплексной области

Этот вопрос явно и подробно впервые изучен Пикаром в 1888 г. [235.7] в связи с уточнением области сходимости инте­ гралов уравнения (1.1). Здесь рассматривалась функция f(x,y), голоморфная по х, у, когда последние изменялись внутри окруж­ ностей С и Си соответственно имеющих центры Хо и уо и радиу­ сы а и Ь, для которой M = max|/(x, у) |, когда х, у изменяются

54

на этих окружностях. Пикар имел в виду расширить найденный

нечных приращений, обобщенную Дарбу для функций комплекс­

строена окружность с центром в Хо и радиуса Л, так что точка х находится внутри ее. Соединяя Хо с х прямой, Пикар применяет метод Коши, рассматривая уравнение (1.1) как предел уравне­ ния в разностях. Сегмент хох делится на п частей, строится си­

тервалы стремятся к нулю, а их число неограниченно возраста­ ет. Разбивая отрезок х0х другим способом и произведя оценку модуля разности значений функции при первом ( у ) и втором

х0х. Итак, для каждой точки х из окружности с центром Хо и ра­

м о ж н о бы л о за м ен и т ь д р у ги м и с р а д и у с а м и а — е и 6 — ц , г д е 8, г) — ф и к си р о ­

ван н ы е, н о как у г о д н о м ал ы е величины .

55

скую функцию от X , голоморфную в круге радиуса А. При этом Пикар исходит из положения, что последовательность величин, найденных для у, должна необходимо совпадать с той, которая

ние интеграла сходящееся и соответствующая величина у будет внутри С/. Чтобы рассмотреть продолжение предыдущего раз­ ложения вне Г, берется точка Х \ внутри, но довольно близкая к окружности Г. Тогда можно получить сходящееся разложение внутри окружности Гі с центром Х \ и радиусом р.

Круг Г I выходит за пределы Г. Беря затем последовательно точки Хі на том же расстоянии от х0, мы получим последова­ тельность окружностей Г, и интеграл будет, очевидно, голоморф­ ным внутри области, ограниченной внешней огибающей этих окружностей, т. е. внутри окружности Г' (рис. 1).

Чтобы убедиться в этом, нужно сделать заключение относи­ тельно Г' так, как это обосновано для Г, т. е. надо, чтобы для любой точки кольца внутри Г, Г' соответственная величина у была бы внутри окружности С/. Иначе говоря, радиус круга Г'

должен быть меньше меньшего из количеств а—е и —jp- (2.5).

Но это становится очевидным из изложенного раньше, если рас­ сматривать движение от х 0 к точке х круга Г' по прямолинейно­ му пути и вычислять величины у по предыдущему методу. Най­ денное так значение у будет удовлетворять условию |у—г/01< <Ь—г]. Оставив то же р, можно перейти от круга Г' к третьему кругу Г" и т. д. до того, пока радиус этих окружностей последо-

56

вательно станет равным меньшей из величин (2.5). Но так как е и т] — независимые, как угодно малые величины, то приходим к выводу, что интегралы уравнений (1.1), принимающие для х = х 0 значение у 0, есть голоморфные функции внутри круга, ра­

ь

<. М следует из очевидного: 1—е~х<2х.

Была указана возможность распространения полученных ре­ зультатов также на системы дифференциальных уравнений, или

наук Казанского общества естествоиспытателей в следующем 1889 г. Здесь он предложил другое, по его словам, «более стро­ гое» непосредственное доказательство определения области схо­ димости, основанное на отыскании предела, к которому стремит­ ся сумма величин, определяемых формулами

Пикара на случай системы двух уравнений первого порядка с двумя функциями.

§ 3. Развитие метода последовательных приближениЗ

0 применении этого метода специально к линейным уравне­ ниям речь будет далее. Здесь же мы сразу отметим, что общую глубокую теоретическую разработку этого метода и широкое его применение к доказательству существования интегралов различ­ ных типов дифференциальных уравнений первым дал Э. Пикар в своих многочисленных работах. Этим и обусловлено часто 'встречающееся в литературе ошибочное мнение о Пикаре, как чуть ли не единоличном создателе данного метода. Естественно, роль и заслуги Пикара в развитии этого метода не будут умале­

1 С м . о б эт о м в гл. III.

57

ны, если употреблять исторически сложившееся его название, к тому же весьма удачно выражающее его сущность.

Любопытно отметить, что идею метода последовательных приближений Пикар впервые применил в 1888 г. для отыскания интеграла уравнения

в сообщении [235.6]. В заключение он указывал, что этот метод, которым может быть достигнута дополнительная польза для изучения общего линейного уравнения, был уже использован 1 Шварцем в частном случае для уравнения

д2и , д2и „

Их* + ~д? + си = °-

Через несколько месяцев, в заметке [235.8], Пикар говорит уже, что предложенный им в прошлом году метод, «который на самом деле есть метод последовательных приближений» может быть с успехом применен для уравнений нелинейных.

В январе 1890 г. он выступил с докладом [235.10], где ука­ занный выше способ уже довольно методично применялся для отыскания интеграла уравнения вида

теграл уравнения вместе с его частными производными двух пер­ вых порядков оставался непрерывным внутри некоторого замк­ нутого контура С, и давались условия для границ интеграла вдоль этого контура. Изучение последовательности ип показы­ вало, что она сходится к определенному пределу, когда контур С удовлетворял данным условиям. В этом случае получался ин­ теграл уравнения, принимающий на контуре заданные значения. Здесь же был рассмотрен и вопрос о единственности интеграла для уравнения Au = F(u, х, у), когда F «хорошо определена и конечная», положительна и монотонно возрастающая с и.

Эта тема была подробно освещена в большой статье Пикара [235.11], (1890 г.) с ней обычно и связывается начало разработки метода Пикара (Пенлеве [228.21, 199; 228,27, 13]); Белл [97, 411] указывает в связи с этим лишь 1893 г. Пятую главу мемуара [235.11] Пикар посвятил применению метода последователь­ ных приближений («метода, который,— говорил автор,— мне удалось сделать употребительным» [235, 11, 149]) к вычислению

1 Метод последовательных приближений до того был применен для интег­ рирования отдельных видов уравнений в частных производных Сан-Венаном

(1870 г.), Комбескурой (1872) и др.

58

интегралов системы дифференциаль­ ных уравнений вида

і = 1, 2, . . т.

Этот же метод применялся им и к системе уравнений с частными производными.

предположении, что функция f действительных переменных опре­

*0

X

.Мр < Ь. То же будет и для любого ус — ^ / (yt_ v х) dx 4- у 0.

отмечает, что, очевидно, можно применить тот же метод дока­ зательства, если f есть аналитическая функция комплексных переменных х и у. После этого дается применение метода к бо­ лее сложным уравнениям.

Подробней вопрос для системы обыкновенных дифферен­ циальных уравнений первого порядка был изложен в серии за­ меток следующего года. В ответ на одну из них Пеано отметил [232.3, 80], что доказательство существования системы интеграллов можно дать и без условий Липшица (это им было уже сделано, см. § 2), а наличия этой гипотезы достаточно для дока­ зательства единственности решений; оно было им выполнено методом от противного в краткой и ясной форме и перешло в учебную литературу. Разработке, дополнению и приложениям метода последовательных приближений к теории дифференци­

59