книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

сматривая уравнение третьего порядка, которому удовлетворя­ ет модулярная функция

+ t2-1—^-G(y)= 0. Итак, исходное уравнение приводимо квадра­

турами к уравнению Риккати, и модулярная функция ср(х) при­ водима к трансцендентным, порожденным уравнениями первого порядка, если понятие приводимости брать в его наиболее общем смысле. Но в смысле, указанном Пенлеве, функция у = ц>{х) остается неприводимой к трансцендентным, которые порожда­ ются уравнением первого порядка. Классификация трансцен­ дентных функций, порожденных дифференциальными уравне­ ниями, рассматривается по порядкам, классам и рангам. Затем изучаются свойства интегралов приводимых и неприводимых уравнений.

Среди других при этом устанавливается теорема о том, что для неприводимости уравнения Е„ особого класса (алгебра­ ического по у", у', у, х) необходимо и достаточно, чтобы его ин­ теграл был бы функцией трансцендентной (и не полутрансцен­ дентной) двух констант. Автор рассматривает построение та­ ких уравнений Еі второго порядка с неподвижными критиче­ скими точками, интегралы которых есть функции однозначные от уо, Уо', остающиеся трансцендентными по отношению к двум константам, каковы бы ни были константы, подставляемые в

Уо, Уо-

Что же касается отыскания всех неприводимых уравнений Еп особого класса, то эта интересная проблема требовала еще многих исследований. Для более простого случая уравнения (8.13) она была решена, и это также нашло отражение в «Лек­ циях». Там же были определены все уравнения вида

жанра выше нуля, интегралы которых имели только подвижные полюсы. В этих случаях они представлялись алгебраическими или полутрансцендентными функциями констант. Здесь же бы­ ли намечены пути и методы изучения интегралов уравнений

(8.16).

210

§ 3. Дальнейшее развитие метода.

Исследование уравнения у" — R (х, у , у').

Уравнения с неподвижными критическими точками

Существенное развитие и дополнения к предыдущим резуль­ татам, применение метода малого параметра, а вместе с тем и завершение основ теории уравнений второго порядка выполнил Пенлеве в 1898—1902 гг. В ряде сообщений и мемуарах [228. 22.—23] основное внимание уделяется анализу уравнения

и установлению отдельных его видов, обладающих однозначны­ ми интегралами, их классификации и исследованию отдельных видов.

В первой заметке из этого цикла работ рассматривалось уравнение (8.18), где R — рациональная дробь по у', у с коэф­ фициентами— аналитическими функциями от х (условие А). Автор прежде всего отмечает, что задача построения всех урав­ нений вида (8.18) с неподвижными критическими точками на­ талкивалась на трудности, казавшиеся непреодолимыми. В про­ цессе их изучения Пенлеве удалось найти метод, позволивший ему обособить такие дифференциальные уравнения и внесший, как он и предполагал, заметный прогресс в решение вышеука­ занной задачи. Прежде всего интеграл у(х) уравнения (8.18) не должен допускать критических алгебраических точек. Тогда, как известно, R является полиномом по у' не выше второй степени

в коэффициентах которого, как установил автор, у может быть не выше, чем в шестой степени. Подходящей заменой перемен­ ных вида У = ф(У, А), х = ф(А), где алгебраическая функция ф очень простая от У и такая, что У (А) обладает по-прежнему только неподвижными критическими точками, можно привести уравнение (8.18) к одному из таких четырех типов, где А,- — по­ линомы степени / по у, зависимые аналитически от х:

IУ" = У'Рі + Р3'

II УУ" = У'2 + У’Рг + Р*\

ІИ (4ys - g2y - g3) У" = у'2(бу* - fS) + У'Р4 + Ре,

где g2, ga — числа;

IV у (у — \)(у — х)У" = ^ [ З г /2 — 2*/(1 + * ) + * ] + у'Рх + Р6.

Если предположить в (8.18) R рациональной по у', алгебраи­ ческой по у, аналитической по х (условие В), то можно выразить у" в форме у" = р(у', У, 2, х), где р — рационально по у', у, z и где 2 связано с у алгебраически (зависимо ст х) соотношением

жанр 0 или 1. Если она жанра 0, уравнение приводится алгебра­ ически к одному из указанных четырех типов: если она жанра 1, то уравнение приводится алгебраически к одному из других двух типов (V, VI), которые мы не выписываем.

Таким образом, любое уравнение (8.18) с неподвижными критическими точками (при условии В) приводится алгебраиче­ ски к одному из шести указанных типов, которые могли иметь только неподвижные критические точки.

Так стал разрабатываться новый метод и применяться к установлению нужных типов уравнений, хотя о сущности его почти ничего не говорилось. Это весьма примечательно. Пенлеве стремился, видимо, лишь закрепить за собой новые результаты и до исчерпания основной их части не спешил излагать идею самого метода.

В следующих заметках приводился анализ вышеуказанных

т. е. не приводились к известным. А их интегралы оказались не­ приводимыми к однозначным трансцендентным, порожденным линейными уравнениями, абелевым функциям и их комбинаци­ ям. Здесь же было показано, что интеграл уравнения (Е) пред­ ставляет собой мероморфную функцию во всей плоскости, а так­ же содержит две константы трансцендентным способом. Он

=(log«)"

Втретьей из заметок [228.12] исследовался с такой же це­ лью II тип уравнений (8.18) (при условии В). Среди найденных восьми видов автор отметил уравнение 2

и еще два, которые, как он полагал, могли порождать новые трансцендентные. Это утверждение оказалось справедливым относительно уравнения (А). Так был завершен первый этап

212

установления таблицы уравнений вида (8.18) (при условии В) с неподвижными критическими точками. В сводной таблице [228.12, четвертая публ.] приводилось три класса, объединяю­ щие 13 типов уравнений. Среди них Пенлеве отметил три, инте­ гралы которых содержали две константы трансцендентным об­ разом и которые могли вести к появлению новых трансцеденткых.

Далее Пенлеве в заметках [228.14] решает обратную задачу: является ли заданное уравнение (8.18) уравнением с критиче­ скими неподвижными точками, и если оно таково, то как про­ интегрировать его или привести к неприводимой канонической форме. Эта задача решается алгебраическим процессом в пер­ вой заметке при условии (А), во второй — при условии (В).

В первом случае указывается два условия: 1) необходимое относительно формы коэффициента А в (8.19); 2) о совпадении после преобразования данного уравнения с одним из видов при­ веденной таблицы, содержащей 23 типа. Во втором сообщении к предыдущим типам добавляется еще два. Полученный резуль­ тат резюмировался в форме теоремы о том, что относительно уравнений вида (8.18) с помощью конечного числа простых алге­ браических операций можно узнать, имеет ли оно критические точки неподвижными, и если это так, оно приводится к одному из указанных 25 типов. Но все же имелся один исключительный, когда уравнение (8.18) приводилось к 24 типу, единственно об­ ладавшему интегралом с существенно особыми подвижными изолированными точками. Из указанных 25 типов было шесть, приводившихся к четырем неприводимым Е, Еь В2* и еще одно­ му, записанному с опечаткой. Установленные результаты позво­ ляли затем решить еще две проблемы: установить все уравне­ ния вида (8.18) с неподвижными критическими точками: 1) ког­ да Я рационально по у', алгебраично по у и х; 2) когда R — рационально по у', алгебраично по у и не зависит от х.

Достигнутые результаты позволили Пенлеве установить не­ сколько общих теорем и относительно уравнения с неподвижны­

где F — полином по у", у', у и аналитичен по х. Для уравнений этого вида следует различать те же два общих случая относи­ тельно характера зависимости интеграла от констант (алгебраи­ чески или трансцендентно). При этом были строго доказаны теоремы, высказанные ранее в «Лекциях», как вероятные, и, в

213

частности, о том, что если интеграл уравнения (8.20), обладая неподвижными критическими точками, имеет подвижные суще­ ственно особые точки, то последние являются изолированными,

иуравнение не неприводимо.

Всообщении [228.16] Пенлеве говорит о применении разра­

ботанного метода для явного установления уравнений (8.18) с неподвижными критическими точками к системе двух уравнений с двумя неизвестными функциями, а также к уравнениям третьего порядка. Именно здесь (в марте 1900 г.), видимо, впервые были подробно сформулированы и изложены основные идеи его мето­ да. В различных вариантах эти положения излагались также в следующем сообщении [228.15] и в больших статьях моногра­ фического характера [228.22.—23].

эти условия достаточными или нет. Сущность метода для опре­ деленности излагалась применительно к системе

где А, В, С — полиномы по своим переменным.

Идея первой части метода весьма проста. Если дифференци­ альная система зависит аналитически от некоторого параметра а, а ¥ = 0 и при этом ее общий интеграл имеет неподвижные кри­ тические точки, то это свойство интеграла сохраняется и при а = 0. В более общей форме это можно выразить так, что разло­ жения неизвестных функций у(х), z(x) по возрастающим степе­ ням а будут иметь коэффициентами функции с неподвижными критическими точками. Сформулированная лемма есть следст­ вие известного, ставшего классическим метода Пуанкаре, о ко­ тором мы упоминали раньше. Для применения к данной системе Пенлеве вводит в нее параметр а таким образом, что для неко­ торого а новая система имеет неподвижные критические точки вместе с данной и при а = 0 становится интегрируемой. Тогда в разложении неизвестных функций по возрастающим степеням а коэффициенты можно определить квадратурами. При этом усло­ вия однозначности коэффициентов при обходе по некоторому замкнутому пути и являются необходимыми для однозначности интегралов.

Уравнения S0, полученные в результате указанного построе­ ния при а = 0, Пенлеве назвал упрощенными. Предыдущий ме­ тод можно применить к упрощенной системе при указанных вы­ ше так называемых первых условиях, а затем повторять его сно­ ва до тех пор, пока не получится новых условий.

1 Особенно подробно и с примерами он изложен в [228. 23].

214

Так, применяя этот процесс к уравнению (8.18), прежде все­ го видим, что R (это нам уже известно другим путем) должен быть полиномом второй степени по у' [см. (8.19)], где А, В, С — рациональные дроби по у и аналитические по х. Положив затем

Если предыдущие (необходимые) условия были выполнены, то система не могла обладать подвижными критическими точ­ ками алгебраическими. Но могли существовать подвижные су­ щественно особые точки. Чтобы доказать их отсутствие, приме­ нялся следующий метод. Устанавливалось, что если а есть особенность решений у(х), z(x) системы (S), то существуют величины X, как угодно близкие к а, для которых у{х), z(x) при­ нимают значения, близкие к некоторым значениям Ь, с (конеч­ ным или нет); эти величины а, Ь, с такие, что в их окрестности

z(x) есть полюсы.

Чтобы показать существование подвижных трансцендентных особых точек, в систему (5) вводится еще такой параметр а, когда для некоторого его значения все особенности новой си­ стемы так же, как и старой, являлись неподвижными. Если для а = 0 система интегрировалась и если интегрирование выявляло подвижные трансцендентные особенности, то такие особенности существовали тем более для (S).

Первая часть метода без особых трудностей могла прим-е- няться к дифференциальной системе любого порядка. Но как отмечал Пенлеве, усложнение второй части метода возрастало с порядком системы. Когда существовали подвижные трансцен­ дентные особенности, необходимо было к первым условиям до­ бавлять новые, трансцендентного характера. «Но тогда,— гово­ рил он,— нельзя надеяться узнать с помощью конечного числа операций, имеет ли в самом деле такая система (S) критические точки неподвижными; но можно доказать, что класс данных си­ стем (S) содержит системы с критическими неподвижными точ­ ками» [228.16, 769]. Это проходило, например, для уравнений третьего порядка, которые определяют фуксовы функции. При­ менение метода к уравнениям (8.18) показывало, что первые условия — алгебраические и достаточны для того, чтобы общий интеграл не имел других подвижных особенностей, кроме полю­ сов; исключение представлял единственный тип, интегрируемый в квадратурах; этот тип обладал подвижными существенно осо­ быми точками. В заключение отмечалось, что рассматриваемый

215

тическими точками. Среди них указывалось пять уравнений,, интегралы которых являются функциями существенно транс­ цендентными двух констант. Из них отмечены лишь уравнения трех видов (Е), (Е ^, (А), которые порождали новые мероморфные функции. В целом же были проанализированы десятки уравнений общего вида (8.18) и отдельных частных случаев при различных предположениях относительно характера зависимо­ сти R от входящих в нее переменных.

С помощью составленных таблиц таких канонических урав­ нений с неподвижными критическими точками решалась обрат­ ная задача о принадлежности отдельных видов уравнения (8.18) (как при условии А, так и при условии В) к данному классу.

Развитый Пенлеве метод, как видим, оказался весьма эффек­ тивным для решения важнейшей проблемы, стоявшей тогда на порядке дня, об исследовании интегралов уравнений второго по­ рядка. Полученные благодаря этому принципиально новые ре­ зультаты, в частности открытие новых трансцендентных, их исследование и характер зависимости от произвольных констант, имели огромное научное значение, открывали перспективу воз­ можности исследования уравнения третьего и более высоких порядков, к чему и приступил Пенлеве.

Но этот метод мог быть полезен не только для решения рас­ смотренного круга проблем; его значение несколько шире. На это указывал и сам Пенлеве [228.19].

Мы уже отмечали важность применения общих методов ана­ литической теории и полученных благодаря этому результатов- в работах С. В. Ковалевской относительно движения тяжелого тела около неподвижной точки. Новые результаты Пенлеве су­ щественно дополняли идеи Ковалевской в постановке проблемы, рационализировали путь ее решения и вели к изучению вопро­ са об определении всех случаев, когда движение тяжелого тела определяется однозначными функциями времени t.

Как второй случай применения можно указать вопрос обра­ щения полных дифференциалов, удовлетворяющих системе урав­ нений

Р (дг, у) dx + Q(х, у) dy = du-, Рг(х, у) dx + Qj (х, у) dy = dv,

в которой следует определить такой случай однозначности функ­ ций х(и, ѵ), у {и, ѵ). Если левые части этих уравнений — точные дифференциалы первого вида, то х(и, ѵ), у (и, ѵ) являются не­ вырожденными абелевыми функциями. Тогда рассматриваемый метод позволяет представить их в форме отношения целых функ­ ций, удовлетворяющих весьма простой алгебраической системе дифференциальных уравнений. Можно было бы таким образом построить всю теорию абелевых функций на более простых осно­

ваниях.

Как на другие виды применений метода укажем на исследо­ вание случая, когда общий интеграл системы дифференциаль­

217

ных уравнений не допускает трансцендентных особенностей, а также на исследование интегралов дифференциальных систем

вдействительной области

§4. Дополнения результатов Пенлеве

вработах других ученых. Новые виды неприводимых уравнений второго порядка

Исследования Пенлеве очень скоро стали достоянием мате­ матиков разных стран и вызвали множество работ, дополняю­ щих его результаты в различных аспектах. Одним из первых откликнулся известный русский математик В. П. Ермаков (68), предложивший в [24.2] свой метод установления критических то­ чек и их характера в интегралах дифференциальных уравнений. Идея его состояла в несколько ином подходе к построению упро­ щенного уравнения, дифференцированием по параметру а. Здесь же был изложен метод Ковалевской и отмечена полезность ком­ бинации ее метода и метода Пенлеве. Это была первая статья по данной проблеме на русском языке и автор уделил здесь вни­ мание также общему обзору вопроса.

Некоторые виды уравнений (8.18), общие интегралы которых F(x, у , а, Ь)= 0, где F — полином по а, Ь, коэффициенты кото­ рого есть функции по х и у, в том же 1902 г. изучал Адамар в [166.2]. При этом X, у рассматривались как данные, а величины а, b как текущие координаты. Тогда уравнение F = 0 представля­ ло некоторую алгебраическую кривую как место точек а, b при произвольных константах х, у . Изучение дифференциального уравнения этих кривых, названных автором «коррелятивными интегралами», и составляло основное содержание его статьи.

Несколько позже Борель (69) заинтересовался в [105.2] ви­

виях. Автор отметил интересный факт, что для таких уравнений, исследованных главным образом Пенлеве, совокупность членов высшего веса по отношению к индексам производных совпадает с инвариантами некоторых бинарных (особенно квадратичных и биквадратичных) форм, коэффициенты которых образуются из зависимой переменной и ее последовательных производных. Так, для уравнения (Е) функция (интеграл) у есть вторая лога­ рифмическая производная функции и, удовлетворяющей урав­ нению (uv)4 = u02z. Публикуя эту заметку, Борель следовал при­ водимому ниже высказыванию Эрмита: «внимательное наблю­ дение аналитических фактов есть плодотворнейший источник математических открытий». Некоторые дополнения к этой статье были предложены затем Шази [124.1 и др.].

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускаю-

1 Подробнее об этом см. в [228.19, 499].

218

щие конечную непрерывную группу алгебраических преобразований (со­ держащую два параметра) и их пре­ образование к четырем типам Пенлеве, рассмотрел Обрио в 1902 г.

Целую серию статей, посвященных трактовке неприводимости уравнений и, в частности, известного уравнения (Е), опубликовал Пенлеве в 1902 г. Они были вызваны заметками Р. Лиувилля [206 и др.], пытавшегося дока­ зать, что интегрирование уравнения (Е) может быть приведено через под­ ходящее преобразование к интегриро­ ванию одного линейного дифференци­

ального уравнения четвертого порядка Эмиль Борель (1871— 1956), с алгебраическими коэффициентами.

Пенлеве показал в связи с этим, что заключение Лиувилля имеет место для любого дифференциального уравнения второго поряд­ ка. Источник заблуждения Пенлеве видел в том, что эффективное построение подобного преобразования требует выполнения инте­ грации, которая эквивалентна интегрированию предложенного дифференциального уравнения, и доказывает неприводимость уравнения (Е) в смысле Драша таким образом, что оно не мо­ жет быть приведено формальным интеграционным процессом.

Как уже отмечалось и раньше, между дифференциальными уравнениями с неподвижными критическими точками и теорией линейных уравнений существует весьма тесная и своеобразная связь, установленная еще при первых исследованиях уравнения Риккати. В дальнейшем этот вопрос был предметом ряда иссле­ дований Шлезингера, Р. Фукса, Бутру и др. для уравнений второго порядка '. Так, в ряде статей [154.2.—3. и др.] Рихард Фукс (70) вслед за Шлезингером изучил характер связи линейных дифференциальных уравнений второго порядка, груп­ па подстановок которых независима от входящего в коэффици­ енты уравнения параметра с дифференциальными уравнениями второго порядка с неподвижными критическими точками. Бла­ годаря этому углубляется анализ уравнений, а также получено уравнение этого вида весьма общей формы, которое автор иссле­ довал, в частности, и на предмет аналитического представления его общего интеграла в окрестности неподвижных критических точек 0, 1, оо. Таким образом, была обнаружена еще одна форма связи двух основных ветвей рассматриваемой теории.

Следующий цикл работ по рассматриваемой проблеме, вклю­ чающий как заметку [228.24] Пенлеве, так и ряд статей его уче­ ника Гамбье, связан с дальнейшим пополнением установленной Пенлеве таблицы уравнений вида (8.19) с неподвижными кри-

1 См. об этом подробнее в [109.6, partie 7, § 29].

219