книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

F(x0, Уо, у')=0 будут кратны или бесконечны. Применив затем предыдущие рассуждения, положив для (5.35) u = ta и учтя про­ веденную замену переменных, он получает разложение

В силу сделанных предположений go отлично от тождественного нуля и в области В можно выбрать произвольную точку Хо¥=0.

Затем для (5.36) исследуются случаи:

1. &<0, при котором получается разложение

(где а—&>1; С,-— константы), из которого следует, что t, так­ же и, а значит, и интеграл у в х—х0 разветвляется. Отюда следу­ ет, что если произвольная точка х = х 0 не является критической, то k не должно принимать отрицательных значений, т. е. урав­ нение (5.34) для н = 0 не должно обладать бесконечно большим корнем V. Тогда, согласно предположению, это уравнение для «==0 обладает многими корнями о= 0, откуда следует

Итак, если г] корень уравнения (5.33) определен так, что алгебраическая функция у' от у при произвольном х разветвля­ ется в у = т), t/'=£, то £ должно совпадать с производной от rj, т. е. т} должно быть интегралом уравнения (5.31). Но если

£— = 0 , то для случая а—1—k>0 следует, что у может

разветвляться в x=Xq. Поэтому должно быть k~^a—1, когда t станет или тождественным нулем, или в окрестности х —Хо одно­ значным. Т. е., когда для алгебраической функции у' от у при произвольном X точка у —rj, */'=£ есть (а—1)-кратная точка раз­ ветвления, то уравнение F(x, у, £)=0 с неизвестным у должно

150

ется в точке у=г\, у' = Ъ\.

Проведя еще ряд дополнительных рассуждений, автор резю­ мировал полученный результат в форме теоремы: необходимы­ ми и достаточными условиями того, чтобы интеграл уравнения (5.31) обладал неподвижными критическими точками, являются следующие:

1. Уравнение (5.31) имеет форму

для которого определенная через (5.39) алгебраическая функ­ ция у' от у разветвляется, то ц есть интеграл уравнения (5.39). В представляющей у' как алгебраическую функцию от у римановой поверхности у' имеет во всех лежащих над у = т\ точках

вали вместе с тем и конечность числа особых точек интегралов таких уравнений.

В заключение работы рассматривается интересный случай, когда алгебраическая функция у' от у, определенная уравнени­

рых были непосредственно получены известные результаты Врио и Буке.

При этом в случае жанра р—0, как показал Фукс, рассматри­ ваемое уравнение с неподвижными критическими точками при­ водится к известному уравнению Риккати, а для р = 1 урав­ нение F(z, у, у') —0 принимало форму

ÄF = А) + A^t + A2t2+ Аа V R (t),

где Aj — функция от z и R — полином четвертой степени по t, коэффициенты которого — функции от г, удовлетворяющие со­ отношению

§ + f - ( A , + Ajt + A f ) = (В0 + Bxt) R,

где B0>Bi являются функциями от z.

151

Эти результаты опубликованы в протоколах заседаний Бер­ линской академии за 26 июня 1884 г., а в протоколах Париж­ ской академии за 15 июля того же года появилась уже заметка Пуанкаре [237.8], где развивался и дополнялся последний ре­ зультат (для случая р —1) об интегрируемости уравнения в квадратурах, а случай р > 1 трактовался как представляющий алгебраический интеграл.

В скором времени на эту же тему появилась и большая ста­ тья Пуанкаре [237.13]. Здесь после изложения условий Фукса для уравнения F(z, у, у ')= 0 (5.40) было указано, что, иными словами, уравнение (5.40) должно удовлетворять таким усло­ виям:

1. Функция у', определенная этим уравнением, может стать бесконечно большой, когда у будет тоже бесконечной, или для некоторых частных значений z.

нет Е, {г, ух, у,') = 0, где у\ может стать бесконечностью при у, = О для некоторых частных значений г.

3. Уравнения —_ = 0 будут определять особые интегралы урав­

нения (5.40).

Q— целые полиномы по у и у' с коэффициентами-функциями от г. Сначала Пуанкаре надеялся открыть новый класс диффе­ ренциальных уравнений, интегрируемых в фуксовых трансцен­ дентных. Скоро он, однако, убедился, что уравнения первого порядка, удовлетворяющие условиям Фукса, не содержат ре­ ально новых видов дифференциальных уравнений, определяю­ щих неизвестные до того функции. При этом он уделил особое внимание изучению роли величины жанра р поверхности, опре­ деляемой алгебраическим уравнением F(z, у, у ')= 0 между у и у' (при параметре z). Подробное изучение случая р= 1 не при­ вело его к существенно новым классам уравнений. Пуанкаре уделил много внимания исследованию случая р> 1, не рассмат­ риваемого Фуксом, существенно используя теорию преобразова­ ния поверхностей. При этом уравнение (5.40) рассматривалось как представляющее некоторую поверхность Римана S (по па­ раметру z). Так, значению z0 соответствовала S0 и т. д. Все по­ верхности S0, Si, ... имели те же самые модули, так как можно было перейти от поверхности S0 к Si и т. д. при помощи бирациональных преобразований. Следовательно, модули поверхно­ стей не зависели от z. Согласно известным теоремам о числе бирациональных преобразований поверхности рода р в себя автор указал, что для р — 0 они образовали непрерывную группу

152

с тремя параметрами (троекратная бесконечность), для р = 1— непрерывную группу с одним параметром (простая бесконеч­ ность преобразований), а для р> 1 в общем имелось только од­ но и лишь в особых случаях не более как конечное число таких преобразований. Последний факт давно известен, но схема его доказательства впервые предложена Клейном (58) в письме Пуанкаре в апреле 1882 г. [228.3, 16]. Далее Пуанкаре доказал существование алгебраического уравнения формы (5.40), алге­ браически интегрируемого, жанра р>1 и удовлетворяющего условиям Фукса. Процесс его интегрирования основывался на установлении вышеупомянутых однозначных преобразований двух эквивалентных поверхностей Римана одна в другую. Пуан­ каре отметил, что так поставленная проблема имела большую аналогию с задачей приведения арифметических форм. Таким образом, в случае р > 1 интегрирование указанных уравнений сводилось к чисто алгебраическим операциям. В заключение ав­ тор высказал предположение, что могут быть открыты сущест­ венно новые классы уравнений, интегрируемых в фуксовых трансцендентных, но среди уравнений высших порядков.

Рассмотренная работа Пуанкаре пролила новый свет на зна­ чение открытия Фукса для решения вопроса об алгебраической интегрируемости уравнений. В предыдущем параграфе мы встре­ чались с другими подходами к его решению, однако применение метода Фукса оказалось более надежным и вместе с тем весьма простым.

Дополняя свою работу, Фукс вскоре установил [153. 12], что интегралы алгебраических уравнений вида (5.40), с неподвиж­ ными критическими точками, являются аналитическими функ­ циями. Если рассмотреть в этом случае у как функцию от z, или наоборот, то оказывается, что алгебраические функции, пред­ ставлявшие у / как функцию от у и zy' как функцию от z, имеют ранг нуль или единицу. Здесь же был просто получен результат Якоби о невозможности обращения гиперэллиптических инте­ гралов в форме аналитических функций.

Рассмотренные исследования Фукса и Пуанкаре вызвали множество работ, дополнявших и развивавших их идеи. Из них укажем прежде всего на диссертацию [272.1] Валленберга (59), (1890 г.). Именно здесь уравнения, впервые рассмотренные Фук­ сом в [153.10], получили название фуксовых, как и соответст­ венные условия неподвижности критических точек. Подытожив сначала в новой методической обработке уже имевшиеся резуль­ таты, Валленберг исследовал затем подробно отдельные классы фуксовых уравнений: так называемые биномиальные, трехчлен­ ные (2—3-я часть), полные дифференциальные уравнения тре­ тьей степени (3-я часть) и другие (4-я часть), а также дал неко­ торые дополнения по исследованию фуксовых дифференциаль­ ных уравнений любой степени (5-я часть) и примеры (6-я часть). Исходя из III условия Фукса, Валленберг делает заклю­

153

чение о максимальном числе рода р алгебраической функции у'

степень 2т(т—1), а также устанавливает ряд других важных соотношений.

Дальнейшее исследование условий Фукса и Пуанкаре содер­ жится в статье [272.3] Валленберга и в большом мемуаре Пи­ кара [235.9], о котором речь будет далее. Вместе с тем в свете новых результатов рассматривался Валленбергом и другими волрос алгебраической интегрируемости уравнения первого поряд­ ка и связь его со Еторой производной от интеграла уравнения

(5.40).

Исследования Валленберга были дополнены в диссертации А. Краузе [196], изучившим специально дифференциальное уравнение фуксова типа первого порядка и четвертой степени.

Существенное дополнение к условиям Фукса предлагалось в заметке Хилла и Берри [176] (1911 г.). Авторы построили при­ мер дифференциального уравнения первого порядка, которое удовлетворяло условиям Фукса, но его интеграл имел подвиж­ ные критические течки, для которых у — бесконечно. Они отме­ тили, что Фукс, видимо, мало внимания обратил на тот случай, когда у может быть бесконечным в точке ветвления. Эту воз­ можность он рассматривал по существу при установлении его условия (1), согласно которому коэффициент при у'т в (5.39) должен быть независимым от у и мог быть заменен единицей. При­

меняя замену до = и используя условие 1), Фукс отмечал, что

коэффициент при до'т преобразованного уравнения должен быть независимым от до, не заметив, однако, что для преобразованно­ го уравнения необходимо также наличие условий 2) и 3). Но в случае такой замены каждый множитель у —г](z), (т^О ) дис­

криминанта D(z, у) представляет множитель до----дискри- Ч\Ч

минанта D'(z, до) преобразованного уравнения и для такого со­ множителя условия 2) и 3) автоматически удовлетворяют пре­ образованному уравнению, если они удовлетворяли исходному. Но так как D' может содержать множитель до, то соответствен­ ные условия могут или не могут быть удовлетворены. В связи с этим авторы предложили дополнить три известных условия Фукса четвертым.

4. В преобразованном подстановкой до= — уравнении долж-

У

ны сохраняться условия 2) и 3) в точках ветвления соответству­

Хилл и Берри первые указали на недостаточную корректность решения вопроса у Фукса, хотя необходимость проверки усло­

вий Фукса для преобразованного уравнения подстановкой —~

154

многих авторов более поздних учебных пособий по данному предмету.

Уточнение вопроса о необходимости условий Фукса было проведено Дюляком в заметке [137.6]. Исследование квадрат­ ного дифференциального уравнения первого порядка проведено Коэном в 1922 г. Применение понятий теории множеств к трак­ товке особенностей интегралов алгебраических уравнений с не­ подвижными критическими точками находим в более ранней статье Виванти. Общие идеи Бутру по изучению особых точек были применены Мальмквистом в интересной работе [211.4, 1] для исследования интегралов с неподвижными особыми точками

уравнения вида q (x ' у)~ (где Q — многочлены).

Исследованию систем дифференциальных уравнений некоторого вида с неподвижными критическими точками посвящались ста­ тьи Шлезингера, Гарнье и др.

§ 6. Неподвижность нулей и полюсов интегралов алгебраических дифференциальных уравнений. Исследования Петровича, Ремундоса ы Голубева

В тесной связи с проблемой неподвижности критических точек интегралов находится задача отыскания условий непо­ движности других характерных точек функции-интеграла: ее нулей, бесконечностей, максимумов, минимумов и т. д.

Если в интеграле у = ф(х, Сь ... Ср) менять произвольные константы, то вместе с ними будут меняться и величины х, опре­ деляющие эти характерные точки. При движении Сі в д о л ь кри­ вой Гі величина Хо опишет одну из кривых А,. Но можно иссле­ довать условия, при которых кривые Дгпреобразуются в изолилированные точки, иначе говоря, когда величины Хо не будут меняться в зависимости от констант. Таким образом, ставится проблема отыскания условий, при которых нули или полюсы общего интеграла дифференциального уравнения не меняются с константами интеграции, и прямого вычисления нулей или по­ люсов этого общего интеграла. Аналогичный вопрос для алге­ браических критических точек был поставлен Фуксом, для тран­ сцендентных — Пенлеве.

Новая проблема о нулях и бесконечностях была поставлена и успешно решена выдающимся югославским ученым М. Петро­ вичем (60) в серии работ и главным образом в его докторской диссертации [234.2] (1894 г.). Он предвидел большое значение решения комплекса только что указанных проблем для прило­ жений, ибо представляемые такими точками особенности кривой

155

могли характеризовать различные фи­ зические или механические свойства объектов, которые часто было очень важно знать.

Полное решение проблемы, т. е. установление необходимых и достаточ­ ных условий неподвижности нулей или полюсов общего интеграла в весьма простой форме дано Петровичем для алгебраического уравнения первого по­ рядка. Он указал также средство изу­ чения интегралов в окрестности таких особых точек, а в случае их подвиж­ ности — метод определения их поряд­ ков, которые являются всегда числами

рациональными. Он же нашел весьма удобный графический способ установ­

ления этих особых точек, связанный с построением некоторого многоугольника.

Для случая уравнений высших порядков Петрович дал доста­ точные условия неподвижности нулей или полюсов интеграла, предполагая его трансцендентные особенности неподвижными. Полученные им теоремы могли найти применение в изучении мерофорфных интегралов уравнений. Проверка достаточности условий здесь более сложная, чем в случае уравнений первого порядка, но она сводится к построению соответственного много­ угольника и отысканию корней некоторого алгебраического уравнения (зависимого от данного дифференциального уравне­ ния). Это дает также возможность определения порядков по­ движных нулей и полюсов интеграла.

Несколько меняя условия Фукса, Петрович получил условия для неподвижности, как он говорит, «всех возможных особенно­ стей, включая полюсы». Если эти условия выполнены, то урав­ нение интегрируется алгебраическими операциями или через квадратуры. Он использовал эти условия для отыскания уравне­ ний таких типов, интегралы которых имеют все их особенности неподвижными.

Большое внимание уделил Петрович установлению призна­ ков существования однозначных интегралов и их вычислению, а также отысканию тех классов уравнений, где все однозначные интегралы являются рациональными функциями. Там, где были однозначные трансцендентные интегралы, он определил верхний предел числа всех различных интегралов и указал алгебраиче­ ские соотношения, которые существовали между двумя или тре­ мя из этих интегралов. Основной результат по этой части был опубликован немного раньше, в заметке [234.1]. Здесь Петрович

156

рассмотрел уравнение

симо от у), Петрович высказал важную теорему о том, что урав­ нение (5.41) не может допускать более трех различных (т. е. алгебраически независимых друг от друга — В. Д.) однознач­ ных интегралов '. Если их три, то это будет уравнение Риккати, если два, то уравнение Риккати или линейное, или приводяще­

у, рационален по х\ фі(х:) — рациональная дробь по х. Если оно допускает один корень, то оно может иметь одну из предыдущих форм либо приводится к виду

У(У — Фх)к'(У — Ф ^ 2’

где срі и ф2 — алгебраические по х\ Р — полином степени ki + k2+ + 2 по у. Развиваемый здесь метод мог быть применен к неко­ торым дифференциальным уравнениям первого порядка, алге­ браическим по X , у, у' и жанра нуль по (у, у'). Исследование условий наличия однозначных трансцендентных интегралов для уравнений первого порядка некоторого вида рассмотрел Петро­ вич в [234.3].

Развивая результаты Петровича, Ремундос в 1908 г. доказал теорему [244.1] о том, что дифференциальное уравнение (5.41), где Р, Q — полиномы по у, коэффициенты которых — однознач­

счетное множество неподвижных нулей и полюсов; если же Р и Q — также полиномы и по х, то число этих неподвижных нулей и полюсов конечно.

Пользуясь некоторыми идеями этой работы Ремундоса, в следующем году В. В. Голубев [16.1] дал более простое доказа­ тельство теоремы Петровича и обобщил ее на более широкие случаи. Рассматривая уравнение (5.41), где Р и Q — многочлены относительно у и аналитические функции по х, и обозначив мно­ жество неподвижных особых точек этого уравнения через I (сю­ да могут войти: 1) особые точки коэффициентов при степенях

1 Современную формулировку и доказательство см. в [16.3, 65—67].

157

у в полиномах Р и Q; 2) нули Р и Q; 3) точки второго вида для уравнения, полученного из (5.41) подстановкой у= — ; 4) результат изучения уравнения в области х = оо после подстановки

х= — , автор рассматривает выражение

где у и У2, Уз, у4 — четыре различных интеграла уравнения (5.41). Если в области точки х0, отличной от точек g, функции у і, уч> уз, у4 однозначны, то г(х) в области х0 голоморфна и отлична от 0 и 1; если функции уі однозначны в области изолированной неподвижной особой точки Іо, то z(x) в области go не принимает значений 0, 1 и °о и по теореме Пикара точка go не может быть для z(x) существенно особой. Отсюда следует теорема: если есть четыре однозначных интеграла в области изолированной не­

интегралы, однозначные во всей плоскости, то z(x) есть функция рациональная; если при этом Р и Q — многочлены относитель­ но X , то получается теорема Петровича.

Если же множество g бесконечное, но не имеет точек сгуще­ ния в конечной части плоскости х, то z ( x ) — функция мероморфная или целая. Если при этом есть три мероморфных инте­ грала у2, Уз, Уа, то и в с я к и й однозначный интеграл у\ есть также функция мероморфная или целая. Существенно особыми точка­ ми функции z(х) могут быть только точки сгущения множества g. Теорему о функции z(x) можно рассматривать как обобщение известного свойства интегралов уравнения Риккати на интегра­ лы уравнений вида (5.41) при указанных условиях.

§7. Неподвижность трансцендентных

исущественно особых точек. Теорема Пенлеве

Среди уравнений первого порядка можно найти примеры та­ ких, интегралы которых обладают подвижными трансцендентны­ ми или существенно особыми точками. Условия Фукса, предпо­ лагавшие вполне определенные значения w(z) в области изме­ нения аргумента z, оказывались недостаточными в случае присутствия подвижных существенно особых точек интеграла, которые могли быть и критическими. Достаточность условий Фукса (с указанным выше дополнением Хилла—Берри, которое в дальнейшем будет иметься в виду) могла сохранять свою силу для тех классов уравнений, в интегралах которых заведомо от­ сутствовали подвижные существенно особые точки. Такой класс уравнений был указан фундаментальной теоремой Пенлеве в

158

его докторской диссертации и в монографии [228.1]. Эта работа состояла из двух частей, в каждую из которых входило две гла­ вы. Основная ее цель состояла в изучении особых линий анали­ тических функций, или сечений, понятие которых восходит еще к Коши. Глубокая трактовка важного вопроса об области опре­ деленности функции и других с ним связанных сопровождалась получением ряда новых теорем. Интересные результаты были получены также по части разложения функций с различными особенностями в суммы и произведения, в том числе в ряды по­ линомов.

Рассматривая функцию F{z), определенную с одной стороны линии L (понимаемой как сечение), Пенлеве допускал существо­ вание второй функции F\(z), которая совпадает с первой в окре­ стности L и продолжает F по другую сторону L непрерывно. В этом случае сечение L называется «искусственным». Оно бу­ дет существенным в противоположном случае. Таким образом, существенно особая линия является естественной границей функции, за которую последняя не может быть продолжена. Устанавливаются необходимые и достаточные условия «искусст­ венности» сечения. Из этих условий выводится ряд теорем, ка­ сающихся неявных функций и дифференциальных уравнений первого порядка. Так, в главе 2, части 1 [228.1, В. 41] была сформулирована следующая теорема.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

ти S и и — в плоскости U. Если для любой точки Zo из S точки неопределенности f(z0, и) образуют в плоскости U точечную по­ следовательность (аффиксы которой аналитически зависят от Zo с указанными ограничениями), всякий однозначный (или при­ нимающий п значений) в области 2, ограниченной контуром о внутри S, интеграл u(z) есть продолжимый вне о и представляет в 2 полюсы (или критические алгебраические точки). Не при­ водя здесь довольно длинного доказательства этой теоремы, основные идеи которого изложены в [16.3, 55—58; 79—80], про­ следим лишь дальнейшие рассуждения автора, по своему на­ правлению в общем отличные от современной методической обработки, что видно также и из формулировки выше приведен­ ной теоремы. Итак, он пришел к выводу, что указанный интеграл при данных условиях не имеет подвижных существенно особых точек. Эта теорема остается в силе, когда функция f(z, и) при­ нимает р значений: /і, /2,... fP при изменении z в области S h u

F (u', и, г) = фр (г, и) и р + фр_ х(г, и) и’р~1+ ... + <р0 (г, и) = 0,

159