книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

установленному Брно и Буке, ставился в соответствие опреде­ ленный класс дифференциальных уравнений, которые интегри­ ровались через однозначные двоякопериодические функции пер­ вого или второго рода. Это уравнения как второго, так и третье­ го порядка, среди которых особое внимание уделено уравнению, являющемуся некоторым обобщением уравнения Ламе.

Уточнение, в смысле строгости, относительно области моно­ генности функции и для уравнения (7.11) и рассмотрение слу­ чая, когда функция и неоднозначна, иллюстрирующегося многи­ ми примерами, содержится в большей статье Фрагмана, опуб­ ликованной в 1891 г.

Проблема определения алгебраическим способом условий, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (7. 12), имеющего интегралом эллиптическую функцию, решалась в диссертации Янке в 1889 г. При этом другим способом было получено условие (1) Врио и Буке и ряд новых соотношений. Затем он же занимался определением условий того, чтобы урав­ нение (7.12) имело интегралами рациональные функции. Янке исходил из предположения, что рациональная функция у опре­ делена дифференциальным уравнением

где V и W — рациональные функции. Доказательство опирается на результаты предыдущей работы и дополняет ее.

Интересное обобщение проблемы Врио и Буке, поставленной

вой f, и рассматривает случай, где предыдущее обращение дано для и и и' — однозначных функций от z.

нение j R (х ,у) dx = и{х°’ Уо)для х ну , однозначных функций от щ

190

где %(х, у) — рациональная функция от переменных х, у, свя­ занных соотношением f(x, у )= О, и предполагается, что функция и имеет на поверхности Римана полюсы или логарифмические бесконечности таким образом, что особенности и имеют ту же точно природу, что и абелевы интегралы, связанные с кривой j(x, у ) =0.

Надо было исследовать, в каком случае обращение выраже­ ния (7.14), при любых начальных условиях, дает для х и у одно­ значные функции от и и какова будет природа этих однозначных функций. В результате Пикар пришел к заключению, что кривая / необходимо должна быть жанра нуль или единица, а однознач­ ные функции от и приводятся к двоякопериодическим функциям или их вырождениям. Этот вопрос впервые был рассмотрен Пи­ каром в мемуаре [235.9] 1889 г., отмеченном премией Париж­ ской академии наук.

§ 4. Биномиальное уравнение. Результаты Врио и Буке и их дополнение

Рассмотренные раньше общие принципы Врио и Буке приме­ нили к детальному исследованию уравнений вида

где f(u) — целый полином от и степени не больше 2т. Уравне­ ния такого вида получили наименование биномиальных. Как известно [16.3, 114], к уравнению такого вида приводятся урав­

нения формы (и')т= "qI“) , в интегралах которых отсутству­

ют подвижные критические точки. В дальнейшем изложении мы будем иметь в виду работу [112.8], где впервые вопрос изложен наиболее полно. Уравнение (7.15) записывается более подробно в форме

где показатели степеней преобразованы к наиболее простому виду. Для монодромности интеграла показатели, меньшие еди­

и сумма дробных показателей не должна превосходить 2. Пока­ затель V будет положителен; если он меньше единицы, то дол­

жен быть нулем или вида 1— — .

191

Сначала рассматривается простейший случай, когда правая часть уравнения (7.16) содержит только один множитель (и—

_а^УГ. Если показатель-у меньше единицы, он должен быть

вида 1—-у. Показатель ѵ в преобразованном уравнении (7.17)

будет равен 1+ у . Таким образом, интеграл есть рациональ­ ная функция, обращающаяся в бесконечность для 2=оо. Следо­ вательно, это целая функция степени п. Если показатель -у болыпе единицы, то для ѵ он станет меньше единицы и примет форму 1— -у ; пусть - у = 1 + — . Получим рациональную функцию, стремящуюся к а, когда z неограниченно возрастает. Если показатель - у равен единице, то же будем иметь и для

у, и в результате получается монодромный интеграл и просто периодический.

Далее рассматривается случай, когда правая часть уравне­ ния (7.16) содержит два множителя. Если показатель первого

— больше единицы, то будет лишь два сомножителя 1 и пока-

Учитывая допустимую величину показателя ѵ и арифметические соображения, для этого случая авторы получают уравнение вида

допускающее рациональный интеграл при любом п.

может быть не больше трех сомножителей. При этом показатели двух других достаточно взять равными - у . Если сомножителей

Таким образом, этому случаю будет соответствовать три кон­ кретных вида уравнения (7.16), которым удовлетворяют перио­ дические интегралы

ма показателей превзойдет 2.

192

Затем исследуется случай, когда показатели первого и ос­ тальных сомножителей правой части (7.16) меньше единицы. Таких сомножителей может быть четыре и три. В результате допустимых комбинаций показателей получается

(I)

и еще четыре вида уравнений, которые допускают как интегра­ лы функции — монодромные ', двоякопериодические.

Проверка различных возможных комбинаций двух сомножи­ телей в правой части уравнения (7.16) дает одно уравнение с монодромным просто периодическим интегралом

% = ё Ѵ і и — а)(и — Ь) (Е)

и еще шесть уравнений, обладающих как интегралами двояко­ периодическими функциями, например 21

(VI)

Итак, среди рассмотренных таким образом видов находилось 11 уравнений, приводящих, как сказали авторы, к монодромным двоякопериодическим функциям. Первые два из них были давно известны и хорошо изучены в связи с эллиптическими функция­ ми в ряде блестящих работ Абеля, Якоби и в трудах других ма­ тематиков.

Полученные Врио и Буке типы функций отличались, по их замечанию, друг от друга расположением и характером беско­ нечностей. Они также отметили, что подходящими преобразова­ ниями можно привести рассмотренные 11 типов двоякопериоди­ ческих функций ко второму (II), и дают конкретные указания по этой операции.

Для представления об эволюции идей у самих Врио и Буке интересно сравнить выше приведенные типы уравнений (7.16) с однозначными (мероморфными) интегралами, с теми, которые они представили в более поздней работе [112.10]. Говоря здесь об установлении конкретных видов уравнений рассмотренного класса, они прежде всего предполагают, что каждый из показа­ телей сомножителей правой части уравнения (7.16) приведен к простейшей форме и что сумма их равна двум 3. В соответствии с этим добавился один вид уравнений с рациональным интегра-

1 Доказательство однозначности интеграла уравнения (1) во всей плоско­

после соответственной замены [16.3, 115] его можно привести к многочлену степени 2т.

степени, второй — шестой степени. Это уравнение заключало все монодромные двоякопериодические функции третьей степени. Серия интересно подобранных примеров дополняла теорию.

В монографии [112.10, 405] было также довольно подробно исследовано трехчленное уравнение вида

Um + и (и)ит- 1+ fm{u) = 0

относительно наличия однозначных и двоякопериодических ин­ тегралов.

В заключение отметим, что развитые общие методы Врио и Буке стремились применить к конкретному изучению одного из важнейших тогда классов двоякопериодических функций. Они нашли основные типы этих функций благодаря исследованию дифференциальных уравнений и значительно упростили сам про­ цесс изучения. Этим самым были заложены основы нового ме­ тода исследований, применяемого затем и к другим классам функций.

Работы Врио и Буке, вскоре последовавшие статьи Фукса, Пуанкаре способствовали исследованиям молодежи в новой теории. Так, дальнейшее изучение биномиальных уравнений про­ водили Нетто, Янке, Валленберг и др. Опираясь на свои преды­ дущие результаты, о которых мы упоминали выше (§3), бино-

194

где р(и) — многочлен третьей степени, исследовал Янке в [183], Он нашел формулы преобразования, позволяющие свести реше­ ние вопроса для уравнения (7.18), обладающего интегралом в форме эллиптической функции, к рассмотрению уравнения вида (7.15) при т —2 и где /(«) — полином не выше четвертой степе­ ни. Некоторое обобщение результатов Врио и Буке получил б 1883 г. Кличковский, изучавший общую форму биномиальных дифференциальных уравнений (см. об этом в [183]).

Весьма серьезным вкладом в развитие учения об уравнениях с неподвижными критическими точками и, в частности, биноми­ альных была диссертация Валленберга [272.1]. Здесь нашла приложение, уточнение и ряд дополнений в данных конкретных случаях известная работа Фукса [153.10] об уравнениях с не­ подвижными точками разветвления. Решаемые автором задачи

R — многочлен степени не выше 2т по у и с коэффициентами, зависимыми от г, и такие, которые к нему приводились. В трех следующих частях изучались такие уравнения Фукса, в которые первая производная входит в степени не выше 3 и особенно те, которые имели жанр 0 или 1 и, следовательно, интегрировались алгебраически. Валленберг установил максимальное число рода дифференциальных уравнений третьей степени, а также нашел переход от условий Фукса к условным уравнениям для коэффи­ циентов и получил ряд важных соотношений для их интегриро­ вания. Интеграция уравнения третьей степени в случае отсутст­ вия члена с квадратом производной выполняется алгебраически, что показано различными методами в четвертой части работы. Жанр этого уравнения оказался не больше единицы. Пятая часть содержала ряд важных общих замечаний, из которых от­ метим установление условий алгебраичности интеграла; иссле­ дование вопроса о связи интегрирования рассматриваемых урав­ нений с решением некоторого линейного уравнения второго порядка.

13*

Г л а в а V I II . У Р А В Н Е Н И Я В Т О Р О Г О П О Р Я Д К А

§ 1. Постановка задачи и первые подходы к ее решению. Геометрическая теория в работах Пикара.

Уравнения с однозначными интегралами

В предыдущих главах мы видели, насколько усложняется вопрос при исследовании алгебраических дифференциальных уравнений первого порядка, принадлежащих более общим клас­ сам. И все же общая задача их исследования существенно была облегчена тем, что в интегралах этих уравнений так называемо­ го обычного типа отсутствовали, по известной теореме Пенлеве, подвижные существенно особые точки. Однако такого заключе­ ния нельзя было сделать уже относительно уравнений второго порядка. Давно известны такие их типы, весьма простые по ви­ ду, интегралы которых обладали подвижными особыми точками (критическими или нет). Более того, были доказаны теоремы о необходимых условиях присутствия трансцендентных особенно­ стей в интегралах уравнений второго порядка. Таким образом, развиваемые методы для исследования уравнений первого по­ рядка не были столь эффективны и не могли просто и не­ посредственно распространяться на уравнения второго по­ рядка и выше.

Тем не менее исторически вопрос развивался таким образом, (и в этом его особенность), что некоторые общие заключения относительно характера интегралов алгебраических дифферен­ циальных уравнений второго и высших порядков, были получены раньше, чем сформировалась и завершилась общая теория ис­ следования уравнений первого порядка. В развитии изучаемой теории особенно бурным и плодотворным было последнее деся­ тилетие прошлого века, когда заседания академий и страницы многих известных журналов, особенно часто озарялись вспыш­ ками новых глубоких результатов. Как основные первооткрыва­ тели здесь выступали три замечательных математика той эпо­ хи — Пикар, Пуанкаре, Пенлеве.

Отправными точками первых исследований в данном направ­ лении были новые результаты в теории алгебраических функ­ ций, которой принадлежало много работ молодого Пикара. Так,

196

уже в заметках 18S0 г. он рассматривает две однозначные функ­ ции и и V переменного z, связанные неприводимым алгебраиче­ ским уравнением

степени т, и решает вопрос об отыскании возможных видов этих функций в зависимости от жанра уравнения (8.1). Если оно вы­ ражает кривую жанра нуль, а функции и и ѵ — однозначные и могут иметь как особые точки лишь полюсы, то « = ф[#(<0], ѵ= = фі [7?(аг) ], где ф и фі — рациональные функции и F — одно­ значная. В случае жанра 1 функции и и о можно рассматривать как двоякопериодические, с теми же периодами, от параметра г. Таким образом, в обоих случаях они выражались и притом единственным способом через однозначные функции г, имеющие особыми точками лишь полюсы.

Пикар рассмотрел применение полученных результатов как к биномиальному уравнению, так и к уравнению вида

( 8.2)

где F — полином. В столь общей форме здесь впервые ставился вопрос об отыскании признаков существования однозначных интегралов данного уравнения. Напомним, что известные рабо­ ты Фукса и Пуанкаре по соответствующей проблеме для урав­ нения первого порядка появились через четыре года. Для бино­ миальных уравнений первого порядка она поставлена и решена Врио и Буке.

Опираясь на предыдущий результат и проведя детальный анализ различных многих случаев, Пикар пришел к заключению, что уравнение (8.2) (жанра 0 или 1) может допускать однознач­ ные интегралы (обладавшие особыми точками не сложнее, чем полюсами) лишь в форме функций, рациональных от г, от еаг (а — константа), или функций двоякопериодических. Специаль­ ную природу этих интегралов предстояло еще изучить.

К этому времени была уже известна теорема Шварца о том, что кривые жанра 0 и 1 есть единственные, которые обладают свойством переходить в себя через семейство рациональных однозначно обратимых преобразований. В 1886 г. Пикар анало­ гично доказал, что такие алгебраические поверхности, которые переходят в себя через зависимые от двух параметров рацио­ нальные однозначно обратимые подстановки, есть рода нуль или единица. Если же подстановка обладала лишь одним пара­ метром, то род (жанр) поверхности мог быть любым. Если жанр поверхности был больше единицы, то вообще имелось только конечное число подстановок, которые переводили поверхность в себя. Если же они содержали один параметр, то рассмотрение сводилось к первому случаю.

197

Полученный результат был применен Пикаром к исследова­ нию уравнений вида

(где f — полином) относительно однозначности его общего ин­ теграла, обладающего существенно особой точкой только на бесконечности. При этом получалось, что род уравнения (рас­ сматриваемого как уравнение поверхности) должен быть равен нулю или единице. Также был решен обратный вопрос о возмож­ ности интегрирования этих уравнений с помощью абелевых функций для случая, что жанр поверхности был равен единице.

Этот же вопрос одновременно изучал и Пуанкаре. Исходя из теоретико-групповых представлений, он доказал важную теоре­ му о том, что три функции X, г/, z от двух переменных t, и, обла­ дающие теоремой сложения, однозначны во всей плоскости. От­ сюда легко следовало доказательство вышеуказанных теорем Пикара.

Развитые методы Пикар применил затем к исследованию уравнения вида

при предположении, что общий интеграл этого уравнения есть однозначная функция от х, единственная существенно особая точка которой лежит на бесконечности. Уравнение f= 0 преобра­ зуется затем в себя через однозначно обратимую подстановку, которая содержит один произвольный параметр. В случае т— 1 это преобразование — бирационально, в общем случае — нет. Пикар установил также, что общий интеграл У уравнения (8.4) может быть представлен с помощью абелевых функций или их вырождений, ограничившись при выводе случаем т = 3. Такое представление всегда возможно, если общий интеграл У может быть выражен с помощью частного интеграла у в форме Y=R

Важное значение в теории функций имела публикация мемуара Пикара [235.9], премированного большим призом Париж­ ской академии по математическим наукам за 1888 год. Теория алгебраических функций двух независимых переменных к тому времени была уже объектом важных работ Нетера и других ученых. Но большой интерес представляла и новая проблема, изученная здесь Пикаром, о рассмотрении некоторых трансцен­ дентных выражений, связанных с алгебраическими кривыми. Этими трансцендентными были интегралы от рациональных функций координат х и у, связанных соотношением, которое определяла кривая f(x, у) = 0. Раньше подобный вопрос тракто­ вался Нетером относительно двойных интегралов. Пикар же распространяет точку зрения трансцендентных на алгебраиче­ ские поверхности другим образом, рассматривая интегралы от

198

полных дифференциалов вида j^ P d x + Q d y , где Р, Q — рацио­

уделив особое внимание интегралам второго вида. Он прежде всего рассмотрел так называемые циклы алгебраических поверх­ ностей (двух видов), имеющих важное значение, как и теория циклов при изучении алгебраических кривых. Употребленные здесь методы позволили дополнить теорию интегралов второго и третьего видов. Была, например, доказана важная теорема о том, что число различных интегралов второго вида равно числу их периодов. Бирациональным преобразованиям поверхностей в себя была посвящена третья глава работы, которая могла быть рассматриваема как применение общих результатов автора к интегралам от полных дифференциалов. Изучение этих преобра­ зований было весьма различным в зависимости от жанра поверх­ ности, особенно от того, больше он единицы или нет. Особое внимание уделено изучению интересного класса поверхностей, которые действительно аналогичны плоским кривым жанра

нуль и единица.

Особый интерес для нашей теории представляла пятая глава, где давались применения установленных раньше результатов к изучению некоторых дифференциальных уравнений. Сначала рассматривается уравнение (8.3) в предположении, что его об­ щий интеграл есть однозначная функция от х, имеющая суще­ ственно особую точку только на бесконечности. Построение со­ ответственной теории сталкивается здесь с существенными труд­ ностями, смысл которых состоит в том, что, как было показано в третьей главе, алгебраическая поверхность может допускать однозначное преобразование в себя, которое не является бира­ циональным, тогда как для алгебраических кривых, напротив, такое преобразование есть необходимо бирациональное. В свя­ зи с этим сначала рассматривается частный случай, когда биод­ нозначное преобразование поверхности f (8.3) будет бирацио­ нальным. В этом случае все исследование связывается с изучением соотношений, полученных в третьей главе. В резуль­ тате рассмотрения множества случаев, в зависимости от харак­ тера поверхности f и других, автор пришел к выводу, что в этом

случае общий интеграл будет выражаться через известные трансцендентные.

Рассмотрение общего случая представляло, как говорил Пи­ кар, пункт в высшей степени деликатный и трудный. Уравнение ;(8.3) приводится к виду

Здесь для изучения р как функции от у можно применять прин­ ципы, установленные Врио и Буке. Для исключения первой се­

199