книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Г л а в а VI. УРАВНЕНИЯ С ПОДВИЖНЫМИ КРИТИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ

§ 1. Постановка вопроса. Ограниченность числа значений интегралов около подвижных критических точек. Алгебраические интегралы. Монография Пенлеве

Итак, к началу девяностых годов прошлого века были полу­ чены фундаментальные результаты в области изучения уравне­ ний линейных и нелинейных первой степени. Особое внимание уделялось, как видно из предыдущего, изучению поведения ин­ тегралов в области особых точек, хотя заметна некоторая неси­ стематичность этих исследований.

Принципиально важным шагом вперед было установление различных видов разложений неголоморфных интегралов в окрестности особой точки xq ( с м . г л . V, § 2) в работах Пуанкаре, Пикара и других математиков. Но в связи с этим ставился во­ прос о характере изменения такого интеграла, если х менять некоторым образом в плоскости его определения. Будет ли он

принимать при этом ограниченное или неограниченное число значений и т. д.?

Вместе с тем вставал и общий вопрос изучения дифференци­ альных уравнений первого порядка, следующего по сложности класса за тем, интегралы которого имели неподвижные крити­ ческие точки. Это были, очевидно, такие уравнения, интегралы которых обладали подвижными критическими точками, но с ограниченным числом значений в области таких точек.

Эта проблема была поставлена и нашла свое решение в ряде статей Пенлеве, первая из которых [228.2] с четкой постановкой вопроса и изложением основных идей его решения опубли­ кована в 1888 г. Затем полученные результаты были обработа­ ны-и опубликованы в форме объемистой монографии [228.5] (1891—1892). За эту работу автор удостоен большого приза по математическим наукам Парижской академии в 1890 г. Рас­ сматривая указанный цикл работ, мы будем иметь ввиду преж­ де всего эту монографию. Именно здесь вошли в обиход терми­ ны подвижных и фиксированных критических точек. Исходными пунктами исследования были работы Пикара [235.9] и Пуанка­ ре [237.13]. Пенлеве обобщил здесь как решение вопроса, дан­ ное Пуанкаре, так и метод его исследования.

Все критические неподвижные точки х* интегралов уравнения

соединяются разрезами L в плоскости х таким образом, чтобы подвижная точка х могла достичь некоторой точки плоскости, не пересекая разрезы и не описывая замкнутый контур. Если у 0— частный интеграл, соответствующий хо, меняется, выходя из Хо, то в процессе этого изменения у может получить конечное или бесконечное число значений для одной и той же точки х . В пер­ вом случае говорят, что общий интеграл уравнения (6.1) прини­ мает п значений около подвижной критической точки. В связи с этим ставится две задачи: а) изучить свойства интеграла урав­ нения (6.1), если он относится к этому виду; б) установить, при­ нимает ли интеграл данного уравнения (6.1) ограниченное число значений в окрестности подвижных критических точек. Решение этих двух проблем и было основным предметом указанного тру­ да Пенлеве.

При этом доказаны некоторые характеристические свойства уравнений первого порядка, среди которых отметим, что когда общий интеграл уравнения (6.1) принимает п значений около подвижных критических точек, то между у ( х ) и у ( х 0) сущест­

пень у ' в уравнении (6.1). Это предложение остается в силе, ес­ ли у ' — аналитическая функция от у , принимающая т значений, которая для любого значения х не допускает в плоскости у особой линии. Таким образом, если интеграл принадлежит урав­

162

и существуют соотношения (6.6) степени т по у, степени 2п по у, где у = у (л;) удовлетворяет уравнение ^ = УѴ(х) (/ (1—у2) (1—&2у2) ,

в котором N (х) может быть выбрана произвольно, в том числе N=0. Эти теоремы в частных случаях были известны раньше. Фукс доказал, например, другим методом [153.11], что алгебраиче­ ский интеграл уравнения (6.1) может быть выражен в форме р(г/, у', х ) = у . Когда X не входит явно в (6.1), форма интеграла (6.2) соответствует теореме сложения простых или двоякоперио­

дических функций.

Нели уравнение имеет неподвижные критические точки, то (6.2) переходит в у = R {у0, у'0, х0, х) и равенство h = 0, где можно еде-

между интегральными константами.

Также, если со=0, то между кривой (6.1) и кривыми (6.6) в общем существует рациональное соответствие, которое может перейти в бирациональное тогда, когда у есть константа.

Таким образом, в этой работе существенную роль играли свойства рациональных преобразований алгебраических кривых, подробное изучение которых автор провел в гл. 2. Полученные

от (а) к (ß) через бесконечность подстановок (у), которые зави­ сят от произвольной рациональной функции аналитической точ­ ки (у\, z-i) в (ß). Когда р = 1, то в общем нельзя перейти рацио­ нально от (а) к (ß). Но для возможности этого необходимо, что­ бы абелев интеграл первого вида кривой (ß) переходил в эллип­ тические интегралы с модулем, равным модулю (а).

Если р> 1, то существует конечное число подстановок (у), переводящих (а) в (ß), и все они вычисляются алгебраически.

Эти теоремы доказаны методами, аналогичными тем, кото­ рые использовали Пикар и Пуанкаре при изучении ими бира­

164

циональных преобразований кривых и поверхностей. При этом было установлено, что жанр р кривой (а) должен быть не боль­ ше жанра р\ кривой (ß) (в случае бирационального соответст­ вия Р = Р \ ) и что преобразование обратимо в том случае, когда

р> 1 '■

Вприведенных выше предложениях имелось в виду, что кри­

вые (а) и (ß) даны. Но проблема заключалась в том, что надо было определить все те различные кривые (а), которые соответ­ ствовали рационально (по формулам (у)) данной кривой (ß). Под различными кривыми автор понимал такие кривые, которые не имели тех же самых модулей, и, следовательно, не соответ­ ствуют бирационально. Он установил, что можно вычислить алгебраически тип всех классов таких кривых жанра р> 1 и что число таких типов или классов ограничено. Случай жанра р = 1 приводился к рассмотрению вопроса о том, обладает ли абелев интеграл первого вида, связанный с кривой (ß), двумя перио­ дами.

Установленные положения немедленно применялись к изуче­ нию дифференциальных уравнений.

Итак, пусть интеграл уравнения (6.1) принимает п значений около критических подвижных точек. Тогда существует рацио^- нальное соответствие между кривой (6.1) и некоторой кривой Н(С, Сі)=0, определяющей соотношение между интегральными константами. Это соответствие C=R(y, y', х), C\ = R\(y, у', х) и определяет общий интеграл уравнения (6.1).

Теперь решение вопроса о том, существует ли такая кривая Н жанра ш >1, определяется теоремой: чтобы узнать алгебраи­ чески, принимает ли интеграл данного уравнения (6.1) конечное число значений около критических подвижных точек, соответ­ ственная величина со предполагается больше 1. Если это имеет место, интеграл получается также алгебраически.

Если р—ш (р>1), то интеграл имеет его критические точки не­ подвижными, так как соответствие между F и Н станет бирацио­ нально.

Случай (0—1 связывался с существованием абелева интегра­ ла первого вида для (6.1)

Р

1 Аналогичная теорема была установлена на 15 лет раньше другим спо­ собом Вебером в заметке [274].

Г65

уравнения (6.1) функцией, которая принимает в плоскости х данное число п значений около подвижных критических точек, решался при любом со.

Практически при исследовании вопроса автор рекомендовал, опуская громоздкие вычисления, связанные с методом прямого доказательства теоремы, сразу различать три случая: со> 1, со= = 1, <0 = 0.

Первый легко трактуется с помощью теории рациональных преобразований. Второй ведет к исследованию, приводится ли абелев интеграл / первого вида уравнения (6.1) к эллиптическим интегралам преобразованием n-го порядка — вопросу, уже трак­ товавшемуся определенным образом в классическом анализе (см. (6.8)). Третий случай укладывается в форму интеграла уравнения (6.6), где у удовлетворяет уравнению

При этом коэффициенты соотношения (6.6) выбираются та­ ким образом, чтобы оно соответствовало уравнению (6.1).

166

Если это возможно, то возможно единственным способом, и М, N, Р (для 6.9), и ап-и ..., аі, Ьп-и ... определяются линейными операциями. Заметно упрощает эти операции введение преобра­ зования

общее, которое сохраняет одновременно форму уравнения (6.10) и число величин у, перемещающихся около критических подвиж­ ных точек. Пенлеве изучает в деталях это преобразование ана­

Пенлеве называет два уравнения вида (6.10) принадлежа­ щими к тому же классу, если они выводятся одно из другого подстановкой б. Если п — степень Р по у, т — то же для Q и V — большее из чисел п и т + 2, то оно называется степенью диф­ ференциального коэффициента (т. е. правой части уравнения (6.10)). Это Vне меняется преобразованием б.

Последняя (шестая) глава рассматриваемой работы Пенлеве посвящена изучению алгебраических интегралов уравнения пер­ вого порядка. Здесь рассматриваются те упрощения общей тео­ рии, которые связаны с гипотезой, что интеграл уравнения — алгебраическая функция во всей плоскости. Для последнего не­

браическим. Если жанр этого уравнения со>1, оно интегрирует­ ся алгебраически. Когда со= 1, проблема сводится к рассмотре­

нию, является ли интеграл уравнения — =#(х)У (1—t2)

V —k2t2) (полученного из (А)) алгебраическим. Когда ш=0, проблема решается алгебраически или уравнение приводится к

квадратуре -j-=H(x)..

Таким образом, установление алгебраичности интеграла уравнения (6.1), принимающего п значений около критических подвижных точек, решается алгебраически или приводится к проблеме преобразования абелевых интегралов в интегралы эллиптические или логарифмические.

Указанная проблема здесь изучена весьма детально, особен­ но относительно алгебраических интегралов уравнений (6.10), переплетаясь в некоторых местах с результатами Отона, напри­ мер в части исследования дикритических точек и т. д. Здесь по­ лучили, таким образом, дальнейшее развитие упоминаемые ранее результаты Дарбу и других ученых, проводивших иссле­ дования уравнений первого порядка.

167

Общее заключение, к которому пришел Пенлеве, было тож­ дественно с тем, которое получил Пуанкаре при изучении урав­ нений Фукса: общие интегралы изученного класса уравнений первого порядка представляли транцендентные функции, не от­ личавшиеся от тех, которые определялись квадратурами или линейными уравнениями. Здесь же отмечено, что далеко не все полученные заключения могли быть перенесены на теорию урав­ нений высших порядков, хотя теория рациональных преобразо­ ваний поверхностей в известной степени могла быть и там по­ лезна. Таковы основные положения фундаментальной работы Пенлеве, рассмотренной нами несколько подробнее, так как в учебной, да и монографической литературе она мало известна. Некоторые детали были доработаны Пенлеве в заметках [228. 6.—7]. В дальнейшем проблему, поставленную здесь Пенлеве, мы будем именовать просто проблемой Пенлеве относительно уравнений первого порядка.

§ 2. Дальнейшее развитие проблемы Пенлеве

Многие результаты Пенлеве относительно уравнений первого (и второго) порядка нашли свое отражение в известных его стокгольмских лекциях (1895 г.). Здесь они были не только ме­ тодически переработаны (большая лаконичность и точность формулировок, краткость и упрощение доказательств), но и по­ лучили некоторое усовершенствсвание по существу. Это касает­ ся прежде всего изложения названной нами проблемы Пенлеве. Особое внимание здесь было уделено алгебраической интегра­ ции уравнений первого порядка с приведением подробных вы­ числений и составлением таблиц.

Теорема Пенлеве для некоторых частных случаев прямым вычислением позже была доказана Каптейном [190.2].

Существенным продвижением в теории с постановкой и рас­ смотрением решений ряда новых вопросов была статья Пенлеве

ностях аналитического продолжения интеграла этого уравнения. В лекциях 1895 г. Пенлеве углубил рассмотрение вопроса ана­ литической зависимости интеграла дифференциального уравне­ ния от начальных условий, что было выражено в форме второй главной теоремы. Итак, в плоскости х рассматривается множе­ ство неподвижных особых точек уравнения (6.10) £, точка х=хо> характеризующая начальное условие (ей соответствуем у=уо),

две произвольно выбранные неподвижные точки Хо и х, отлич­

X будет перемещаться от Х о к х вдоль некоторой кривой L, кото­

168

рая не проходит ни через точки £, ни через подвижные точки разветвления, соответствующие изменениям уо, то L должна из­ меняться в соответствии с уо■ Тогда согласно_ второй теореме

Пенлеве [228.14, 36—38], функция у—ф(х, уо, Хо), зависимая от уо, будет везде алгеброидная. Из этой теоремы, пишет Пенлеве [109.3, 142], может быть выведено «следствие, что эта функция не может представить в области уо неалгебраические особенно­ сти. Важно понять, что это заключение неточно». На этот вопрос автор обратил внимание значительно раньше, ибо он, с ссылкой на Пенлеве, трактовался уже в большой статье Зоретти [282.1, 69—40] в 1905 г. Итак, предположим, что интеграл у(х) имеет

конечное число р ветвей. Проведем затем в плоскости х между *о и X р линии L\, L2, ... Lp конечной длины, которые не проходят

лениям, р значений: <рі, ср2, ..., фр и, согласно второй теореме для г/о = Ь, они будут алгеброидные. Но если рассматриваемый инте­

грал ф(х, уо, Хо) для соседнего cj/o = f>значения уо имеет больше р ветвей, то функция у=ср(х, уо, х0) имеет другие значения, пусть

г/= фр+1(х, уо, хо) ..., которые могут допускать уо=Ь как транс­ цендентную особую точку. В связи с этим уточняется понятие общего интеграла как п-значной функции и форма его выраже­ ния и ряд других.

При изучении уравнений, общие интегралы которых облада­ ли точно п ветвями, перемещающимися около критических по­ движных точек, автор допускал существование и других, состав­ ляющих счетное множество, названных им особенными (или исключительными).

Основные выводы и заключения даны в более корректной форме, обусловленной прогрессом анализа в последующие 20 лет, которые отделяли эту работу Пенлеве от [228.2]. Вместе с тем здесь получен и ряд новых соотношений и свойств, постав­ лены новые вопросы. Так, принципиально уточняется постановка проблемы: является ли общий интеграл у(х) данного уравнения (6.10) трансцендентной функцией, допускающей неизвестное конечное число значений около критических подвижных точек [это число является одним и тем же для всех интегралов, исклю­ чая, может быть, счетное множество частных (особых) интегра­ лов]. Эта проблема может быть решена с помощью конечного числа рациональных операций. Но если поставить ту же пробле­ му, опуская ограничение, что интеграл должен быть трансцен­ дентным, то она становится намного сложнее, так как в общем еще неизвестно, может ли общий интеграл уравнения (6.10) быть алгебраическим? Показывается также и важность оговор­ ки в квадратных скобках (см. выше).

169