книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Г л а в а V. ИЗУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

УРАВНЕНИЯ С НЕПОДВИЖНЫМИ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ

§ 1. Простейшие виды особенностей. Исследования Брио и Буке

Особыми точками дифференциальных уравнений могут быть особые точки их коэффициентов, нули коэффициента при стар­ шей производной и других, точка оо, критические, изолирован­ ные краевые и особые точки разных видов области существова­ ния интеграла, к которой принадлежат и начальные значения.

Но особые точки интеграла могут быть различной природы в том смысле, что некоторые из них можно усмотреть по форме правой части уравнения

а другие по этому виду нельзя определить. В тесной связи с ис­ следованием характера особой точки стоит и проблема построе­ ния решения в ее окрестности. Вопрос об особенностях поведе­ ния интегралов уравнений вида (5.1) в тех точках, где их пра­ вые части f(w, z) перестают быть голоморфными, в частных случаях ставился еще Коши.

Систематически он стал разрабатываться в сочинениях Брио и Буке. Вполне естественно, что в первую очередь и лучше всего были изучены вопросы существования интегралов и их поведе­ ния для простейших видов особенностей правой части уравнений (5.1). Характер особенностей сильно усложняется уже для алге­ браического уравнения второго порядка.

Особенно простые результаты были получены для алгебраи­ ческого, так называемого дифференциального, уравнения Брио и Буке вида

Эти авторы и их последователи много сделали для получения ответа на вопрос о существовании и виде решений данного урав­ нения или их системы при данных начальных условиях, а также о том, как далеко такие решения определяются начальными данными, хотя первые исследования относились только к суще­ ствованию и поведению решений в некоторой ограниченной об­ ласти независимого переменного. Брио и Буке первые же пока­ зали, что дифференциальное уравнение может привести к ряду,

120

везде (кроме нулевой точки) расходящемуся. Этот простой факт имел большое принципиальное значение.

Основные идеи их исследования были изложены в 1854 г. в заметке [112.2] и подробно опубликованы несколько позже [112. 7]. Напомним, что они рассматривали уравнение

и для случая голоморфности / доказали существование голо­ морфного интеграла, удовлетворяющего данным начальным зна­ чениям. Далее они изучили также поведение интеграла и в слу­ чаях, когда функция f обращается в бесконечность, представля-

ется в форме — или перестает быть монодромнои и моногеннои

по другим причинам.

Итак, пусть для г ~ ги и = иъ f(u, г) = оо таким образом, что

ГЦП) остается конечной и непрерывной в их окрестности. Поло­

Интеграл последнего уравнения z как функция от и допускает

Из того, что при z — 0 и и 0 левая часть последнего равенства неограничено возрастает, а правая остается конечной, следует вы­ вод, что уравнение не допускает никакого интеграла1, исчезающего

с г. Если в правой части (5.5) содержится хотя бы один член,

_ 1 В д а л ь н ей ш ем бы л о у с т а н о в л е н о , ч то эт о т сл у ч а й м о ж е т п р ед с т а в л я т ь в z т р а н сц ен д ен т н у ю о с о б у ю точ к у .

121

независимый от z, то оно определит при z = 0, и = О некоторую функцию г, монодромную и моногенную по к в окрестности и = О и представимую рядом z = А0иа + Л1иа+1 + ...

Коэффициенты этого ряда можно найти подстановкой его в

Отсюда и определяется как неявная функция от z. При этом авторы устанавливают, что и будет иметь ровно т + 1 значений, где т — порядок первой, отличной от нуля, частной производ­

ной функции — по и. Эти значения будут перемещаться одно с

другим циклично, когда z вращается около z h Отсюда следует вывод о том, что если в некоторой точке плоскости уравнение допускает равные корни, то значения дифференциальных коэф­ фициентов в ней_вообще должны становиться бесконечно боль­ шими. Интеграл и представляется рядом

12

и= BÖzm+l + ßj2m+1 + . . .

Таким образом был открыт признак существования критиче­ ской точки интеграла, которая вообще говоря была подвижной, так как зависела от начальных значений Z\, щ. Но на это еще не обращали внимание. Серия хорошо подобранных и подробно

122

Такое преобразование было бы невозможным, если а=1. В тех случаях, когда а не будет целым положительным, коэффициент

при £ можно преобразовать так, что его действительная часть будет меньше или равна нулю.

Доказав одну лемму из теории функций, авторы формулиру­

числа, допускает монодромный интеграл, исчезающий вмес­ те с z К

Возвращаясь затем к уравнению (5.6), интеграл которого яв­ ляется монодромнсй функцией, разлагающейся в ряд по целым

степеням t, для функции и получаем разложение по (z—z)1/?. Следовательно, она имеет q различных значений, когда перемен­

ная z вращается около точки z. Доказав единственность этого интеграла, Врио и Буке разбирают случай, когда действитель­ ная часть коэффициента а положительна. В этом случае, кроме упоминаемого выше монодромного интеграла, уравнение (5.6) допускает еще бесконечно много других немонодромных интег­ ралов (зависящих от произвольной постоянной ко). Доказыва­ ется это так. Пусть £ — первый монодромный интеграл и £ + £ — второй. Подставим последний в (5.6) и от полученного резуль­ тата вычтем (5.6), что даст

I Ѳ I -> оо.

Таким образом, при £-»-0 функция £ описывает около значе­ ния £= 0 спираль с бесконечным числом оборотов, все более при­ ближаясь к этой точке как асимптотической 21.

1 Это же справедливо и для а= о.

2 Здесь точка t = 0 в общем является трансцендентной.

123

Если коэффициент а — действительное, положительное и со­ измеримое с — число, то значения функции (соответствующие

одному и тому же значению переменной и тому же значению Ло) образуют циркулирующую последовательность п величин, вза­ имно перемещающихся '. Врио и Буке отметили, что уравнение (5.8) не имеет иных интегралов, кроме рассмотренных. Также устанавливается существование лишь монодромного интеграла в случае, когда действительная часть коэффициента а отрица­ тельная.

Случай положительного целого коэффициента а можно свес­ ти к а = 1. Если при этом Ь Ф 0 (см. уравнение (5.6)), то рассмат­ риваемое уравнение не имеет никакого монодромного интегра­ ла; если же при а= 1 Ь ф 0, то оно допускает бесконечно много монодромных интегралов. Кроме того, отмечается, что в преды­ дущем случае (а=1, Ь ф 0) оно допускает бесконечно много мо­ нодромных интегралов.

Следующий основной случай сводится к исследованию урав­ нения вида

Здесь легко установить существование монодромного интеграла, применяя предыдущие соображения. Основное внимание авторы уделяли исследованию наличия других интегралов и доказатель­ ству их отсутствия (кроме некоторых исключительных случаев). Позже Пенлеве [228.27, 38] отметил неточность этого заключе­ ния, основанного на стремлении аргумента к нулю вдоль конеч­ ного пути и предположения ограниченности аргумента.

Третий основной тип рассматриваемых уравнений приводит­ ся к форме

где т — целое положительное. Оно, вообще говоря, не обладает монодромным интегралом, удовлетворяющим начальным усло­ виям 2.

Эту работу Врио и Буке очень высоко оценил Коши [122.30]. Говоря о том случае, когда коэффициент а — дробное число, он подчеркивает, что частный интеграл будет функцией монодром­ ной и моногенной для t меньше некоторого предела. Коши фик­ сировал внимание геометров на исследовании уравнения вида (5.6), так как эта часть «не оставляла желать ничего лучше по четкости доказательств». Он отметил весьма справедливо также

124

важность геометрических интерпретаций и построений (следуя вероятно, примеру Пюизе) в виде чертежей, что в научных ма­ тематических трактатах до того встречалось весьма редко. (В работах Коши они, например, отсутствуют). Итак, это иссле­ дование Врио и Буке открывало новую страницу в анализе в смысле объекта исследования и постановке нового вопроса; оно было также весьма прогрессивным явлением и в методическом смысле, так как изложено четко и с возможной ясностью, снаб­ жено достаточным количеством хорошо продуманных примеров.

Что же касается применяемых методов, то они базировались на результатах классического анализа предыдущих десятиле­ тий, главным образом на работах Коши. В связи с этим нельзя не отметить замечания Фукса [153.13, 392], сделанного через 30 лет, о том, что сама форма правой части исследуемого урав­ нения предполагала точку неопределенности «не такой, для ко­ торой и как функция от z будет вообще неопределенна. Может

и только в тех случаях, когда интегралы его не становятся не­ определенными в 2= 0, считал приемлемым переход к названным типам. Иначе говоря, он имел в виду законность таких разло­ жений, когда не было названных им точек неопределенности.

§ 2. Представление неголоморфных интегралов. Связь с теорией устойчивости

(Пуанкаре, Ляпунов, Пикар и др.)

Дальнейшее развитие работы Врио и Буке получили лишь через несколько десятилетий и прежде всего в трудах француз­ ских ученых. Новая (указанная в заголовке) проблема впервые решена одновременно Пуанкаре и Пикаром в 1878 г. двумя раз­ личными способами, основанными на использовании метода ма­ жорант. Подытожив предыдущие результаты Врио и Буке, Пу­ анкаре [237.1] обратил внимание на те случаи, имея в виду уравнение (5.6), при которых либо действительная часть коэф­ фициента а была положительна при ^ = 0, £ = 0, либо а было це­ лым положительным и уравнение, кроме голоморфного интегра­ ла (или не имея его), допускало еще бесконечно много интегра­ лов неголоморфных, исчезающих вместе с аргументом і, и изучил их более обстоятельно.

где функция f голоморфна по обоим аргументам в окрестности л'=0, у = 0. Пуанкаре установил, что упомянутые только что

125

целое положительное, то они голоморфны по х и х\пх.

При доказательстве этих утверждений Пуанкаре сначала ра­ зобрал вопрос, в каких случаях функция у, определяемая урав­ нением (5.11), может быть представлена в окрестности х=0 сходящимся рядом как по возрастающим степеням х, так и хх.

нулю и что Л= — , где т — целое. К этому приводится и случай,.

когда действительная часть % положительна. Область сходимо­ сти в первом случае ограничена кругом и одновременно лога­ рифмической спиралью.

Второй случай, когда %— целое положительное, как показы­ вали еще Врио и Буке, легко приводился к Я=1. В результате его исследования Пуанкаре пришел к выводу, что любая функ­

ция, определенная уравнением (5.11), где =1, будет раз­ ложимой по возрастающим степеням х и переменной t, опреде­

в разложение произвольного параметра.

Дальнейшее развитие изложенные идеи Пуанкаре получили в его докторской диссертации [237.2], защищенной 1 августа 1879 г. перед комиссией в составе Буке (председатель), Боннэ и Дарбу. Пуанкаре изучал здесь (часть вторая) проведение ин­ тегралов дифференциальных уравнений с частными производны­ ми первого порядка или системы п обыкновенных уравнений с п неизвестными функциями в окрестности особой точки, обобщая

126

подчиненных условиям: а) они все различны и отличны от ну­ ля; б) такие, что 1П2Х2+ ... + тпХпф Х і (где т ^ О — целые) '; в) расположены в комплексной плоскости по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало. Тогда устанавли­ вается существование п различных общих голоморфных инте­ гралов уравнений (5.12), определенных в окрестности нулевой точки, в форме

грирования. Аналогичным образом был рассмотрен и более об­ щий случай нелинейных уравнений. Различные обстоятельства, которые могут представиться при исследовании особенностей, зависят, как и в случае уравнений первого порядка, от сравне­ ния знаков и величины действительных частей отношений вели­ чин Ль Лг,..., Хп (63).

К более глубокому исследованию особых точек дифференци­ альных уравнений первого порядка Пуанкаре возвратился в се­ рии работ о кривых, определяемых дифференциальными урав­ нениями, основная часть которых переведена на русский язык [237.22]. Материал гл. 2 и других из указанной работы можно найти почти в любом учебнике по теории дифференциальных уравнений (см., например, [72, гл. II, §2]).

В цикле указанных работ очень подробно в различных аспек­ тах изучался вопрос распределения особых точек интегралов, а также (в мемуарах 3, 4) излагались основы теории устойчивости Пуанкаре (см. об этом [49. гл. 3, § 8]). Его результаты о воз-1

1 Это условие было указано позже, в [237.17]. Без него в некоторых слу­ чаях теорема Пуанкаре была бы неверной.

127

можном поведении и формах характеристик уравнения первого порядка, указанные в работах [237.4.—5], были через 15 лет обобщены Бендиксоном в [98.5], а его идеи по теории устойчи­ вости послужили исходной точкой [43.2, предисловие] капи­ тальных исследований Ляпунова *.

В докторской диссертации [43.2] Ляпунов шагнул далеко вперед, перекрыв частично некоторые результаты упоминаемой работы Бендиксона и более поздней статьи Фроммера [152]. Первые результаты Ляпунова в этом направлении опубликова­ ны в 1888 г. [43.1]. Эта статья была одной из первых по вопро­ сам устойчивости движения механических систем с конечным числом степеней свободы. Уже здесь наметились некоторые важные идеи 12, получившие дальнейшее развитие в его доктор­ ской диссертации и последующих сочинениях. Во второй части статьи [43. 1] с п. 9 Ляпунов останавливается на некоторых вопросах общей теории устойчивости. Ввиду того, что содержа­ ние этой работы не освещается даже в больших обзорных ста­ тьях, мы остановимся на ней с точки зрения изучаемой пробле­ мы. Здесь рассматривается система уравнений возмущенного движения

правые части которых явно не содержат время t, а х, у,... — ве­ личины, определяющие движение системы и обращающиеся в нуль для невозмущенного движения. Коэффициенты Аі, Ві, Сі,...— постоянны, а fi — многочлены по своим аргументам и не содер­ жащие их в нулевом и первом измерении. Если интегралы си­ стемы (5.15) таковы, что при любых достаточно малых началь­ ных значениях они остаются сколь угодно малыми для всякого t, то невозмущенное движение устойчиво. Если же существует хотя бы одно частное решение этих уравнений, при котором на­ чальные значения функций х, у, z, ... могут быть выбраны сколь угодно малыми, но обладающее свойством, когда для достаточ­ но больших значений t функции х, у, г, ... принимают значения, большие некоторого данного предела, кай бы малы не были их начальные значения, то это движение неустойчиво. Интегрируя уравнения (5.15) способом последовательных приближений, при весьма малых начальных возмущениях, для х, у, z, ... получают выражения в виде рядов, которые, как показывает автор, будут сходящимися в известных пределах. Члены этих рядов представ­ ляются однородной целой функцией п-й степени от начальных

1 Подробно об этом см. в [66.5].

2 Полную самостоятельность первых работ Ляпунова по теории устойчи­ вости подчеркивает Н. Д. Моисеев [49, 539].

128

данных а, Ь, с, ... (при ^ = 0) и от п-й степени величин еѴ, еѴ, где ki — корни уравнения

(5.16)

степени т. Но это уравнение подобно (5.13) (относительно Я,). Если для его корней k соблюдается условие, аналогичное (б) для (5.13), то коэффициенты в упомянутых выше целых функ­ циях величин еМ будут постоянными. Также уточняются и дру­ гие заключения относительно исследуемых решений в зависи­ мости от характера корней уравнения (5.16). Отбрасывая в упо­ мянутых выше рядах все члены, следующие за п-м, получаем так называемое п-е приближение. Указав, что в рассматривае­ мых вопросах обыкновенно ограничиваются исследованием пер­ вого приближения и по нему судят об устойчивости невозмущен­ ного движения, Ляпунов отмечает, что если среди корней урав­ нения (5.16) нет имеющих положительные вещественные части, а в выражения первых приближений показательные функции, соответствующие корням с нулевыми вещественными частями, входят с постоянными коэффициентами, то невозмущенное дви­ жение считается устойчивым, в противном случае — неустойчи­ вым; и хотя движения, устойчивые или неустойчивые по перво­ му приближению, в действительности могут и не быть такими, в ряде случаев исследование уравнения (5.16) действительно решает вопрос об устойчивости. Разобрав этот вопрос, Ляпунов доказывает, что невозмущенное движение несомненно неустой­ чиво, если в числе корней уравнения (5.16) есть такие, вещест­ венные части которых положительны. Полученные здесь общие результаты применяются затем для исследуемого автором во­ проса устойчивости движения твердого тела в жидкости.

Не входя в дальнейший обзор развиваемых далее идей Ля­ пунова, когда были четко сформулированы основные понятия и предложена стройная система строгих доказательств (см. об этом в [49; 66.5] и др.), мы хотели лишь показать истоки его глубоких представлений и тесную связь основных положений теории устойчивости Ляпунова с анализом особых точек диффе­ ренциальных уравнений. Ряд конкретных результатов в послед­ нем направлении получены им в докторской диссертации [43.2] (см. об этом в [228.27, 55]).

Таким образом, чисто теоретические исследования Врио и Буке, Пуанкаре и Ляпунова в аналитической теории дифферен­ циальных уравнений привели к рождению таких мощных отде­ лов анализа, как качественая теория и теория устойчивости, при­ кладное значение которых общеизвестно.