книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

менту. Несколько дальше в этом направлении продвинулся Пуассон, исследовавший в работе 1820 г. воз­ можные источники ошибок при ин­ тегрировании по последовательно­ сти комплексных значений между вещественными пределами.

Таким образом, были созданы предпосылки для создания общей теории функций комплексного пере­ менного и дальнейшей ее разработ­ ки в тесной связи с другими ветвями математического анализа.

Решение этой задачи в большей части было выполнено Коши. Систе­ Иоганн Пфафф (1765—1825). матизируя накопленные факты, су­ щественно дополняя пробелы мето­

дического порядка, он стремился построить цельную и строгую систему анализа на основе теории функций комплексного пере­ менного в работах [122.1—2]. Большой заслугой Коши была чет­ кая постановка вопроса о сходимости рядов и законности раз­ ложений функции в степенные ряды. Принципиально новые результаты получил Коши в 1825 г. [122.3], выясняя смысл и свойства определенных интегралов, взятых между мнимыми пре­ делами. Здесь содержалась интегральная теорема Коши (част­ ный случай которой по прямоугольному контуру был известен ему значительно раньше). Еще в мемуаре Коши 1814 г. мы встре­ чаемся с идеями, послужившими началом позднейшей теории вычетов и их приложений. Эта теория (по терминологии авто­ р а — исчисление вычетов) была создана им в 1826—1829 гг.

В том же 1826 г. было опубликовано исследование Абеля о биномиальном ряде, где содержатся его знаменитые теоремы и указание на ошибку Коши о том, что сумма сходящегося ряда непрерывных функций — непрерывна, ряд других его фундамен­ тальных работ по теории эллиптических функций и теории абе­ левых интегралов, сочинения Якоби по теории эллиптических функций и, наконец, замечательная работа Лобачевского, от­ крывшая неэвклидову геометрию. Значение ее для теории функ­ ций комплексного переменного было выяснено позже благодаря трудам Ф. Клейна, А. Пункаре, П. Кёбе и др. Непосредственно теория элементарных функций комплексного переменного была изложена в сочинении Лобачевского в 1834 г.

Таким образом, в конце первой половины прошлого века,

20

отображений и очень плодотвор­ ной теории многолистных поверхностей. Он выяснил глубокую

связь уравнений Эйлера—Даламбера с геометрией и математи­ ческой физикой и положил это в основу построения теории функ­ ций. Риман дал новое определение аналитической функции, пред­ ставляя ее непрерывно продолжающейся с помощью названных только что уравнений из элемента, заданного в начальной 96ласти. Эта функция осуществляет конформное отображение одной области на другую.

Перенося идеи математической физики в теорию функций, Риман исследовал определение аналитических функций краевы­ ми условиями и характером точек разрыва, опираясь при этом на так называемый «принцип Дирихле», строго обоснованный значительно позже.

Большим вкладом Римана в математику была разработка теории многолистных поверхностей, получивших широкое при­ менение во многих областях анализа и, прежде всего, в анали­ тической теории дифференциальных уравнений. Ему же принад­ лежит постановка одной из интереснейших проблем линейной теории, которая вызвала массу работ и привлекала внимание выдающихся математиков XIX и XX веков. В дальнейшем об­ ласть геометрической теории функций комплексного переменно­ го получила существенное развитие.

Другое (аналитическое) направление развития теории функ­ ций комплексного переменного во второй половине XIX века было сформировано в основном трудами К. Вейерштрасса и его последователей. Уже к 1842 г. Вейерштрасс владел идеей ана­ литического продолжения, но основное внимание уделил тогда изучению конкретных классов функций — эллиптических, гипер­ эллиптических и абелевых. Его общие концепции по теории функ­ ций комплексного переменного складывались в процессе чтения лекций в Берлинском университете и нашли свое завершение к 1880 г. В основе его теории лежало понятие степенного ряда.

21

Существенную роль играло понятие равномерной сходимости. Полная аналитическая функция строилась как совокупность всех продолжений какого-либо элемента. Затем проводилось исследование функций и их особенностей. К 1876 г. Вейерштрасс получил разложение произвольной целой функции в виде бес­ конечного произведения. Существенный вклад в развитие этой теории внесли его ученики и последователи Миттаг-Леффлер, Г. Шварц, С. В. Ковалевская, Ш. Эрмит и др. Были заложены основы теории целых, а затем и более общей теории мероморфных функций. Применение теории аналитических функций к теории чисел привело к созданию аналитической теории чисел (Чебышев, Риман), а применение ее к теории дифференциаль­ ных уравнений стало источником аналитической теории диффе­ ренциальных уравнений (Коши, Врио и Буке, Фукс, Пикар, Пу­ анкаре, Пенлеве).

В процессе своего развития аналитическая теория дифферен­ циальных уравнений пользовалась результатами и методами дальше развивающейся общей теории дифференциальных урав­ нений (обыкновенных и с частными производными) действитель­ ного переменного (переплетаясь с последней в некоторых пунк­ тах), теории определителей и теории групп (в области линейных уравнений), теории алгебраических функций и теории ряда спе­ циальных функций (для уравнений нелинейных первого и выс­ ших порядков).

В свою очередь эта теория оказала мощное влияние на раз­ витие качественной теории дифференциальных уравнений, на решение ряда прикладных вопросов, стала источником новых видов и классов функций, среди которых назовем чрезвычайно важный и интересный класс автоморфных функций. Некоторые ее отделы отпочковались от своей основы и существуют ныне как самостоятельные ветви математического анализа (теоремы су­ ществования и единственности, линейная теория, теория специ­ альных функций, теория краевых задач и др.).

Перейдем к характеристике литературы вопроса. Отметим прежде всего, что история математики XIX и начала нынешнего веков освещена в имеющейся литературе наименее обстоятель­ но по сравнению с другими периодами. Число монографий, где рассматривался бы этот вопрос в целом, находится в пределах первого десятка. В большинстве случаев в этих работах на мате­ матику XIX века отводится несколько десятков страниц, а об интересующем нас предмете часто и не упоминается. Естествен­ но, что при этом излагаются самые крупные и яркие факты и лишь в общих чертах говорится об аспектах развития предмета

вцелом. Такие книги нужны и интересны, но вряд ли они могут удовлетворить интересы лиц, более углубленно занимающихся историей математики, и специалистов-математиков, работающих

втой или иной области. Особенно бедна литература по истории анализа XIX века и, в частности, теории дифференциальных

22

уравнений. Материалы по этому пред­ мету рассеяны ' в многочисленных об­ зорных статьях и заметках и при этом весьма неравномерно как в отношении хронологии, так и по-предметно. По истории аналитической теории диффе­ ренциальных уравнений имеется лишь несколько заметок главным образом в форме предисловий и замечаний при изложении самого предмета, а также при рассмотрении истории других дис­ циплин. Отсутствует обзор этой теории

ив известной трехтомной монографии «Математика, ее содержание, методы

изначение». Автор главы о дифферен­

и важного отдела, в котором рассматриваются вопросы теории дифференциальных уравнений с комплексным аргументом» [48. II, 47].

Историю анализа XIX века исчерпать в одной, даже боль­ шой, работе, видимо, невозможно. Детальному изучению подле­ жит слишком большой и разнообразный материал. Эту важней­ шую задачу следует решать, расчленив ее на ряд составляющих. В области теории дифференциальных уравнений существенные шаги в этом направлении предприняты в СССР, где стали углуб­ ленно изучать отдельные аспекты ее развития.

Такое изучение принесет несомненную пользу не только историкам науки, но и специалистам-математикам, работающим в данной отрасли, существенно облегчив и ускорив овладение исторической перспективой развития предмета и снабдив их до­ статочно полными библиографическими сведениями. А решить даже эту последнюю задачу не так легко.

Прошлый век дал гораздо больше печатной продукции по математике, чем все предыдущие. По неполным сведениям, при­ веденным в указателе Лондонского математического общества, за прошлый век было напечатано сочинений, касающихся мате­ матики, порядка ста тысяч. Это в основном журнальная продук­ ция, разбросанная в многочисленных, сейчас довольно трудно доступных, записках академий и научных обществ и специаль­ ных журналах, число которых к концу прошлого века достигало несколько сотен (14). Этот огромный материал почти нигде не учитывался и не систематизировался, особенно в первые три четверти века. Поэтому для выявления нужных источников для данной работы надо было провести немалую работу чисто биб­ лиографического характера: ознакомиться с разными каталога­ ми и указателями, а иногда проводить и сквозной просмотр тех

23

нование. Но работы, принадлежащие к ней, стали обособляться в указателях (и то не всегда и не полностью) лишь в последние десятилетия. Что же касается прошлого века и начала нынешне­ го, то о принадлежности данной работы к изучаемой области можно было судить с достоверностью лишь после знакомства с ее содержанием. Существенную помощь при сборе литературы могут оказать реферативные журналы. Первый из них — Бюл­ летень Ферюссака принес мало пользы. Значительно лучше об­ стояло дело, начиная с трех последних десятилетий прошлого века, когда стал выходить немецкий ежегодник [184], журнал Дарбу [114] и др.

Довольно большой и полезный материал можно найти в энциклопедии математических наук (немецкое [138] и француз* ское [139] издания), содержащей в числе других и краткие об­ зоры по интересующему нас предмету и многочисленные литера­ турные указания, хотя далеко неполные.

Как одну из первых обзорных работ по теоремам существо­ вания отметим довольно полную в смысле хронологии, но содер­ жащую ряд неточностей исторического порядка статью Ваккаро [267] (1900 г). Несколько позже, в 1913 г., вышла монография Блисса [102], переизданная затем в 1934 г. в Нью-Йорке и по­ священная фундаментальной теореме существования. Статья Макса Мюллера [221] в известной степени дополняла работу Пенлеве [228.21], а небольшая книжка [128.2] Эмиля Коттона посвящалась специально методу последовательных приближе­ ний. Ряд полезных сведений можно почерпнуть из статьи [6] Бокштейна.

Первая монография, в которой была сформулирована основ­ ная идея новой теории, намечен и во многом решен весьма ши­ рокий круг ее задач, принадлежала Врио и Буке [112.7]. Она

24

была написана как научный трактат, но методически четко и ясно, и в последующие десятилетия служила единственным по­ собием по новой, еще формировавшейся теории. Изложенные в ней идеи послужили источником множества дальнейших работ. Через сорок лет после упоминаемого мемуара Врио и Буке выш­ ло первое издание трактата по анализу Пикара, во втором и тре­ тьем томах которого наиболее полно для того времени нашли отражение элементы складывающейся тогда аналитической тео­ рии нелинейных уравнений.

Примерно такой же круг вопросов (относительно рассматри­ ваемого предмета) с некоторыми изменениями и дополнениями находим во втором и третьем томах пятитомного трактата Фор­ сайта [147]. Но здесь не отражены фундаментальные идеи Пенлеве, изложенные последним на пять лет раньше в его изве­ стных лекциях [228.11], читанных осенью 1895 г. в Стокгольме. Здесь охвачены как классические результаты, но на новой мето­ дической основе, исходя из современных автору теоретико­ функциональных концепций, так и главным образом новейшие результаты по данному кругу вопросов прежде всего самого автора, а также Пикара, Пуанкаре, Аппеля, Дарбу и других ученых. Созданием и публикацией этого оригинального курса Пенлеве было закреплено рождение новой отрасли математиче­ ского анализа. Дополнение к этим лекциям Пенлеве поместил в спецкурсе своего ученика Бутру [109.3].

Одна из первых обзорных статей по новой теории в итальян­ ской литературе [145] принадлежала Фиорентини. Она посвя­ щалась теории уравнений первого порядка. Несмотря на ряд неточностей исторического характера, она была весьма содер­ жательной и охватывала предмет, включая результаты Пуанка­ ре, Пикара и Пенлеве. Из обзорных работ по особым точкам дифференциальных уравнений отметим монографию Дюляка

[137.7].

Более обширной является литература исторического и моно­ графического характера, связанная с аналитической линейной теорией дифференциальных уравнений. Здесь прежде всего сле­ дует назвать одну из наиболее крупных работ, где рассмотрены почти все основные вопросы изучаемой теории и довольно по­ дробно упомянуты многие значительные ее результаты почти за всю вторую половину прошлого века,— монографию Л. Шлезин­ гера [254.1] в трех книгах. Она охватывает большой фактиче­ ский материал, хотя далеко не систематично, с точки зрения современного читателя. Более систематично, но весьма конспек­ тивно дан обзор основных результатов линейной теории диффе­ ренциальных уравнений за сорок лет после 1865 г. в статье Шле­ зингера [254.10]. Но имеющийся здесь большой список литера­ туры не увязан однозначно с текстом. Шлезингеру же принад­ лежал и ряд курсов по данной теории. На основе новых резуль­

25

татов Фукса и его последователей составлен курс Гефтера [171] по введению в теорию линейных уравнений.

Одним из первых последователей и популяризаторов теории Фукса во Франции был Жюль Таннери. Ему же принадлежит, вероятно, первая крупная работа на французском языке [263], где в оригинальной обработке автора и с его дополнениями из­ лагались основные результаты Фукса и других немецких уче­ ных по данному кругу вопросов, полученные до 1875 г.

В русской математической литературе первые книги по новой теории линейных уравнений вышли в 1889 и 1892 гг. и принадле­ жали известным математикам В. А. Анисимову [2.1—2] и С. Е. Савичу [62]. Они знакомили русских читателей с основами новой теории и содержали ряд дополнений и оригинальных ре­ зультатов авторов.

К началу 90-х годов создание основ аналитической теории линейных уравнений было в основном завершено. Неудивитель­ но поэтому, что в больших курсах анализа указанной теории были посвящены отдельные главы и параграфы. Мы имеем в виду работы Пикара, Жордана, Форсайта и др.

Одной из первых крупных работ по данным проблемам на итальянском языке был цикл статей Флоридиа [146], публико­ вавшихся в журнале Батталини в течение 1893—1895 гг.

В Америке одним из первых популяризаторов аналитической теории линейных уравнений был Радельфингер [241].

Весьма многочисленны были курсы и монографии по отдель­ ным разделам изучаемой теории, сформировавшимся в течение нескольких лет бурного развития как самостоятельные дисцип­ лины. В этом направлении следует отметить чрезвычайно энер­ гичную и плодотворную деятельность Ф. Клейна и его ближай­ шего сотрудника Р. Фрике, проделавших титанический труд, в результате которого опубликованы фундаментальные моногра­ фии в форме лекций по теории эллиптических модуль-функций [192.7], по теории автоморфных функций — в 1897— 1900 гг. Кроме того, Клейну принадлежат известные лекции об икосаэд­ ре [192.4] и решении уравнений пятой степени (1884 г.), о ги­

кроме упоминаемого курса Клейна, назовем как одну из первых обзорных работ небольшую книжку Баранецкого [4], вышед­ шую в Москве еще в 1873 г. Через три года опубликована дис­ сертация М. Тихомандрицкого [76]. Исторические очерки этой теории были предметом диссертации Жеклин [185], статьи Пап-

26

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ И РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Г л а в а I. У ИСТОКОВ ТЕОРИИ. ПЕРВЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕОРЕМАМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ

РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Постановка вопроса у Коши

Проблема существования решений является одной из важ­ нейших в современной теории дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными производными. При исследова­ нии любого нового класса или вида уравнений в том или ином аспекте рассматривается и вопрос о существовании его реше­ ний. Приоритет выдающегося первого автора теорем существо­ вания интегралов дифференциальных уравнений закреплен по справедливости в их названии. Пожалуй, почти не найдется сей­ час такого курса по анализу или монографии по теории диффе­ ренциальных уравнений, где теорема существования и единст­ венности решений не связывалась бы с именем Коши. Но зачас­ тую дело на этом и оканчивается, а в тех случаях, когда приводится историческая справка, в ней допускается ряд неточ­ ностей. Так, шведский математик К. М. Линдеберг в диссерта­ ции, посвященной историческому очерку особых решений обык­ новенных дифференциальных уравнений [203], при рассмотре­ нии так называемого первого метода Коши доказательства тео­ ремы существования решения уравнения связывал его появление с 1844 г., когда вышли используемые им известные лекции [219] Муаньо (15) по дифференциальному и интегральному исчисле­ нию '. В действительности же Коши начал излагать этот метод на своих лекциях в Парижской политехнической школе лет на 20 раньше и схему его опубликовал уже в мемуаре [122.8]. Ана­ логичная неточность допущена японскими авторами Хукугара, Кимура и Матуда в недавно вышедшей их монографии [178, 10], где авторы утверждают, что метод последовательных приближе­ ний «был использован впервые Пикаром для доказательства теоремы существования». Однако известно, что впервые приме­ нение этого метода для доказательства существования решения дифференциального уравнения определенного вида было опуб-

1 Эта же дата приводится в работах Итара [181, 60], Пеано [232.4], Вакка­ ро [267], Валле-Пуссена [268. 2, 75], в известном спецкурсе проф. Г. Е. Шило­ ва [87].

28

линовано Лиувиллем в 1837—1838 гг., т. е. почти на двадцать лет раньше, чем родился Э. Пикар. Аналогичная неточность встречается в большом курсе по истории математики Ф. Кед-

жори.

Историки математики Бекер и Гофман в книге [96] не рас­ членяют упоминаемые выше методы доказательства теоремы существования решений уравнений и вовсе не упоминают о та­ ком мощном и важном методе, как метод мажорантных функ­ ций, предложенный Коши.

Математики XVIII века как наиболее общий применяли ме­ тод отыскания решения дифференциальных уравнений в виде функционального (главным образом степенного) ряда. В боль­ шинстве случаев такие ряды сходились в некоторой области и удовлетворяли данному уравнению. Эти результаты приводили к ложной уверенности о существовании решений в виде функ­ ций, представимых рядами такого вида в любом случае '.

Свнешней стороны здесь наблюдалось то же явление, что и

втеории алгебраических уравнений, когда многие полагали воз­ можным решить в радикалах любое алгебраическое уравнение. Но если в теории алгебраических уравнений к началу XIX века уже был поставлен и решен вопрос о существовании корней в виде основной теоремы алгебры (Даламбер, Гаусс), то в теории дифференциальных уравнений аналогичная проблема тогда еще

не решалась.

Впервые она была четко поставлена и решена в различных формах выдающимся французским математиком Коши [16].

В одной из первых работ в этом направлении [122.8] он спра­ ведливо отмечал, что «интегрирование при помощи рядов диф­ ференциальных уравнений было обманчивым, так как оно не представляло никакого средства обеспечить, что полученные ря­ ды являются сходящимися и что их суммы являются теми самы­ ми функциями, которые удовлетворяют данным уравнениям». «Надо было поэтому,— продолжает он далее,—■... или найти такое средство, или искать другой метод, с помощью которого можно было бы установить в общем существование тех самых функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и вычислять неопределенно приближенные величины этих самых функций» (стр. 328). Итак, определив совершенно ясно недостатки пре­ дыдущего метода, Коши кратко сформулировал новую про­ блему.

Рассмотрению ее в разных аспектах он посвятил затем мно­ жество работ, публикуемых в течение двух последних десятиле­ тий его жизни.

1 В известной степени этому способствовал факт малого числа известных в то время конкретных видов функций. Все они обладали свойством разлагать­ ся в степенные ряды, сходящиеся для известных значений переменного.

29