книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Дополнение Пикара [235.1] к рассмотренным исследованиям Врио и Буке состояло в распространении их идей на уравнения второго порядка вида

г -ё - = / (и’ы' ’г)>

где функция f — однозначна и непрерывна по своим аргументам в окрестности точки 2= 0, и = а, u' = ß и принимает в этой точке нулевое значение.

К исследованию уравнения (5.7) Пикар возвратился в замет­ ке [235.3], имея в виду тот случай, когда действительная часть коэффициента а при и положительна и больше единицы и когда уравнение допускает бесконечно много немонодромных интегра­ лов, исчезающих для 2= 0. Дополнительное исследование пове­ дения интеграла уравнения первого порядка в области особой точки — седловины и уточнение данного ранее доказательства Пуанкаре указано Пикаром в письме к Клейну [235.15] в 1895 г. Его результат был частично обобщен несколько позже Лонгли

[208.1].'

Оригинальное дополнение исследований Врио и Буке былопредложено также Горном в 1894 г., когда строились возможные интегралы с так называемым нерациональным порядком исчез­ новения.

В скором времени упоминаемые выше работы Пуанкаре и Пикара были существенно дополнены. Так, уже в мемуаре [237. 16] существование голоморфных интегралов системы (5.12) Пу­ анкаре доказывал, опустив условие в) для корней уравнения (5.13), а в статье [237.4, гл. II] исследовал частные случаи: Яі=Ягі Я?=0.

Новая теорема относительно системы интегралов была полу­

его корни Я различны. В следующей работе [98.3] он изучил до­ полнительно интегралы вида (5.14) при п = 2, когда отношение Яі и Яг не являлось действительным положительным числом, и установил для них новую форму выражения.

Важное значение в развитии рассматриваемой теории имела большая работа Бендиксона [98.5], где автор обобщил наиболее

новые понятия — интегральной кривой, проходящей через осо­ бую точку, узловой области и другие очень существенные при изучении интегральных кривых в окрестности особых точек.

Обобщение упомянутой теоремы Пуанкаре относительно си­ стемы интегралов уравнений (5.12) при отсутствии условия б) относительно корней уравнения (5.13), т. е. при наличии линей­ ной зависимости для корней Я, дал Линделеф [204.4]. Он пока­

130

зал, что общие решения системы (5.12), записанной в иной фор­ ме, разложимы по целым положительным степеням аргументов

tXv', t ... t V/t, ln t, обозначив через Xvk те величины X, кото­

рые не зависят линейно от остальных.

Несколько раньше был опубликован большой мемуар Горна [177.3], где изучались системы вида

1

зающие в нулевой точке. Для этих систем автор устанавливает теоремы большой общности и доказывает, в частности, как мож­ но непосредственно найти, методом неопределенных коэффици­ ентов, те ряды, существование которых чуть позже доказывал Линделеф. Горн записывал интегралы уі в таком виде:

где аі, «2,..., ат подчинены условию вида б) для корней урав­ нения (5.13); і= 1 , 2, ..., п; ѵь ѵг, Vn— це­ лые положительные числа или нули, которые определяются по коэффициентам а рядов G*. В последней части работы обсужда­ ется тот же вопрос, но лишь при наличии условия, подобного в) для корней уравнения (5.13). При этом дано доказательство, что X может пробегать кривую, неограниченно приближающуюся

изложение и дальнейшее развитие идей, намеченных в диссер­ тации Пуанкаре, а несколько раньше (гл. V, §1), обобщая ис­ следования Врио и Буке, показал, что исследование голоморф­ ных решений в нулевой точке в общем приводится к той же про­ блеме относительно систем (5.12) при некоторых дополнитель­ ных условиях.

Распространение идей Врио и Буке, уточнение их анализа и обобщение его на случай системы уравнений было выполнено в работах Фине [144.1] и Гурса [163.3]. При исследовании исполь­ зуется уравнение вида (5.13) и известные предположения отно­ сительно его корней. Гурса подробно исследовал также различ­ ные виды того случая (при п = 2), когда один или два корня X

соответственного квадратного уравнения типа (5.13) есть поло­ жительные целые числа, распространив потом полученную тео­ рему на случай любого числа уравнений.

второй его половине само понятие особого решения дифферен­ циального уравнения было несколько расширено в связи с раз­ витием учения о поведении интегралов в области особых точек. Под особым решением понималось такое, которое во всех своих точках не удовлетворяло условию единственности. Для его су­ ществования, очевидно, необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы Коши существования и единственности реше­ ний. Эти решения Пенлеве связывал [228.27, стр. 26 и след.] с так называемыми обычными особенностями правой части урав­ нений (5.1), в отличие от ее существенных особенностей, кото­ рые начали подробно изучать Врио и Буке и их последователи. Обычные особенности обусловливались наличием алгебраиче­ ских особых точек. Подробное исследование этого случая содер­ жится в статье Пенлеве [228.27, 28 и след.].

чае y=g(x) будет огибающей семейства кривых F(x, у, С )=0. О точном разделении особых решений и частных интегралов вопрос прямо был поставлен Коши. Соответственный критерий выражался теоремой [219, 453]: для установления, является ли интеграл y=g(x) особым или частным для уравнения y'=f(x,

малых значения переменной г, между которыми подынтеграль­ ная функция не меняет знак.

132

Другой метод отличия частных и особых интегралов в 1846 г. был указан Бланше (см. об этом в [203, 28—29].

Большое внимание изучению особых решений уделил Буль в трактате по дифференциальным уравнениям (2-е изд. в 1865 г.), где содержались и его новые результаты.

Если из уравнения (5.17) и первого (5.18) исключить у', то

которое, кроме особого решения, может представить геометри­ ческое место точек возврата интегральных кривых и т. д. Впер­ вые этот факт был установлен Курно в 1842 г. (см. об этом в [251, 377]). Он затем был исследован переоткрывшим его деМорганом [133.2] и дополнительно Булем. Некоторую ясность внес в этот вопрос Мансион [212], (1872).

Но вполне определенно для весьма широкого класса функ­ ций этот вопрос был сформулирован Дарбу (51) в 1870 г. [130. 1], имевшего в виду функцию F (для 5.17) однозначной, конеч­ ной и непрерывной по всем своим аргументам. Сообщение Дар­ бу вызвало полемическое возражение Каталана [121] и ответ Дарбу [130.2]. В скором времени Дарбу опубликовал большую статью [130.3], где дал обстоятельное и точное доказательство двумя способами своей теоремы и показал ее связь с более ши­ роким, чем было общепринято, взглядом на геометрическое зна­ чение дифференциальных уравнений, вытекающим из примене­ ния к последним принципа двойственности.

В это же время вышла одна из последних интереснейших статей Рудольфа Клебша [126.1], где теория дифференциальных уравнений первого порядка была приведена в тесную связь с аналитической геометрией. Здесь было введено в геометрию но­ вое понятие коннекса. Теория коннексов включала как частные случаи теорию кривых различных порядков и теорию кривых различных классов. Она тесным образом связана с принципом двойственности, разработанным в трудах главным образом Штейнера, Штаудта, Клебша (геометрическое изложение) и Плюкера (аналитическое). Рассматривая как первичный эле­ мент точку и прямую вместе, заданные в однородных координа­ тах (хі, Ху, хз, Щ, и2у и3), четыре отношения между которыми вполне определяют положение элемента, можно получить сово­ купность последних как систему четырех измерений на плоско­ сти. Коннексом Клебш назвал совокупность всех элементов, ко­ ординаты которых удовлетворяют уравнению

где Ф — целая однородная функция по всем своим аргументам. Если между координатами элемента имеют место уравнения

133

то геометрическая форма, состоящая из совокупности всех элементов, коор­ динаты которых удовлетворяют урав­ нениям (5.21), была названа коинциденцией (совпадающей). В нее входят, очевидно, элементы, общие двум коннексам I и II. Поэтому в коинциденции каждой точке М соответствуют каса­ тельные, общие тем двум кривым К п и Кп\ которые сопряжены с точкой М, первая — в коннексе I, вторая — в II. Коинциденция, соответствующая дан­ ному коннексу Ф = 0 и уравнению тож­ дественного коннекса «і*і + и2*2+ + «з*з=0, называется главной. Каж­

Гастон Дарбу (1842—1917). дой главной коинниденции, а значит,

икаждому коннексу соответствует

некоторая система кривых линий, а последняя может быть опре­ делена дифференциальным уравнением вида

которые по своему характеру являются алгебраическими. Таким образом, задача интегрирования уравнений (5.22), (5.23) может быть рассмотрена как отыскание системы кривых линий, соот­ ветствующих коннексу (5.20) и его главной коинциденции. От уравнения в точечных координатах (5.22) легко перейти к обык­ новенному, заменив систему однородных координат прямоуголь­ ными декартовыми. В результате этих исследований был полу­ чен важный результат о том, что всякому алгебраическому диф­ ференциальному уравнению соответствует коннекс, поэтому ис­ следование таких уравнений можно было привести к исследова­ нию соответствующих коннексов. А отсюда можно найти и усло­ вия, при которых дифференциальные уравнения имеют особые решения. Этот вопрос в русской литературе, вероятно, впервые рассматривался в работе А. Васильева [12.1] в 1878 г. Дальней­ шее развитие идеи Клебша нашли в магистерской диссертации [65.2] Д. М. Синцова и других его работах.

Клебш один из первых обратил внимание на различную по­ становку вопроса об отношении особых решений к дифферен­ циальным уравнениям в зависимости от того, что брать за пер­ вичный элемент исследования — дифференциальное уравнение или его интеграл. Этот вопрос был дальше развит в работах Кели, Дарбу, Казорати. При этом особое внимание уделялось анализу соответственных дискриминантных уравнений (полу­

134

ченных при двух различных исход­ ных элементах), который давал иногда противоречивые результаты о наличии особых решений в данном уравнении, что было выражено в ряде известных парадоксов. Относи­ тельно источников этих парадоксов высказывалось немало остроумных замечаний Дарбу (130.3), Линдеманом [176.2] и др. Решение вопроса они связывали как с исходным эле­ ментом исследования, так и с харак­ тером и особыми соотношениями между константами. И в зависимо­ сти от этого получалась либо огиба­ ющая, либо геометрическое место точек возврата и т. д. В связи с этим Дарбу считал необходимым теорию

особых решений разделить на две обособленных части. В пер­ вой из них, принадлежащей дифференциальному исчисле­ нию, исследуется дифференциальное уравнение, полученное ис­ ключением констант; во второй, принадлежащей интегральному исчислению, не делая никаких предположений о начале (проис­ хождении — В. Д.) дифференциального уравнения, следует при­ держиваться общих гипотез и не предполагать существования интеграла вида F (х, у, С )=0, что и не следует из теоремы суще­ ствования [130.3, 167]. Таким образом, работами Дарбу была подведена геометрическая основа условиям Лагранжа необхо­ димости существования особых решений.

Почти одновременно с Дарбу, выдающиеся результаты в этой области получил и Кэли [123.1]. Его исходные позиции во многом совпадали с теми же у Дарбу. Он подробно изучал гео­ метрическую трактовку дискриминантных уравнений, исходя из интеграла, а затем из самого уравнения. Оказалось, что они мо­ гут представить огибающие, узловые точки и точки возврата и касания систем кривых. Эти же вопросы аналитическим путем исследовал Хилл [175.1].

Подробное исследование уравнения Lp2 + 2Mp + N=Q [р —

=(К, М, N — рациональные коэффициенты по х, у) про­

вел Кэли в [123.2]. Отыскивая ответ на актуальный тогда вопрос, при каких условиях дифференциальное уравнение опре­ деляет вообще говоря семейство кривых, которые не имеют оги­ бающей, автор ошибочно предположил, что уравнение соответ­ ственного общего интеграла обычно имеет трансцендентную природу и соответственная система кривых не может обладать огибающей. Как позже показал Гамбургер [169.4], существова­ ние огибающих или особых решений не связано с трансценденг-

135

ной или алгебраической природой общего интеграла. Причину ошибоч­ ного взгляда Кэли объяснил черездвадцать лет его соотечественник Кристаль [125]. Впрочем и сам Кэ­ ли нашел контрпример своему ут­ верждению.

Ряд интересных новых результа­ тов по данному вопросу и, в частно­

чили новые аналитические доказа­ тельства в работах 80-х годов XIX века: Глетчера, Хилла, Джон­ сона, Пикара, Воркмана. Пределла в 1895 г. привел новое геоме­ трическое доказательство, хотя и не везде безупречное, предло­ женных Кэли и аналитически решенных Каптейном [190.1] во­ просов, дал общий обзор всех разрозненных результатов Казо­ рати и Воркмана и изучил простейшие формы дифференциаль­ ных уравнений первого порядка третьей степени.

Исследование особых решений, исходя из интегрального уравнения, содержащего произвольные константы в степени не выше п-й и с коэффициентами — целыми рациональными функ­ циями по X, у, выполнила Медисон [210]. После общего иссле­ дования семейства п-го порядка ею были подробно рассмотрены специальные квадратичные, кубичные и биквадратичные семей­ ства кривых с привлечением новых средств из теории инвари­ антов.

С начала 90-х годов центр исследований в данной области начинает перемещаться в сторону чисто аналитических исследо­ ваний.

Если Гамбургер оперирует аналитическими функциями еще в действительной области, то уже Форсайт начинает исследова­ ние функциональных соотношений, выраженных дискриминант­ ным уравнением (исходя из дифференциального уравнения),, также для комплексных значений интегралов.

Вместе с тем намечается и новый подход к истокам предмета на основе фундаментальных исследований Врио и Буке и их по­ следователей по теореме существования интегралов и по видам особых точек. Весьма полезными в этом отношении оказались и работы Фукса 1884 г. о поведении интегралов уравнений пер­ вого порядка.

Еще в первом издании своего курса анализа (1868 г.) Серре-

136

отмечал, что в тех точках х, у, где f(x, у) — регулярна, не может быть особых решений уравнения y' = f(x, у). Следовательно, особыми решениями могут быть только такие геометрические места, в окрестности которых у' становится нерегулярной. Эта естественная идея была положена в основу диссертации Карла Шмидта [255], исследовавшего такие многообразия, получен­ ные из алгебраического дифференциального уравнения, которые в общем не являются решениями, их значение и связь с частны­ ми интегралами. Ему удалось более подробно изучить свойства дискриминантных кривых, исследуя их поведение в окрестности отдельных точек, а также рассмотреть переход дискриминантной кривой в особое решение/

Существенным продвижением в теории была работа [163.3] Гурса, опубликованная в 1889 г. в американском математиче­ ском журнале. Обобщив здесь теорему Врио и Буке для урав­ нения (5.7) на случай системы, автор уделил основное внимание распространению результатов Дарбу относительно особых ин­ тегралов обыкновенных дифференциальных уравнений на си­ стемы совместных дифференциальных уравнений и уравнений высших порядков. В ряде точек с этой работой соприкасалась статья американского математика Фине [144.2], опубликован­ ная в том же томе журнала. Фине также исходил из исследова­ ний Врио и Буке и считал, что особые решения появляются в исключительных случаях. Он установил условие представления дискриминантным уравнением огибающей или геометрического места точек возврата, а также изучал вопрос о распространении теории на уравнения высших порядков. Последний вопрос не­ много раньше в 1887 г. рассматривался также в Стокгольме Мёллером главным образом для уравнения второго порядка.

Особые решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одним аргументом и п функциями изучались А. Ма­ йером [213.2], О. Бирманом [99.1] и Диксоном [135]. Диксон

но с п—1, п—2,..., 1, 0 произвольными константами.

Многие из оставшихся невыясненными вопросов данной тео­ рии были весьма четко решены в исследовании Гамбургера [169.4]. Он установил, что дифференциальное уравнение, допу­ скающее особое решение, должно обладать определенным свой­ ством, обусловленным как исключительный случай в свойствах семейства интегральных кривых. Решение этого вопроса (пара­ докса) состоит в том, что когда дифференциальное уравнение представлено в общем виде, то получаемое из него интеграль­ ное уравнение обладает тем особым свойством, что представляе­ мая им система кривых вообще говоря не обладает огибающей. «Итак,— говорит он,— случай правила для дифференциальногоуравнения обусловливает исключение в интегральном уравне­ нии и наоборот: когда интегральное уравнение дано в общих

137

коэффициентах, то выведенное из него дифференциальное урав­ нение представляет исключительный случай обладать особым интегралом» [169.4, 207]. Дело в том, как пояснил Гамбургер, что одно и то же свойство проявляется в одних условиях как всеобщее, в других — как особый случай. Так, заданная в то­ чечных координатах с общими коэффициентами кривая не имеет двойных точек. Напротив, если уравнение кривой задано в ли­ нейных координатах, то коэффициенты его должны удовлетво­ рять некоторому условию, чтобы не существовало двойных точек.

Обратное имеет место, если принять во внимание существо­ вание двойных касательных. Наличиеогибающей зависит по существу только от природы семейства кривых, а не от их пред­ ставления. От формы представления зависит лишь существова­ ние или несуществование огибающей как появление общего случая. В этом исследовании Гамбургер исходил из принципов, лежащих в основе работы Фукса [153.10]. Их существенное зна­ чение состояло в разложении дискриминанта А дифференци­ альных уравнений на их линейные делители и в разложении различных совпадающих ветвей от у' как алгебраических функ­ ций от у, данных дифференциальными уравнениями, в ряды по степеням таких делителей у—тр коэффициенты которых, так же как Tj, зависят ог х. В заключение первой части работы Гамбур­ гер доказывает, что каждое алгебраическое дифференциальное уравнение первого порядка и n-й степени в отношении у' допу­ скает интегральное уравнение в форме F(x, у, С) = 0, где F —

Во второй части он исходит из такого же уравнения F{x, у, С) = 0 и устанавливает условия, когда представимое этим урав­ нением семейство кривых не имеет огибающей. В результате обстоятельного изучения вопроса получались те же условия для существования особых решений, как и при изучении самих диф­ ференциальных уравнений. Отметив, что проведенные исследо­ вания, исходя из интегрального или дифференциального урав­ нения, вели к совпадающим целям, Гамбургер с полным основа­ нием писал, что утверждение так называемой несравнимости обоих путей рассмотрения потеряло всякое право.

Несколько в стороне от общего русла работ была статья Вельтмана [270], давшего в 1876 г. отличное от общепринятых определение особого решения, понимая под ним такую функциюрешение у = ср(х), для которого во всей области существования нет смежных решений. Под смежными он понимал такие, кото­ рые могли получаться из <р(х) при ее бесконечно малом измене­ нии, т. е. она являлась особым решением, если при малейшем ее изменении переставала удовлетворять данному дифференци­ альному уравнению.

138

В конце прошлого и начале нашего века появлялось еще мно­ жество работ по данной проблеме, где главным образом геоме­ трическим путем дополнялись и улучшались полученные ранее основные результаты. Это статьи Зайончковского, Кокля, Голь­ мана, Перри, Петровича, Розенблата и др. Дальнейшее развитие и обобщение метода Гамбургера на уравнения высших поряд­ ков и на системы было выполнено им же в цикле статей конца 90-х годов.

Теория особых решений изучалась в работах русских ученых Деларю, Васильева (52), Лахтина и других, получивших ряд новых оригинальных результатов.

Как видно из изложенного, ряд методов исследования осо­ бых решений, в частности геометрические, оказались полезны и применимы для других частей аналитической теории диф­ ференциальных уравнений, например, там, где рассматривается вопрос о делителях дискриминанта уравнений фуксового типа; с другой стороны, методы, выработанные в смежных отделах этой теории, помогли пролить свет на многие неясные места теории особых решений. Кроме того, понятие особых решений распространялось на комплексную область (Форсайт, Дюлак и др.).

§ 4. Алгебраические интегралы уравнений первого порядка. Геометрическая теория Отона. Дальнейшее развитие идей Врио и Буке

Упоминаемые выше (§3) идеи Клебша нашли широкое при­ менение в теории дифференциальных уравнений. Так, в скором времени Дарбу развил их в ряде работ (опубликованных в 1878 г.) по исследованию алгебраических дифференциальных уравнений первого порядка и первой степени.

Создаваемая таким образом теория частных алгебраических интегралов по своему характеру может быть рассмотрена как одно из направлений аналитической теории дифференциальных уравнений, обогатившее ее рядом интересных методов. Вместе с тем она имела очень тесную связь с рассматриваемой нами об­ щей задачей изучения поведения интегральной кривой в области особой точки. Эта связь в самом общем виде и очень ясно пока­ зана в заметке [37.2] М. Н. Лагутинского (53). Автор отметил здесь, что полное решение задачи проведения интегральных кри­ вых через особую точку требует среди других исследований предварительного изучения частных алгебраических интегралов.

Дарбу (в 1878 г.) исходил из уравнения в однородной форме

L (ydz — zdy) + М (zdx — xdz) + N (xdy — ydx) = 0, (5.24)

где L, M, N — целые однородные функции той же степени т от X, у , г . Известные формы указанного выше типа уравнений мож­ но привести к (5.24) многими способами, но среди них есть од-

139