книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

интеграл которого у(х) имел две неподвижных критических точ­ ки х=0 и х=оо и единственную подвижную критическую точку (алгебраическую, в окрестности которой перемещалось две вет­ ви); но бесконечность ветвей этого интеграла перемешалась друг с другом, когда х вращался около подвижной критической точки, не вращаясь, вместе с тем около фиксированных точек разветвления. Конкретно изучен и ряд других уравнений, что способствовало более углубленному проникновению в сущность

вопроса.

Глубоко были изучены свойства уравнений (6.10), интегралы которых имели не больше п ветвей, особенности интеграла как функции величины уо, наконец, свойства «особых» интегралов и

многие другие.

Работы Пенлеве 90-х годов и более поздние по данному сюжету легли в основу довольно обширного цикла весьма инте­ ресных статей, диссертаций и монографий его последователей и

учеников.

Одним из первых последователей Пенлеве в решении задачи об определении всех дифференциальных уравнений вида

(где Р — полином данной степени по у', у с аналитическими ко­ эффициентами по х), общие интегралы которых принимают только данное число п значений при обходе подвижной крити­ ческой точки (конец 90-х годов), был Коэн. Эта задача, как помним, поставлена и решена Пенлеве в том случае, когда Р был первой степени по у', в уже упоминавшихся работах и в [228.10.—11]. Коэн изучает вопрос в [117.1] для уравнений вто­ рой степени по у' и для степени q по у, рассматривая уравнение

и отметив, что дробно-линейные подстановки дают возможность всегда допустить, что L, М, N — полиномы по у степени соответ­ ственно q—4, q—2, q.

Если общий интеграл уравнения (6.13) имеет конечное число п значений около подвижных критических точек, то он может быть записан в форме

где а, ß, у — полиномы по у степени п с коэффициентами, зави­ симыми от X, когда жанр со соотношения между интегральными

1 Как свидетельствует Мальмквист [211.1, 2—3], это уравнение раньдіе было рассмотрено фон-Кохом.

170

константами (61) равен нулю и степени 2п, когда жанр равен единице. Случай ю>1 здесь не имеет места.

После рассмотрения случая со=0 и случая со=1 Коэн прихо­ дит к основной теореме: если даны целые числа q и п

^ 4 н ) и три целых положительных числа і, /, k удовлетворяют соотношению 2q—4= 2i + j + k и неравенствам j + k ^ 2, 3j + ks^. ^ 2 n, k ^ q —2n, то каждому из этой системы целых і, /, k соот­ ветствует бесконечно много уравнений вида (6.13), интегралы которых содержат точно п значений около критических подвиж­ ных точек. Эти уравнения, которые образуют два различных класса в соответствии с жанром ш соотношений между интег­ ральными константами, зависят алгебраически от і+ 4 произ­ вольных функций и от 2n-\rk—q—3 или k—q произвольных кон­ стант, в соответствии с тем, что со = 0 или со = 1.

Теорема верна и для случаев, когда q—4; тогда k=4 или /г=2, / = 0. В этих частных случаях уравнение (6.13) имеет кри­

тические неподвижные точки.

Через год полученные результаты были изложены более под­ робно в диссертации [117.2]. Здесь Коэн дополнил по данному вопросу результаты Пенлеве относительно уравнений вида (6. 10), указав также явно отдельные виды уравнений данного клас­ са. Это же было сделано в форме приложения и для уравнений второй степени по у' для п = 2 и *7= 4, 5, 6, 7, 8 и некоторые для

п = 3.

Здесь же решено две важные задачи: 1) построения уравне­ ний вида (6.13) с алгебраическими коэффициентами данной сте­ пени q по г/, общий интеграл которых принимал данное число п значений около подвижных критических точек; 2) то же самое для уравнений, общий интеграл которых есть функция трансцен­ дентная, которая принимает лишь конечное (не данное) число таких же значений.

Ряд новых интересных результатов при изучении особых то­ чек аналитических однозначных функций с широким примене­

о том, что однозначная аналитическая функция, обладающая в некоторой, довольно малой области особой точкой Zo, принадле­ жащей к совершенному везде разрывному множеству особых точек, есть заведомо разрывная в этой области (в некоторых точках этой области). Точка z0 тут выступает как трансцендент­ ная существенно особая. Эта и ряд других теорем автора играли существенную роль для более простого решения проблемы Пен­ леве относительно дифференциальных уравнений первого поряд­ ка. Зоретти исходил из ряда теорем и положений, опубликован­ ных Пенлеве через несколько лет, но уже известных кругу его учеников. Таким образом, некоторые, неизвестные еще в печати, результаты Пенлеве были указаны в рассматриваемой работе

171

Зоретти. Он считал естественным сформулировать проблему

в несколько иной форме и изучать случай, где общий интеграл

у(х) есть функция не более п ветвей. В решении этой проблемы Пенлеве существенную роль играла указанная выше теорема. Опираясь на нее, можно было получить важный вывод о том, что если общий интеграл алгебраического дифференциального урав­ нения первого порядка не выше, чем п-значная функция, то он обладает около подвижных критических точек числом гти^.п

ветвей и что общий интеграл есть алгебраическая функция от интегральных констант.

Дальнейший прогресс в решении проблемы Пенлеве был обусловлен работами талантливого скандинавского математика Мальмквиста (63), сумевшего уже в своей диссертации [211.1] глубоко проникнуть в сущность предмета и предложить ряд су­ щественных усовершенствований, в смысле корректности, как в доказательствах, так и в формулировках Пенлеве и других уче­ ных по данному предмету. Эта работа была предпринята по' рекомендации Миттаг-Леффлера. Часть ее результатов совпа­ дает с полученными ранее в упоминаемой диссертации Зоретти и остававшейся неизвестной Мальмквисту в период начала его исследований по данной проблеме. Мальмквист напомнил здесь в связи с доказательством теоремы (Л), которое искал Зоретти

в[282.1], о примере Помпею, построившего в своей диссертации

[238]пример функции, однозначной и непрерывной во всей плоскости и допускавшей совершенное везде разрывное множе­ ство особых точек. Отметим, что в свое время функция Помпею рассматривалась как малоубедительная в связи с тем, что она могла быть тождественным нулем. В 1909 г. к этому вопросу

возвратился Данжуа в заметке [134], представленной Пенлеве в доклады Парижской академии, рассмотрел некоторые аспек­ ты, прошедшие мимо внимания Помпею и, наряду с другими свойствами, показал, что указанная функция не является тож­ дественным нулем. Уточнение примера Помпею, данное Данжуа,

замечанию Мальмквиста с некоторыми оговорками, на случай интегралов, имеющих бесконечно много ветвей. В рассуждениях же Пенлеве существенную роль играло некоторое обобщение известной теоремы Сохоцкого и Пикара об однозначных функ­ циях в окрестности существенно особой точки. Но было мало вероятным обобщение этого метода для случая любого п, а в случае интегралов с бесконечностью ветвей он заведомо не при­ меним.

Всвязи с этим Мальмквист стремился найти лучший подход

ктрактовке рассматриваемых вопросов. Так, при изучении мно­ жества особых интегралов, имеющих конечное число ветвей и

172

являлись алгебраические функции по х. Работа интересна в ме­ тодическом отношении: ряд общих заключений трактовался за-

тем для случая п—2.

Дальнейшему расширению и углублению полученных резуль­ татов Мальмквист посвятил еще несколько работ. Так, теорема Пенлеве о счетности множества особенных интегралов в общем виде новым методом, основанным на применении результатов Бутру о росте интеграла уравнения первого порядка, доказана в большей статье [211.2] (1913 г.). Здесь же получены весьма общие результаты о природе некоторых особых точек. Изучая уравнение вида (6.10) и применяя тот же метод, Мальмквист доказал здесь весьма замечательную теорему о том, что если уравнение (6.10) не является уравнением Риккати, то каждый

каждый конечномногозначный интеграл есть неообходимо алге­ браическая функция. Эта теорема была сообщена немного раньше.

Признак алгебраичности или трансцендентности интеграла для уравнения вида F(y'Xt у, t, х )—0, где F — многочлен по всем аргументам и і — алгебраическая функция для х, был установ­ лен в [211.3]. Полученные результаты применялись к случаю

1 См. об этом также в [235.17, изд. 3, стр. 378—381].

173

уравнения F(y'x, у, х)=0, где F — многочлен по у' и у, коэффи­ циенты которых — степенные ряды по х. Интегралы с подвиж­ ными особыми точками системы уравнений

с применением упомянутого ранее метода преобразования Бендиксона [98.5] изучались в более поздних статьях, в том числе в [211.4, (II)].

§3. Интегралы с особыми точками,

вокрестности которых они обладают бесконечным числом ветвей (исследования Бутру)

Последующее углубленное изучение особенностей дифферен­ циальных уравнений первого порядка было обусловлено даль­ нейшими успехами теории аналитических функций. Были най­ дены новые средства представления функций, в частности транс­ цендентных,— разложение в бесконечные произведения, в ряды полиномов, представление асимптотическими рядами, наконец, разложения, сходящиеся в звезде Миттаг-Леффлера. Благода­ ря новым методам трансцендентные функции могли быть опре­ делены не только в окрестности отдельной точки, но и в более широкой области. В то же время многие ученые обращали вни­ мание на изучение некоторых общих свойств функций, которые в общем не зависели от формы представления данной функции. Одним из таких свойств был характер роста функций, система­ тическое изучение которого начато в замечательных работах Адамара и Бореля в конце прошлого века. Новые идеи давали возможность расширить область исследования интегралов диф­ ференциальных уравнений, распространяя ее на все более слож­ ные виды особенностей.

Аналогичные идеи и методы, подкрепленные теорией мно­ жеств, стали все глубже проникать и в аналитическую теорию дифференциальных уравнений, найдя отражение в работах Пенлеве и его учеников. Среди других важных результатов Пенлеве установил, что для интегралов уравнения вида (6.10) трансцен­ дентные точки будут неподвижны. Из всех уравнений такого ви­ да однозначными интегралами могло обладать лишь уравнение Риккати. Таким образом, все другие виды уравнения (6.10), не являющиеся уравнениями Риккати, будут иметь многозначные интегралы. Часть из них является функциями конечнозначными. Этот тип охватывает те уравнения (6.10), которые можно пре­ образовать в уравнение Риккати рациональной заменой пере­ менных.

При помощи конечного числа алгебраических операций мож­ но узнать, дает ли эффект такая замена переменных. Но другие виды уравнений (6.10) определяют такие многозначные функ­

174

ции, которые могут обладать бесконечным числом ветвей. В этом направлении к началу века вопрос был мало изучен и тракто­ вался в форме локальных исследований, развивавших в основ­ ном идеи Врио и Буке. Систематически он стал изучаться в мно­ гочисленных работах талантливого ученика Пенлеве известного французского математика П. Бутру. Уже в диссертации [109.1] он поставил задачу: более тонко установить имеющую место связь для целых трансцендентных функций между характером их роста и числом нулей в данной области. Не имея возможно­ сти входить в обзор полученных результатов в этой большой работе, отметим, что разработанный здесь общий метод распро­ странялся на мероморфные функции некоторого общего класса, а также применялся для исследования роста величин интегралов тех типов данных Пенлеве дифференциальных уравнений, (вто­ рого порядка, с неподвижными критическими точками), которые интегрировались в мероморфных функциях. Автор также искал (в четвертой части работы) уточнение результатов, полученных Борелем [105.1] и Линделефом [204.5] относительно роста инте­ гралов алгебраического дифференциального уравнения первого порядка (вида (6.10) и др.). При этом им был определен класс таких дифференциальных уравнений, интегралы которых имеют порядок роста весьма аналогичный тому, которым обладали це­ лые функции конечного жанра.

Диссертация Бутру играла роль функционально-теоретиче­ ской основы для дальнейших исследований о природе много­ кратных интегралов. Его работы по этой тематике стали появ­ ляться довольно часто в последующие 15—17 лет. Он изучал в основном уравнение вида (6.10). Уже в одной из первых заме­ ток по этому вопросу в 1904 г. Бутру отмечал, что простейшие

Такое уравнение может быть приведено к более простым фор­

При этом оказывается, что интеграл обладает так называемыми квази-периодами, которые получаются через обход многих кри­

тических точек и которые в общем не обмениваемы. В следую­ щей заметке в том же году предложена классификация транс­

зависимости от степени т2 и т* полиномов А2 и А3 по х и иссле­ довалось поведение интегральных ветвей этого уравнения в окрестности трансцендентной особой точки х — оо в трех кон­ кретных случаях.

В известном смысле некоторый итог предыдущих исследова­

175

ний подведен в «Лекциях» Бутру [109.3] в 1908 г., где изучались

бесконечно многозначные функции с бесконечно многими осо­

быми точками.

Бутру следовал здесь по пути изучения характера роста и поведения одной ветви интеграла, когда х приближается к трансцендентной особой точке. Затем изучается сгущение осо­ бых точек или ветвей интегралов около граничных величин. Главное внимание уделялось подходу к изучению механизма, по которому различные ветви некоторых частных определенных интегралов переходят друг в друга. Имея в виду изучить степень разрешимости вопроса и пригодность различных методов для его решения, Бутру ограничился рассмотрением простейших ви­ дов уравнений (6.10). Книга содержала много нового интерес­ ного материала, включавшего почти современные ее изданию результаты, и название лекций подходило к ней весьма условно, разве что в смысле современного спецкурса. Естественно, что такого вида работа не была свободна от недостатков, в том чис­ ле и от ошибочных утверждений, замеченных позже [15].

Дальнейшее продвижение Бутру в исследовании вопроса связано с рядом заметок и двумя большими статьями (1910 г.).

В работе [109.4] более четко трактуется подход к исследо­ ванию бесконечно значных функций. Здесь же автор возвраща­ ется к уточнению многих вопросов, уже рассмотренных в пре­ дыдущих работах, отмечая прежде всего, что многозначную функцию у(х) можно лучше изучить, если выразить х и у в одно­ значных функциях параметра t, x=f(t), у = ф (t). Тогда вопрос сведется к определению поверхности Римана, обладающей бес­ конечным множеством листов и к выполнению конформного отображения на плоскость t, или к разложению плоскости t на бесконечную последовательность участков, которым функция x=f(t) ставит в соответствие листы поверхности Римана. Одно­ значную функцию x=f(t), удовлетворяющую этим условиям, можно найти и представить, таким образом, посредством одно­ значных функций все множество ветвей некоторой многознач­ ной функции. Но как эти ветви переплетаются, как они пере­ ставляются, надо было еще выяснить. В решении этого вопроса автор намечал свой подход. Переход функции f(t), определенной на поверхности Римана, от п листа к п + 1 соответствует пере­ становке около некоторых критических точек у(х). Итак, в об­ щем, если индекс п листа неограниченно возрастает, то число п

исложность (complication) (запутанность) перестановок пере­ хода равномерно и неограниченно возрастает, тогда способ свя­ зи листов одного с другим не может быть уже определен, и одно

ито же значение t(x) (или у{х)) будет появляться вновь на по­ верхности Римана бесконечное число раз. Это так называемая «искусственная» запутанность. А чтобы найти поверхность Ри-

176

мана, реализующую некоторым образом регулярную и адэкватную униформизацию у{х), надо исследовать механизм переста­ новок этой функции. В связи с этим Бутру устанавливает три условия, которым подчинялись подстановки (или обмен ветвей), в том числе наличие в конечном числе так называемых фунда­ ментальных подстановок [уд г//1)], [Уі, Уі(2)]..., через произве­ дение которых выражались другие такие подстановки [уд уи] и которые устанавливали однозначное и обратное соответствие между yj и уз'О)..., и проводит их подробное изучение.

Полученный результат применялся к исследованию интегра­ лов дифференциальных уравнений. Сначала уточняется понятие ветви интеграла, рассматриваемой изолированно, как составля­ ющая интеграла, представляющаяся листом поверхности Рима­ на. Она характеризуется величиной, принимаемой в данной точ­ ке, и ей, следовательно, может соответствовать величина константы интегрирования. Так появляется упорядоченное мно­ жество ветвей интеграла, или упорядочение величин параметра интеграции, принадлежащих одному решению. В то же время параметры связываются с простейшими подстановками, произ­ веденными над параметром, когда переменная описывает неко­ торый замкнутый контур. Детально рассмотрев различные кру­ говые обходы независимого переменного, Бутру также подробно изучает подстановки (и перестановки), которые происходят в окрестности различных трансцендентных точек уравнения. Ока­ зывается, что характеристические свойства уравнения определя­ ются природой его трансцендентных точек. В частности, фунда­ ментальные подстановки зависят исключительно от этих точек и довольно просто. Ограничившись рассмотрением уравнений с более простыми типами трансцендентных точек, он определял систему фундаментальных подстановок, соответствующих раз­ личным трансцендентным точкам уравнения и удовлетворяющих поставленным условиям. Важным здесь было установление функций подстановок с помощью рядов рациональных функций. Решение вопроса в простейших случаях, например, когда выро­ ждаются одна или многие трансцендентные точки, рассматри­ валось как предпосылка для более общих заключений.

Подробная классификация особых точек уравнения вида (6.10) с детальным обсуждением установленных типов рассмот­

так что исследование последних вело к общей классификации трансцендентных особых точек, представляемых рациональными уравнениями первого порядка. Общая схема охватывает 19 ви­ дов, которые подробно изучены.

Г л а в а VII. ИЗУЧЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ВИДОВ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§ 1. Уравнение Риккати

Как было видно из вышеизложенного, уравнения Риккати играют особую роль в аналитической теории дифференциальных уравнений. По своей структуре эти уравнения принадлежат к следующему по сложности классу за уравнениями линейными. Неудивительно поэтому, что они привлекали внимание исследо­ вателей с начала семнадцатого века и вплоть до наших дней. Многие интересные свойства этих уравнений и их интегралов были установлены еще основоположниками анализа. Ряд прин­ ципиальных результатов получен в прошлом веке. В связи с раз­ витием рассматриваемой теории интерес к этого вида уравнени­ ям не ослабевал, и в последние десятилетия для них был полу­ чен ряд интересных новых соотношений.

Уравнение Риккати в общей форме имеет вид

где а%— некоторые функции от г. Свое наименование, по пред­ ложению Даламбера, оно получило от имени итальянского мате­ матика графа Якопо Риккати (1676—1756). Изучая одно диф­ ференциальное уравнение второго порядка, связанное с пробле­ мой вычисления траектории, Риккати пришел к необходимости интегрировать уравнение вида

оказалась невозможной в общем виде, и хотя Риккати знал не­ которые случаи сводимости этого уравнения к разделению пере­ менных, в 1724 г. он [245] поставил перед современными мате­ матиками задачу об отыскании таких значений т в случае q=xm (при любом п), когда уравнение (7.2) приводится к разделению переменных. Как потом стало известно, значительно раньше о своих поисках Риккати поделился с Николаем Бернулли, пред-