книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

тическими точками. Гамбье (71) с большим вниманием (с 1906 г.) проанализировал все результаты Пенлеве и после тща­ тельной кропотливой ревизии его таблицы нашел некоторые су­ щественные пропуски. Эта работа Гамбье подытожена в диссер­ тации [156]. Существенный пропуск Пенлеве при исследовании

еще ряда важных вариантов. Среди них особый интерес пред­ ставляли случаи новых трансцендентных, порожденных диффе­ ренциальными уравнениями второго порядка. К указанным Пенлеве трем типам канонических уравнений (Е, Еь А) было добавлено еще три новых

Первое из них (С]) отсутствовало в таблице Пенлеве. Вто­ рое (Сг) входило^для случая a = ß= 0, позволявшего подстанов­

кой у= ( * * ! -) привести его к виду (А) »; но при афО, $¥=0 оно неприводимо к типу (А). Уравнение (С3) фигурирует в таблице Пенлеве в случае a = ß= y=0, 6= -L- , когда оно было

интегрируемо, в общем же случае оно неприводимо. Пенлеве показал [228.24], что первые пять типов могут быть рассмотрены как разновидности шестого (С3). Именно об этом уравнении шла речь в упоминаемых работах Р. Фукса, впервые сообщившего о нем в 1905 г. [152.16, 556]. Общий интеграл этого уравнения

ческие трансцендентные точки. Если произвести в этих двух типах преобразова­ ние X = е х , то функция у (X ) будет однозначной трансцендентной.

220

■у(х) допускает критические трансцендентные точки * = 0, х=1,

Х = о о .

Там же Пенлеве показал, что уравнение (С2) есть вырожде­

Пенлеве для доказательства неподвижности критических точек уравнения (Е), мог быть применен и костальным. Из доказанной Пенлеве неприводимости уравнения (Е) в смысле Драша следо­ вало то же для остальных пяти типов, за исключением, быть может, некоторых частных значений констант а, ß, у, б.

Гамбье вместе с тем несколько дополнил метод Пенлеве, осо­ бенно в части исследования достаточности условий, рассматри­ вая вопрос не только о подвижных полюсах, но и о подвижных нулях и единицах. Как существенный результат следует отме­ тить, что полученные для уравнений второго порядка, первой степени и рациональных по у необходимые условия, по указан­ ному Гамбье процессу, были в то же время достаточны, чтобы интеграл имел критические точки неподвижными. Он дает сна­ чала таблицу, содержащую 50 видов уравнений (8.18), имею­ щих общие интегралы с неподвижными критическими точками (при условии А), а также решает и обратную задачу при том же предположении. Приведенные виды уравнений подробно иссле­ дованы.

Но еще совсем мало, особенно с точки зрения теории функ­ ций, были изучены интегралы неприводимых канонических урав­ нений, следующих после первого вида (Е). Необходимость более детального изучения интегралов указанных уравнений отмеча­ лась Пенлеве как одна из первоочередных задач. Ее решением с успехом начал заниматься молодой русский математик В. В. Го­ лубев [16.2], обративший особое внимание на изучение характера особых точек интегралов (полюсов, нулей и т. д.). Он упрощает здесь рассуждения Пенлеве, имевшие место при исследовании интегралов уравнений (Е, Сз), применяет их к изучению уравне­ ний (Сі, С2) и намечает основные пункты доказательства для уравнений (Е, Еь А). Он показывает, что интегралы уравнений (Е, Еі, А, Сі, С2) — мероморфные функции и могут быть пред­ ставлены не только в виде традиционного в то время отношения двух трансцендентных по известной теореме Вейерштрасса, но и весьма просто через логарифмические производные целой функции. Все они есть алгебраические функции от вторых лога­ рифмических производных целых трансцендентных. Представля­ ли интерес указанные автором несколько случаев интегрируе­ мости рассмотренных уравнений через известные функции при подходящем выборе параметров а, ß, у, б (полагавшихся, впро­ чем, чаще равными нулю).

Существенный вклад в изучение интегралов рассмотренных уравнений второго порядка и систем двух уравнений с двумя функциями, начиная с 50-х годов нашего века, внес Н. П. Еру-

221

гин, позже его ученики Н. А. Лукашевич, А. И. Яблонский и дру­ гие ученые, в работах которых получено большое число новых результатов ', исследование которых выходит за пределы нашей задачи.

§ 5. Асимптотический метод изучения дифференциальных уравнений второго порядка. Монография Бутру

Прослеживая схему исследования уравнений второго поряд­ ка, нетрудно заметить, как новые методы помогали проникать все глубже в суть вопроса, причем с тем большим успехом, чем сильнее они отличались от уже общеизвестных и традиционных. После каждой такой вспышки проходил весьма бурный процесс новых открытий и выяснения новых закономерностей, освеще­ ния уже известных фактов с новой точки зрения. Через некото­ рое время частота этих явлений замедлилась, а освещение из­ вестных или недавно открытых положений и закономерностей показывало, что они далеко еще не во всем были уж так хорошо известны и изучены.

Из предыдущего мы видели, как сильно продвинулась теория благодаря новому методу Пенлеве. Потом этим же методом по­ лучен еще ряд новых и интересных результатов. Но вместе с тем не было достаточной четкости и простоты в применении вто­ рой его части — установления достаточных условий. Природа новых трансцендентных, порожденных каноническими неприво­ димыми уравнениями, несмотря на виртуозность приемов в ис­ следованиях самого Пенлеве и его учеников и последователей, не была все-таки еще достаточно выяснена. Она могла стать яснее при некотором другом освещении, с пока неизвестной стороны. Интерес в этом отношении представляли исследования Л. Шле­ зингера, Р. Фукса, Р. Гарнье.

Но особенно важной в этом отношении, нам кажется, была тогда обширная статья монографического характера П. Бутру [109.6], за которую автор получил большой приз Парижской ака­ демии по математическим наукам в 1912 г. Он подошел к изу­ чению вопроса несколько с иной стороны и сущность его идеи можно понять по следующим вводным замечаниям.

«Если исключением, — говорит он, — образовать дифферен­ циальное уравнение, общий интеграл которого может быть од­ нозначным, то остается еще преодолеть большие трудности: не­ обходимо доказать, что интегралы этого уравнения действитель­ но не имеют критических точек. Положение мало утешительное, так как доказательство отсутствия критических особых точек не дает еще наличия отрицательного свойства у функций, опреде­ ленных дифференциальным уравнением. На какие трудности не наталкиваются, если хотят получить положительные свойства1

1 См. об этом кратко в заключении.

222

этих функций, если стремятся узнать их структуру подобноструктуре эллиптических функций». Не зная, видимо, о работе Голубева [16.2], Бутру писал, что к тому времени ничего не было известно о функциональных свойствах многих трансцендентных, открытых Пенлеве. Неожиданное, как казалось Бутру, вторже­ ние этих трансцендентных в некоторые вопросы теории линей­ ных уравнений, без сомнения, было фактом новым и весьма за­ мечательным. Свои исследования по дальнейшему выяснению природы и различных свойств новых функций Бутру рассматри­ вал как установление связи проблемы Пенлеве с проблемой бо­ лее общей. Бутру стремился установить роль и значение транс­ цендентных Пенлеве и их расположение среди множества подоб­ ных им функций.

В результате своих исследований он пришел к общему за­ ключению, что трансцендентные Пенлеве, преобразованные под­ становками y —xmY, Х = х 1, при подходящем выборе показателей \п, I есть функции, в определенном смысле асимптотические по отношению к двоякопериодическим функциям. Иначе говоря (с известной степенью условности — В. Д.), трансцендентные Пенлеве так относятся к эллиптическим функциям, как мероморфные функции Бесселя к функциям круговым. Рассматривая,

интеграл которого может быть охарактеризован как асимптоти­ ческая функция интегралов уравнения

Для асимптотического изучения уравнения (8.22) и при срав­ нении его с (8.23) (как и для других случаев) вводился пара­ метр ц, который менялся от нуля таким образом, что найденные Бутру обобщенные уравнения при ц= 0 переходили в уравнения второго порядка, определяющие эллиптические функции, а для [А=1— в уравнения Пенлеве. Так, для изучения уравнения (8.21) рассматривалось обобщенное уравнение

223

которое варьировалось между (8.23) и (8.22). Многие полученные Бутру ре­ зультаты применялись к (8.24), как и к (8.21), однако интегралы уравнения (8.24) не имели неподвижных крити­ ческих точек.

Асимптотическое изучение уравне­ ний (8.22) и других автор вел в на­ правлении изучения роста интеграль­ ных Еетвей, распределения их полюсов (или точек, где они принимали некото­ рое значение), механизма перестано­ вок (перемещений) обратных функций. Знание роста У (А) позволяло выбрать с должным основанием способ разло­ жения или представления этих функ­ ций, который лучше выражает особен-

Пьер Бутру (1880—1922). ность их различных характеров. Оно дает также возможность изучить, по терминологии Бутру, периодические свойства функций У (А).

Периодом интеграла У (А) он называл разность А!—А0, где А0, Аі — две точки, в которых интеграл У(А) принимает одно и то же значение г).

При рассмотрении так называемых неполных или усеченных интегралов уравнения (8.23) замечено, что они являются вы­ рождениями эллиптических функций ft, один или два периода которых становятся бесконечными. Бутру проследил изменение этих интегралов при переходе от уравнения (8.23) к асимптоти­ ческому (8.22) и получил весьма интересные следствия. Особен­ но подробно изучено уравнение (8.21). В целом же работа, со­ держащая семь частей, проливала новый свет на природу транс­ цендентных Пенлеве. Нетрудно понять значение нового метода и систематического его применения в данном исследовании, а также пользу его для других отраслей математики.

§ 6. Изучение отдельных видов уравнений.

Связь с линейными уравнениями. Дополнения Мальмквиста

Большое внимание в процессе дальнейших работ уделяли исследователи изучению различных видов уравнений Пенлеве. Одним из первых рост интегралов уравнений I—III Пенлеве изучал Бутру в докторской диссертации [109.1]. Чуть позже, в 1914—1915 гг., связь уравнений Пенлеве с теорией линейных уравнений в серии заметок рассмотрел Р. Гарнье (72).

Большую часть [157.3] посвятил он изучению уравнения VI (С3) Пенлеве. Это уравнение обладало двумя замечательными свойствами, которые обеспечивали ему заметное место среди уравнений этого класса. С одной стороны, как уже упоминалось,

224

Пенлеве показал, что другие пять видов уравнений могут быть рассмотрены как вырождение данного. Поэтому любое продви­ жение в теории этого уравнения могло положительно отразиться и на остальных пяти. С другой стороны, уравнение (С3) играло важную роль в теории линейных уравнений. При решении зада­ чи отыскания коэффициентов уравнения

таким образом, чтобы его группа монодромии была данной груп­ пой, т. е. проблемы Римана относительно (еі), необходимо бы­ ло прежде всего выразить, что группа ( е і ) независима от t. Для выполнения этого условия требуется, чтобы X удовлетворя­ ло уравнению вида (Сз) по отношению к t как аргументу

где а, b, c, d имеют то же значение, что и для еь а <х и ß в еі являются полиномами по X' с рациональными коэффициентами

особых точек /=0, /=1, t=oo. Весьма важно было исследо­ вать поведение интеграла в окрестности этих точек. Упомина­ емые ранее результаты Р. Фукса в этом направлении Гарнье на­ ходил неточными и главное внимание уделил здесь более точно­ му и строгому решению проблемы, органичиваясь в основном точкой нуль, так как все они играли эквивалентную роль. В ос­ нову исследования положен метод последовательных приближе­ ний, при помощи которого получены так называемые характе­ ристики (термин Бутру) ветвей интеграла вдоль некоторого прямолинейного направления (73). Их построение для уравне­ ния (VI) и классификация рассмотрены в первой части работы. Доказательству факта их единственности и представлению ин­ теграла посредством подходяще подобранных характеристик по­ священы вторая и третья ее часть; в четвертой части изучаются два замечательных частных случая и анализируется работа

Р. Фукса.

Дополнение работы Бутру по исследованию первого и второ­ го уравнений Пенлеве предложено Аппелем (74) в [94.4]. Вопрос о множестве значений интеграла одного уравнения Пенлеве трактовался Гроссом в [164].

Бутру в рассмотренной выше работе о том, что его методы могут быть применены к изучению подвижных особых точек уравнений более общего вида и тем самым к изучению» проблемы Пенлеве, установив ее связь с более общими теория­ ми. «Глубоко изучив работы Бутру, — писал Мальмквист, — я осознал, что его результаты могут быть получены и, как мне ка­ жется, более простым и естественным путем и при помощи мето­ да, который является не чем иным, как модификацией и разви­ тием первого метода Пенлеве, скомбинированного с изучением некоторых дифференциальных систем частного вида, бывшим объектом хорошо известных исследований Врио и Буке, Пуанка­ ре, Пикара, Горна, Линделефа, Бендиксона, Дюляка» [211.5, 235]. Этим самым развивалось замечание Пенлеве [227.23,11; 80] о применимости его методов не только к изучению случаев, где интегралы однозначны, но также к любому вопросу, касаю­ щемуся аналитических свойств интегралов обыкновенных диф­

где X, Y, Z — функции целые и рациональные по у, г и аналити­ ческие по X . Проведя подходящую замену переменной z=£-{-y, Мальмквист получает систему в преобразованном виде

vm^ = = R 0( y ,& x )+ R 1{y,Z>' , x ) v + . . . ,‘

226

витой им метод может быть приме­

нен к изучению проблемы Бутру.

Не входя в сравнительную оценку различных методов иссле­ дования уравнений Пенлеве, отметим, что изучение их во всех случаях приводило к согласованным результатам.

Работы Пенлеве, его учеников и последователей способст­ вовали дальнейшим многим исследованиям как по общим вопро­ сам, так и по изучению отдельных видов уравнений, и интерес к этой тематике не ослабел вплоть до настоящего времени. Много' интересных уточнений, дополнений и новых подходов к рассмот­ рению проблемы находим в более поздних работах Гарнье, Пет­ ровича, Бюро, Хукугары и многих других, обзор работ которых, может быть предметом отдельного исследования.

15*

Гл а в а IX. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО

ИВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ

§1. Уравнения третьего порядка

снеподвижными критическими точками. Подход Пенлеве

Вскоре после получения основных результатов для уравнений с неподвижными критическими точками второго порядка Пенле­ ве обратился с аналогичной целью к исследованию уравнения

и аналитическая по х. Применяя изложенный им общий метод

иначе говоря, А совпадает с одним из указанных автором 12 вы­ ражений в форме рациональных дробей, содержащих в знаме­ нателе у' в первой степени и функции от у, х;

3) В и С, рассматриваемые как рациональные функции от у', имеют те же полюсы, что и А, они простые, и для у ' —°° выра-

УУ

4)пусть теперь у '= —а — один из полюсов А. Запишем урав­

нение (9.1) в форме

^ | = 2- а ; z ^ = G(y,x)z'2+ H (y,x)z' + К(у,х) + 2(...),

где величина G, согласно предыдущим условиям, равна одной из трех величин: 0, 1, (.1---—). Если Gs=l, то К = 0; если G= 0

или ( і ----—), то //, К —- тождественные нули; более того, если п < 0 ( п Ф —1), то а(у, х) есть просто функция от х.

228

Если принять эти условия, то двенадцать типов уравнения (9.1), соответствующих дюжине выражений А, зависят не более как от девяти неизвестных функций от у, х (алгебраических по у, аналитических по х). «Но,— отмечает Пенлеве,— необходи­ мые условия, которые представляет метод, далеко еще не исчер­ паны». Приведя далее уравнение (9.1) к виду

У " = y~Y~ (а + е) + У У' [Р (У.х) + ej] + у'3[V (У, х) + е2],

где е--»-0 вместе с -^r, и уславливаясь говорить, что уравнение

обходимое условие неподвижности критических точек уравнения (9.1) наличие однозначного интеграла в упрощенном уравнении

Интересно отметить, что уже в начале изучения вопроса об­ наруживалась определенная связь интегралов изучаемого клас­ са уравнений с автоморфными функциями. Это могло повести к интересным заключениям, о которых Пенлеве частично говорил в данном сообщении и более подробно в статье [228.22]. Он вы­ сказал здесь такое положение, что интеграл уравнения (9.2) мо­ жет быть новой однозначной трансцендентной, не мероморфной: она может представлять подвижные существенно особые точки.

смотрению уравнений третьего порядка. Здесь вместо приведен­ ного ранее условия 4) введено другое, ограничивающее степени

ляет особые подвижные линии; 2) если однозначный интеграл уравнения (9.4) представляет совершенные (разрывные) множе­ ства особых точек, то тем более интеграл уравнения (9.1) пред­ ставляет совершенные множества подвижных особых точек (мно­ жества разрывные или непрерывные); 3) если однозначный интеграл уравнения (9.4) не является мероморфным, то тем бо­

229