книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

л о ж и в ем у реш ить у р а в н ен и е

Вскоре после этого между рядом математиков завязалась ожив­ ленная переписка (64), и в научных журналах того времени ста­ ли появляться статьи различных авторов с трактовкой данного вопроса, положившие начало довольно многочисленным иссле­ дованиям уравнения Риккати в различных аспектах.

Непосредственно за статьей Риккати, в том же журнале (Acta Eruditorum), следовала статья Даниила Бернулли, где сообщалось, что сам он, как и его братья Николай I, Николай II и отец Иоганн I, решил задачу Риккати. При этом оказалось, что они пришли к одинаковому результату независимо друг от дру­ га различными путями. Это давало ему повод предполагать, что найденные ими случаи — единственно возможные. Тем не менее свое решение он явно не сообщал (чтобы дать, как он говорил, возможность другим математикам испытать свои силы в реше­ нии этой задачи), записав его в форме криптограммы. Полно­ стью решение Д. Бернулли было опубликовано через 2 года.

Следующая статья (1776 г.) на эту тему принадлежала Хрис­ тиану Гольдбаху [162], изучавшему уравнение Риккати весьма общего вида

и отыскавшему интеграл уравнения вида

ayxmdx + bynxpdx — dy

—р—1

в форме у = сх п~ 1, где с — корень уравнения

решений уравнения (7.3) в конечном виде, когда т — — 2п±1----’

где р — рациональное число, а п — целое, о чем он написал в письме к Гольдбаху в 1721 г. Несколько позже, в 1726 г., он изу­ чал уравнение вида

ахтупdx 4- bxpyqdx — dy

и различные его упрощенные формы. Главный его результат касался указания простой формы случая интегрируемости урав­ нения

axmdx + by2dx — dy

— 4 п

при т = 2ІГ± \ ’ где п — произвольное целое число.

Простой вывод различных случаев интегрируемости наибо­ лее полно впервые был изложен Эйлером в первом томе его

180

трактата об интегральном исчислении. Он записывал уравнение Риккати в сокращенной форме

требующий особого рассмотрения. Здесь же Эйлер указал слу­ чаи интегрируемости в конечном виде, когда исследование пере­ носится с показателя на коэффициент, т. е. с помощью данной им подстановки уравнение Риккати преобразуется в такое, где параметр т входит не в показатель степени, а в коэффициент.

Во втором томе того же сочинения Эйлер изложил метод интегрирования бесконечными рядами линейного дифференци-

■ d^u

ального уравнения-^— \-ахпу—0, непосредственно связанного

с уравнением Риккати. А в 1785 г. он показал, что к интегриро­ ванию уравнений Риккати приводится задача вычисления одно­ го весьма широкого класса непрерывных дробей. Здесь же было установлено, что интеграл уравнения Риккати может быть всег­ да представлен бесконечной непрерывной дробью. Таким обра­ зом, Эйлер занялся впервые, как он сам об этом отметил, инте­ грированием уравнения Риккати и в тех случаях, когда интеграл последнего не брался в конечном виде. Аналогичный метод в менее совершенном виде излагался Эйлером еще в 1739 г. [141.1].

Уравнение общего вида (8.1) также было предметом изуче­ ния Эйлера с 1738 г. В 1762 г. он доказал, что если известен один частный интеграл уравнения (7.1), то оно может быть сведено к линейному и интегрироваться с помощью двух квадратур. Если

известно два частных интеграла, то вопрос сводится к одной квадратуре.

В дальнейшем многие математики продолжали искать усло­ вия интегрируемости этого уравнения в конечном виде, рассмат­ ривая главным образом его частную форму

и чаще вида (7.5).

Второе направление, получившее начало в работах Эйлера, состояло в представлении общего интеграла уравнения Риккати в виде бесконечного ряда или определенного интеграла, содер­ жащего независимое переменное в качестве параметра. Одна из первых работ XIX века в этом направлении принадлежала Лиуаиллю [205.1]. Здесь интеграл уравнения Риккати (7.5) выра­ жался весьма сложным способом в форме m-кратного опреде­ ленного интеграла от суммы некоторого бесконечного ряда. Но уже в следующем году был опубликован весьма интересный ме-

181

ром. Формула Куммера получена в результате суммирова­ ния определенным интегралом бесконечного ряда, выражающе­ го интеграл уравнения Риккати. Более усовершенствованный аналогичный метод применен им с той же целью в работе [198.3]. В это же время прямым методом (не прибегая к рядам) получена формула Лобатто для выражения интеграла уравне­ ния Риккати в форме определенного интеграла.

Важной вехой в исследовании уравнения Риккати были по­ следующие работы Лиувилля. В 1837 г. им опубликован ори­ гинальный мемуар о классификации трансцендентных функций. Затем он изучил вопрос об интегрировании линейных уравне­ ний второго порядка в конечном виде, а в 1841 г. использовал полученные результаты для доказательства в [205.6] интерес­ ного факта о том, что известные до того условия интегрируемо­ сти в конечном виде уравнения Риккати не только достаточны, но и необходимы. Значительно позже, в 1877 г., Дженочи [160] обнаружил промах в цепи рассуждений Лиувилля относительно

= [A+-§-)u>к которому приводится уравнение Риккати. Пред­

ложенное им усовершенствование (см. об этом в [79, 7]) оказа­ лось малоэффективным. Доказательство пропущенного Лиувиллем случая было сведено к уже известным в работе М. Фельд­ блюма [79, гл. II].

Вопросы интегрируемости различных видов уравнений как формы (7,5; 7.6), так и общего вида, были в дальнейшем пред­ метом многих исследований. Ими занимались Кэли, Глечер, Летников, Флоров, Алексеевский, Каталан, Мич, Ажелло, Тилли и др. Из работ последнего времени, рассматривавших вопросы интегрируемости уравнения Риккати, отметим заметки Карапанджича [191], Рао и Укидава [242], а также ряд весьма интерес­ ных статей Д. Митриновича [217.1—2 и др.], посвятившего це­ лую серию работ исследованию интегрируемости обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь были дополнены, уточнены

иобобщены случаи интегрируемости, указанные в справочнике

[188].Как было потом показано, многие предыдущие признаки интегрируемости уравнения Риккати в конечном виде обобща­ лись критерием Митриновича.

Весьма важное принципиальное значение для этих вопросов имела работа [44] В. П. Максимовича о невозможности ин­ тегрирования в конечном виде общего линейного уравнения второго порядка (1885 г.). Это положение распространялось и на общее уравнение Риккати.

Выражение решений уравнения Риккати в форме определен­ ных интегралов, связь с теорией рядов, цепных дробей, прибли­ женные методы интегрирования рассмотрены в работах Шлефли, Гельмлинга, Мича, Паскаля и др.

182

Связь уравнений Риккати и Бесселя изучали Гренхил и Ломмель в 1878—1879 гг., а обзор теории уравнения Риккати выпол­

нил Штуди в 1910 г.

Ряд исследований конца прошлого и начала нашего века имеет комплексный характер. Здесь обзорная часть переплета­ ется с оригинальными результатами авторов по ряду отдельных вопросов.

Из указанного цикла работ для нас представляют интерес те, где исследовались различные функциональные свойства ин­ тегралов названных уравнений и зависимость их от характера коэффициентов уравнения. Одна из первых работ, где вычисля­ лись рациональные интегралы уравнения вида (7.1), где коэф­ фициенты — рациональные функции аргумента, принадлежала Гиллу [174].

Большой цикл работ был связан с исследованием алгебраичности частных решений общего уравнения Риккати. Этот вопрос был рассмотрен в статье Дарбу, написанной в 1881 г. в память Д. Челини, с использованием теории ковариантов. Найденный результат мог быть получен непосредственно из исследований Фукса [153.7] о линейных дифференциальных уравнениях вто­ рого порядка с алгебраическими интегралами. К таким уравне­ ниям приводилось уравнение Риккати давно известным простым преобразованием '. Более подробно природа алгебраических ин­ тегралов уравнения вида (7.1) изучалась в статьях Отона [95. 1.—8]. Аналогичный вопрос интересовал Н. В. Бугаева [10.1, §15], Флорова [81], исследовавших условия и случаи алгебраи­ ческого интегрирования уравнения (7.1), Паскаля [230], уста­ новившего общий класс уравнений Риккати, алгебраические интегралы которых определяются через уравнения третьей и четвертой степени.

Форма алгебраических интегралов уравнений вида

У' + */2 + fi(x, z)y + ft ( X , z) = 0,

где fi, /2 — рациональные функции от х и от любой, неприводи­ мой no X алгебраической функции z, исследовалась в брошюре Кенигсбергера [195.5] через приведение к однородному линей­ ному дифференциальному уравнению второго порядка.

Подробное исследование поведения интегралов уравнения Риккати в окрестности особой точки выполнил Фалькенхаген в

1904 г.

С конца прошлого, начала текущего века получали все боль­ шее распространение работы, изучавшие различные обобщения уравнения Риккати. Эти обобщения распространялись иногда на форму свободного члена, но главным образом в виде замены полинома второй степени по у на полином более высокой степе­ ни на рассмотрение уравнения вида (7.1) с весьма обобщенны-

1 См. об этом, например, в [72, гл. 1, § 6].

183

ми коэффициентами, наконец, на по­ вышение порядка. Еестественно, что такие обобщенные уравнения можно связывать с известным уравнением Риккати лишь условно, хотя между ними и наблюдается известная общ­ ность некоторых свойств. Такого рода исследования проводили Д. М. Синцов,

сколь богата и разнообразна литерату­ ра, касающаяся уравнения Риккати. О нем более или менее подробно упо­ минается почти в любом курсе по диф­

Д. М. Синцов (1867— 1946). ференциальным уравнениям. Простота

иизящество соотношений, возмож­

ность получения все новых, иногда весьма любопытных фактов, сравнительная простота методов исследования привлекали к нему внимание математиков. Кроме большого чисто аналитиче­ ского интереса, представляемого свойствами функций Риккати, они играют весьма важное значение и в прикладной математике. К интегрированию уравнений Риккати приводятся многие зада­ чи анализа, геометрии, механики, физики, химии и других наук.

Уравнения Риккати непосредственно примыкают к линейным в том смысле, что для тех и других можно определить заранее некоторые особые течки. Как мы помним, уравнения Риккати обладают неподвижными критическими алгебраическими точка­ ми. Но в отличие от линейных уравнений (и это весьма сущест­ венно), интегралы уравнения Риккати могут иметь и подвижные особые точки, которыми является полюс первого порядка. Бла­ годаря тому, что уравнение Риккати приводится к линейному однородному уравнению второго порядка вида

для изучения свойств функций Риккати можно применить основ­ ные результаты теории линейных дифференциальных уравнений. Такой путь был использован в работе В. А. Анисимова [2.3].

Вычислив общий интеграл уравнения (7.7) и учтя произве­ денную подстановку, можно получить общий интеграл уравне­ ния (7.1) в форме

если u = CiUi + c2u2, с— - 1. Иначе говоря, функция Риккати явля-

с 2

ется линейной рациональной функцией произвольного постоян-

184

где рі — функции от х, а с — произвольная константа, удовлет­ воряет уравнению Риккати. Это, как и следующее свойство, не­ посредственно вытекало из известного уже Эйлеру факта о при­ водимости уравнения Риккати к линейному второго порядка. В дальнейшем они были подчеркнуты Пикаром в 1877 г.

Из вышеуказанных формул после несложных преобразова­ ний можно показать, что

т. е. сложное (ангармоническое) отношение четырех интегралов уравнения Риккати есть величина постоянная. Зная три какихнибудь частных интеграла уравнения Риккати, общий его инте­ грал можно получить по формуле (7.10) без всякого интегриро­ вания, т. е. рациональными операциями. Именно отсюда следу­ ет, что критическими особыми точками интеграла уравнения Риккати могут быть только критические особые точки трех его частных интегралов, т. е. неподвижные особые точки, а также и то, что если уравнение (7.1) имеет три однозначных интеграла, то и всякий его интеграл — однозначная функция. Аналогично строится вывод и для случая мероморфных интегралов. Эти свойства характерны для уравнений Риккати. Поведение функ­ ций Риккати в области неподвижных особых точек было изуче­ но В. А .Анисимовым [2.3].

Геометрические приложения теории общего уравнения Рик­ кати, связь его с различными задачами анализа и механики и подробное изложение теоретической части приведено в моно­ графии Фельдблюма [79]. Уравнение Риккати и применение его к химии рассматривалось в статье Петровича 1896 г. В даль­ нейшем он возвращался к исследованию этого уравнения.

Исследования по теории уравнения Риккати в различных направлениях продолжаются, представляя все новые интересные результаты и притом весьма часто в классическом стиле. Тако­

решения уравнения и получившего решение уравнения Риккати во всей области его существования и ряд других интересных ре­ зультатов, П. Г. Тодорова [77] и Э. И. Грудо [19], установив­ ших область голоморфности решения уравнения y'= y2+f(x), где f (х) — голоморфная в области |х |< р функция с начальным условием г/(0)=0.

185

§ 2. Уравнение Врио и Буке. Исследование общего случая

Общий метод, развитый Врио и Буке в мемуарах [112.2.—7] для изучения свойств интегралов дифференциальных уравнений, был применен ими в работах [112.4.—5.—8] для исследования дифференциальных уравнений вида

и Буке, принадлежат к общему классу уравнений первого поряд­ ка, в интегралах которых могут отсутствовать критические по­ движные точки, и подчинены приводимой далее теореме Эрмита. Это значительно упрощает схему исследования таких уравнений. Но упомянутые факты не были еще известны в тот период, ког­ да начали свою деятельность Врио и Буке. Поэтому схема их исследования и важные общие заключения, к которым они пришли, не лишены научного интереса.

В уравнении (7.11) род F понимался полином степени т по отношению к производной, не содержащий переменной z. Врио

как аргумент и z как функцию. Тогда каждому значению и со­

и приращение z вдоль этого контура равно нулю. В противном случае дифференциальный коэффициент меняется и принимает

симости от этого принимает т значений: z0, zb Z2, ... zm-i- Многие контуры могут приводить к той же величине Здесь берет­

ся случай, когда к т контурам приводятся т различных вели­

чин ----. Предполагая теперь, что переменная и после описа-

d u

ния некоторых из этих т контуров выходит из и0 к некоторой точке и плоскости вдоль некоторой кривой, то интеграл z примет т различных значений в точке и. Таким образом, каждому зна­ чению и соответствует уже т значений z, отличающихся друг от друга на величины, кратные некоторым так называемым пе­ риодам со, соі,..., г. е. на величины вида Піші + П2Ш2+ ..., где пи щ, ... — целые числа. Из вышеизложенного делается весьма ин­

186

тересное замечание, что интеграл уравнения P(z, и, и')=0, где р — полином, не может быть периодическим.

Далее следует доказательство теоремы о том, что если каж­ дой величине переменной соответствует ограниченное число зна­ чений функции интеграла и, то последний будет алгебраической функцией либо по отношению к аргументу г, либо по отношению

jiz

к периодической функции tg — , либо по отношению к эллип­

тической функции sin am (gz), которую авторы еще обозначают X(z). Здесь прежде всего устанавливалось, что если функцияинтеграл допускает ограниченное число значений для каждой величины г, то она не может иметь более двух периодов. Дока­ зательство следовало методом от противного, когда из допуще­ ния, что z может иметь три различных периода со, соі, сог, получа­ лось, что интеграл должен обладать бесконечным числом зна­

чений для каждой величины г.

Если периоды функции равнялись нулю, то интеграл полу­ чался в форме алгебраического уравнения между и, г. Если

Вслучае двух периодов и. выражалась аналогично через Я(2)- После этого доказывалась теорема о том, что монодромный

интеграл уравнения (7.11) может быть рациональной дробью, функцией периодической или двоякопериодической (эллиптиче­ ской). Доказательство легко следовало из предыдущей теоремы.

Дальше, естественно, следовало решение комплекса вопросов об установлении признака, когда интеграл уравнения (7.11) бу­ дет монодромным, а в последнем случае — к какой из трех вы­ шеуказанных категорий он принадлежит. Исследование монодромных интегралов уравнения (7.11) собственно и составляло главную цель мемуара [112.8]. Такого рода прямому изучению дифференциальных уравнений авторы придавали большое зна­ чение. Они занялись, прежде всего, выяснением фундаменталь­ ных свойств функций-интегралов, перейдя затем к непосредст­ венной интеграции уравнений данного типа и классификации их интегралов и получая весьма общим способом также и уже из­ вестные ранее результаты.

Общий итог этого исследования Врио и Буке сформулирова­ ли в такой теореме: чтобы дифференциальное уравнение первого порядка вида

(£)"+'■<“>(гГ +л<“>(ё-Г +•••+'-<“>- 0 (7-,2)

обладало монодромным интегралом,

1) коэффициенты fі(и), f2(w),..., fm(u) должны быть целыми полиномами по и и первый — не выше второй степени, второй — не выше четвертой степени,... последний — не выше степени 2т\

187

2) если для некоторой величины и уравнение имеет кратный

j_

по возрастающим степеням (и—их) " должен иметь показатель

п—1

—-— , если этот показатель меньше единицы; 4) наконец, дифференциальное уравнение, которое выводит­

ся из (7.12) подстановкой и = — , должно обладать для о= 0

тем же характером. Эти условия Врио и Буке давали как доста­ точные.

Почти через 20 лет в монографии [112.10] они внесли неко­ торые коррективы в формулировку этой важной теоремы, рас­ сматривая ее условия 1—4 как необходимые и достаточные для монодромности интеграла неприводимого алгебраического диф­ ференциального уравнения вида (7.12). При этом условия 1, 4 оставались теми же, во втором требовалась голоморфность не­ нулевого корня уравнения (7.12) по отношению к и, в третьем выяснилось значение п.

Врио и Буке разобрали также вопрос о принадлежности монодромного интеграла к одной из трех названных выше кате­ горий, в зависимости от характера корней как уравнения (7.12), так и корней уравнения, полученного из последнего подстанов­

кой V — - ц - . Такими интегралами могли быть функции двояко­ периодические, рациональные или просто периодические.

§ 3. Теорема Эрмита. Дальнейшие исследования уравнения Врио и Буке

После работ Врио и Буке уравнение (7.11) было предметом исследований многих ученых. Существенное значение здесь име­ ла известная теорема Эрмита относительно жанра этого урав­ нения. Доказательство ее было приведено в литографированном курсе Эрмита (часть II) политехнической школы в 1873 г. 1 Из нее следовало: если интеграл уравнения f(u', и)= 0 есть одно­ значная функция, то жанр его необходимо равен нулю или еди­ нице. Отсюда легко установить, что при данных условиях инте­ грал уравнения есть либо рациональная функция, либо рацио­ нально выражается через показательные или эллиптические функции. Нетрудно теперь заметить, что исследования Врио и Буке уравнения (7.11) и установленные ими условия касались уравнений с неподвижными критическими точками. Отметим,

1 См., например, в [16. 3, 112; 235. 17, 61].

188

что если жанр уравнения (7.11) или (7.12) равен нулю, то при помощи рациональных преобразований оно приводится к уравнению Риккати (и притом с постоянными коэффи­ циентами), интеграл которого есть рациональная функция от z или от еаі, а в случае жанра единица инте­ грал его можно выразить рацио­ нально через эллиптические функ­ ции.

Из теоремы Эрмита можно полу­ чить весьма важное заключение о том, что теоремой сложения облада­ ют только рациональные функции от г или e“z и эллиптические функ­ ции [16.3, 113].

Дальнейшие применения метода Эрмита к отдельному виду уравне­

ния (7.11), с усовершенствованием некоторых вычислений, пред­ ложил Фукс в 1881 г. Более подробно исследование уравнения вида (7.11) для случая, когда интеграл его выражается алгебра­ ическими или просто периодическими функциями, провел Хансен в том же году.

Ученик Фукса, рано погибший молодой талантливый матема­ тик из Данцига Вальтер Рашке, дополняя работы предшествен­ ников и опираясь на идеи Эрмита и Фукса, добился весьма су­ щественных результатов в своей диссертации 1883 г. Исходя из алгебраического уравнения между и и ѵ, которые выражались с помощью параметра х и квадратного корня из целой функции по X не выше четвертой степени, находятся условия, что это

уравнение имеет однозначный интеграл при ѵ = ~^г- Этим са­

мым обобщалась указанная выше работа Фукса. Следуя этому пути, Рашке вывел формы дифференциальных уравнений с од­ нозначными интегралами в соответствии с результатами Врио и Буке. Опираясь затем на известные теоремы теории алгебраи­ ческих функций, он установил, что упомянутые выше формы охватывают все виды тех дифференциальных уравнений, кото­ рые обладают однозначными интегралами. Он подробно иссле­ довал однозначность интегралов также отдельных видов урав­ нений данного класса и среди них, едва ли не впервые, уравне­ ние четвертой степени.

Исходя из исследований Врио и Буке, результатов Фукса, Эрмита, Пикара, Гурса доказал в 1884 г. интересную теорему об однозначности общего интеграла линейного дифференциального уравнения третьего порядка с рациональными коэффициентами и регулярными интегралами. Таким образом, каждому типу,

189