книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

была уточнена верхняя граница второй возможной величины преде­ ла сходимости интегралов. Полученный результат был применен в [204.2] к доказательству теоремы Пуанкаре для системы уравнений, содержащих параметр,

Несколько позже аналогичные вопросы были изучены в ра­ ботах Трефтца (в том числе доказательство для систем уравне­ ний в векторной форме) и Джексона (расширение области схо­ димости решений).

Применение метода для приближенного интегрирования диф­ ференциальных уравнений изучали Северини, Коттон (публика­ ции 1905 и 1908 гг.) и др. В работах последнего получены весь­ ма глубокие и интересные результаты по усовершенствованию оценок степени приближения, определения верхних границ от­ брасываемых остатков рядов, определение достаточных условий того, что приближенное решение отличается от точного на ошиб­

60

ку, заключенную в данных границах, уточнение ряда предыду­ щих результатов, новые методы отыскивания ошибок прибли­ жений, где в известной степени обобщался метод Пикара и др.

Дальнейшее развитие метода последовательных приближе­ ний в теории дифференциальных уравнений связано с именами Линделефа, Боля, Коттона, Ляпунова, Горна, Гарнье и др. Ряд исследований по этому методу соприкасается с тем же для пер­ вого метода Коши (работы Николетти, Розенблата, Бендиксона, Северини и др.). В 1922 г. Банах дал разработку метода после­ довательных приближений на основе новых идей функциональ­ ного анализа.

Одна из первых больших обзорных статей по этому методу и его применениям к интегрированию дифференциальных урав­ нений на русском языке принадлежит Н. В. Бугаеву [10.2] (1896 г.). Новым здесь было рассмотрение способа приближе­ ний по убывающим степеням переменной, а также исследование вопроса о порядке точности и условий сходимости полученных разложений.

§4. Метод последовательных приближений

вкомплексной области

Хотя Пикар и указывал в 1890 г. на возможность применения его метода к уравнениям с голоморфной правой частью, первую разработку по этому вопросу выполнил Д. М. Синцов (28) из

Казани в 1893 г. В статье [65.1] он рассматривает систему урав­ нений

du.

где, по терминологии автора, fi — функции непрерывные, конеч­ ные и однозначные в окрестности элемента (z°, и°, и2° ,..., ит°) и в кругах радиусов а, Ь, где b — наименьший из радиусов обла­ стей переменных ыь и2, ..., ит. Для данной системы функций, по­ ка переменные находятся в указанных границах, сохраняются условия Липшица, которые мы здесь не выписываем. Автор до­ казывает, что при этих предположениях и существуют функции

ии и2, ..., ит переменного г, непрерывные в окрестности z0, удов­ летворяющие дифференциальным уравнениям (2.7), и при z = z0 равные Ui, и2, ..., ит.

Zo

При этом имеется в виду, что путь интегрирований может быть произвольный, но внутри круга радиуса а. Поэтому его можно взять по прямой от г0 до г. Указанным образом находятся ипг Да­

61

Ь1

а' М ’ ”

1

Zq

г

пределе для п->- оо имеем иі = ^ f£(г, «2, . . wm) de, откуда

Zo

du,

следует = Д. (z, и,, «2, ..., ит) и при z = zQимеем ut = «°.

Итак, доказано существование интегралов уравнения (2.7), удовлетворяющих данным начальным условиям для \г—Zo|<ö. Далее отмечается, что «принцип аналитического продолжения по­ зволит нам затем распространить построение величин щ для даль­ нейших областей». В заключение работы Синцов доказывает, что полученная система интегралов — единственная (методом от

62

Гл а в а III. РАЗВИТИЕ МЕТОДА МАЖОРАНТНЫХ ФУНКЦИЙ

ИЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

КУРАВНЕНИЯМ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ

§ 1. Работы Врио и Буке по усовершенствованию метода

Большой вклад в общее развитие теории, в уточнение и раз­ работку метода (по термину Пуанкаре) мажорантных функций, в расширение объектов исследования аналитической теории и ее приложений внесли ученики Коши — французские математики Врио (29) и Буке (30). Они, по словам Фукса, «опробовали их принципы в теории дифференциальных уравнений первого поряд­ ка в работе, опубликованной в 1856 г., которая должна быть рас­ сматриваема как поворотный пункт на пути, по которому следует с тех пор учение о дифференциальных уравнениях» [153.17, 484].

Именно Врио и Буке сформулировали основную задачу анали­ тической теории дифференциальных уравнений, как было отме­ чено во введении. Их главный, указанный выше Фуксом, труд, является первой монографией по данной теории. Он определил, в известной степени, развитие теории на ближайшие десятилетия.

Исследования Врио и Буке по данному вопросу теснейшим образом связаны с предыдущими работами Коши и являются их дальнейшим и самостоятельным развитием. В первой части этого труда, где были изложены основные принципы теории функций комплексного переменного, авторы писали, что они постараются развеять «тучи, которые еще затемняют замечательную теорию Коши» [112.6].

В первых заметках по данным вопросам в 1853 г. Врио и Буке уделили внимание исследованию степенных рядов с комплексны­ мъ! переменными и разложениям функций в такие ряды. Именно

в[107] было введено понятие круга сходимости и указано, что внутри его каждый ряд обладает единственной производной в каждой точке независимо от направления изменения. А в [112.1]

вдополнение к работам Коши были установлены необходимые условия разложимости функции в степенной ряд с радиусом схо­ димости R: 1) она должна быть конечна и непрерывна во всей

области переменного, пока модуль его меньше R; 2) должна быть однозначной внутри круга; 3) иметь единственную производную в каждой точке, какое бы ни было направление дифференциро­ вания.

64

В заметках ближайших двух лет Врио и Буке изложили основные принципы исследования свойств функций, определенных дифферен­ циальными уравнениями, и их при­ менения к двоякопериодическим функциям. Фундаментальная моно­ графия по этому вопросу (в трех частях [112.6.—7.—8]) вышла в

1856 г. Некоторые ее разделы поме­ щались затем в первом (1859) и вто­ ром (1875) изданиях их «Теории эллиптических функций».

Эта работа была предпринята, как отметили авторы, по идее Коши. В первой части ее даются разложе­ ния функций в степенные ряды и основы теории функций комплексно­ го переменного в основном по Ко­ ши, но с существенными дополне­

ниями авторов, рассматривавших принципиальные свойства монодромных и моногенных функций как фундамент новой ветви

математического анализа.

Вторая ее часть содержала исследование свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями. Именно здесь авторы отмечали, что «Случаи, когда можно интегрировать диф­ ференциальное уравнение, в высшей степени редкие и должны рассматриваться как исключения. Но можно рассмотреть диф­ ференциальное уравнение как определяющее функцию и занять­ ся изучением свойств этой функции по данному дифференциаль­ ному уравнению» [112.7, 133].

Таким образом, дифференциальные уравнения — отмечали они в другом месте,— можно рассматривать как неисчерпаемый источник новых трансцендентных. Дальнейшее развитие мате­ матики полностью подтвердило этот тезис.

Третья часть работы посвящалась применению выше разра­ ботанной теории к исследованию и установлению свойств эллип­ тических функций и к изучению некоторых, представляющих интерес, отдельных видов уравнений. Авторы показали здесь совершенно новый подход к исследованию свойств данных функ­ ций, бывших ранее объектом изучения многих известных мате­ матиков. При этом были установлены конкретные виды и харак­ тер уравнений, монодромные интегралы которых будут функ­ циями двоякопериодическими, или рациональными, или просто

периодическими.

Высокую оценку этой работы Врио и Буке дал Коши [122.30], подчеркивая ее важность, полноту и четкость доказательств, не оставляющих желать чего-либо лучшего, получение многих но­

вых и очень интересных результатов, «которые нельзя обойти молчанием». Здесь мы рассмотрим лишь вопрос о доказатель­ стве существования и единственности голоморфных интегралов, перенеся обзор других результатов в соответствующие последу­ ющие главы.

Исходя из работ Коши, Врио и Буке формулируют лемму 1: Пусть f(x) — конечная, непрерывная, монодромная и моно­ генная функция мнимого (комплексного) аргумента х в круге С

с центром xq, с радиусом г и M= max|f(x) [ в С, тогда из

В лемме 2 этот результат обобщается на случай функции трех пе­ ременных f (х, у, z)

Затем (лемма 3) авторы составляют функцию, частные произ­ водные которой, взятые в точке (х0, уо, z0), имеют величины, равные указанным границам модулей производных функции /(X, у, г), рассматривая

Решив эту задачу, авторы переходят к доказательству суще­ ствования интегралов, следуя тем же принципам Коши, но, как говорят они, одним очень простым способом, рассматривая уравнение

при начальных условиях z = z0, и = ио и предполагая f(z, и) ко­ нечной, непрерывной, монодромной и моногенной в окрестности

66

На основе леммы 3 частные производные функции f(z, и) для 2= 0 и ы = 0 по модулю будут меньше, чем соответственные производные функции

М

ф (г, и) =

(-т ф -Н '

Теперь авторы рассматривают дифференциальное уравнение

при начальных условиях 2= 0, ѵ = 0.

Если это уравнение допускает конечный, непрерывный и мо­ нодромный интеграл, то можно получить его производные после­ довательным дифференцированием первого равенства (3.6) в виде системы, аналогичной (3.5). При подстановке туда 2= 0, о = 0 функция ф и ее частные производные будут иметь все зна-

сокого порядка. Отсюда заключается, что если функции и и ѵ существуют, то производные первой при 2=0 имеют модули со­ ответственно меньше, чем производные второй. Но ѵ существует заведомо, ибо уравнение (3.6) может быть легко проинтегриро­ вано и даст интеграл

Здесь определяется неявная функция ѵ, удовлетворяющая дан­ ному начальному условию и «остающаяся конечной, непрерыв­ ной и монодромной для всех 2, меньших или равных по модулю некоторому числу R > 0, которое можно определить». [112.7, 140]. В самом деле, функция будет удовлетворять указанным условиям до той точки, пока два корня уравнения (3.7) не ста­ нут равны между собой. Это имеет место, если производная

1 — — левой части по отношению к ѵ станет равной нулю, т. е.

если ѵ= г. Тогда (после подстановки ѵ= г в (3.7)) соответствен­ ная величина R для 2, действительная и положительная, дается формулой

упорядоченый по возрастающим степеням 2, есть сходящийся

сматриваемый ряд будет тоже сходящимся. Он определит «ко­ нечную, непрерывную, монодромную и моногенную функцию в круге радиуса R». Фактически авторы доказали здесь равномер­ ную сходимость ряда (3.8) и получили верный вывод, хотя и не пользуются еще этим понятием. Далее они показывают, что функция и, определяемая рядом (3.8), удовлетворяет данное уравнение (3.4) так. Если в это уравнение подставить вместо и

68

уравнений с т неизвестными функциями от одного аргумента, заданных в нормальной форме. Со временем их классический прием получил всеобщее признание и был включен во многие учебники (Пикара и др.), иногда и без указания авторства. Для случая т функций получена формула, определяющая радиус R сходимости интеграла вида

При этом авторы отметили, что пределы сходимости, полу­ ченные их методом, более широки, чем те, которые были най­ дены Коши.

Они рассмотрели также вопрос о том, что существует един­ ственный интеграл, монодромпый и моногенный, и не существу­ ет другой функции, удовлетворяющей данному дифференциаль­ ному уравнению при заданных начальных условиях. Итак, пусть и — монодромный и моногенный интеграл уравнения (3.4) и предполагается существование еще второго интеграла в форме

69