книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

становится бесконечной таким образом, что функция — оста­

ется голоморфной в окрестности этой точки, то говорят, что эта точка есть полюс или бесконечность функции и». Функцию, голо­ морфную в некоторой части плоскости, за исключением некото­ рых полюсов, Врио и Буке называли мероморфной в некоторой части плоскости, т. е. подобной рациональным дробям.

В основу классификации функций они положили отношение последних к особым точкам. Врио и Буке писали, что любая монодромная функция после первых трех категорий (рациональ­ ной, периодической, двоякопериодической) составляет новую трансцендентную: «Трансцендентные различаются между собой по распределению их бесконечностей». Как неисчерпаемый источник новых трансцендентных можно рассматривать диффе­ ренциальные уравнения. Авторы отличали точки трансцендент­ ные от алгебраических, но ограничивались лишь отдельными примерами.

Как принципиально новый и важный вклад Врио и Буке в теорию отметим четкую постановку и довольно подробное реше­ ние вопроса о поведении интегралов дифференциальных уравне­ ний в области особых точек, в частности, когда дифференциаль­ ные коэффициенты, т. е. правые части уравнения y'=f(z, у ) у становятся бесконечными или неопределенными, в [112.7] (1856 г.). Этим самым был поставлен вопрос об исследовании особых точек дифференциальных уравнений (которые тогда еще не были классифицированы). Им же принадлежит и первая,, хотя еще и не совершенная, классификация уравнений и их ин­ тегралов по характеру особых точек дифференциальных коэффи­ циентов. Под ними Врио и Буке понимали такие точки z0, для которых не выполнялись условия теоремы Коши о существова­ нии (и единственности) решений дифференциальных уравнений, но для окрестности которых может быть поставлен вопрос о существовании решений y—y(z) при z->-z0. Оказалось, что в об­ ласти такой точки иногда будут голоморфные решения, иногда часть их будет голоморфна, а другие нет. Принципиальные уста­ новки Врио и Буке в этом смысле не менялись, и в начале наше­ го века перешли в учебную литературу. Так, в известном тракта­

предполагал в тех случаях, когда функция f(w, z): 1) не конеч­ на; 2) не определена; 3) не однозначна. В подобных случаях функция-интеграл в самих точках или при стремлении к ним теряла прежде всего свойство однозначности, что и было суще­ ственным признаком наличия особой точки дифференциального уравнения.

Одним из первых названия для особых точек дифференци­ альных уравнений первого порядка предложил Пуанкаре в цик-

110

Таким образом, Н. Е. Жуковский в процессе исследования кинематики жидкости естественным путем открыл особые точки дифференциального уравнения и при более полном анализе их, чем это было сделано черёз несколько лет Пуанкаре чисто тео­ ретически. Правда, Жуковский особые точки назвал здесь нуле­ выми критическими и не определил каждого их типа, отметив лишь, что они бывают гиперболическими или эллиптическими.

«В первом случае две линии тока пересекаются в критиче­ ской точке, во втором — линии токов обхватывают критическую точку, обращаясь в пределе в бесконечно малые эллипсы. Если в нулевой критической точке первого порядка вращение элемен­ та площади равно нулю, то через эту точку проходят две пере­ секающиеся под прямым углом линии тока» [26.1, 182]. Кроме нулевых критических точек первого порядка, могут еще быть нулевые критические точки п-то порядка, когда в данной точке скорости и, V и их производные до n-го порядка обращаются в нули, а производные n-го порядка конечны. Автор исследует и такие точки для случая плоского течения без сжатия и враще­

ния. Критические точки, в которых и, ѵ обращаются в °о или —,

автор называет бесконечными неопределенными. Он изучает также свойства критических точек истечения и вихря (более сложной природы).

Анализ особых точек дифференциальных уравнений в работе Жуковского 1876 г., естественно, не уменьшает значения даль­ нейших работ Пуанкаре, но в истории вопроса он имеет принци­

112

пиальное значение как по своему подходу, так и по существу,

(где Х(х, у) и Y(x, у) — многочлены) в цикле работ (публико­ вавшихся в 181—1886 гг. [237.1.—22]) о кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Подчеркивая необходимость «изучать функции, определяемые дифференциальными урав­ нениями сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям», Пуанкаре отмечал, что «первый шаг на этом пути был уже сделан, когда было изучено поведение функции, определяемой дифференциальным уравнением, в окрестности какой-либо данной точки плоскости. Задача, стоящая теперь пе­ ред нами,— это пойти дальше и изучить поведение этой функции на всем протяжении плоскости» [237.22, 12]. «Полное исследо­ вание функции,— отмечал он далее,— состоит из качественной части (т. е. геометрического изучения кривой, определяемой дан­ ной функцией) и количественной (т. е. вычисления числовых значений функции). Всякое исследование функции должно на­ чинаться с качественной части, а затем уже можно перейти к вычислениям. С другой стороны, к качественному исследованию могут быть сведены различные, очень важные вопросы анализа и механики, как, например, задача трех тел и много других.

Кривые, определяемые уравнением (4.6), Пуанкаре назвал характеристиками. Они могут быть разделены на две полухарак­ теристики. Для обхода трудностей, возникающих при изучении бесконечных ветвей, автор применяет гномоническую проекцию плоскости на сферу, а кривые, расположенные на ней определен­ ным образом, называет циклами и полициклами (имеющими двойные точки).

В зависимости от особенностей расположения кривых (цик­ лов и полициклов) на сфере, система которых уподобляется то­ пографической системе кривых уровня земной поверхности, Пу­ анкаре вводит и специальную терминологию. Двойные точки полициклов соответствуют седловинам, а особые точки, через которые не проходит ни один цикл — вершинам и котловинам земной поверхности. Отсюда получены названия особых точек — седла, вершины (узлы) и котловины (фокусы). Особой точкой более сложного вида является центр, который вообще представ­ ляет аналогию с фокусами, но вокруг которого в некоторых слу­ чаях интеграл представляет замкнутую кривую'. Эти четыре1

1 Подробное исследование названных и других случаев см. в [72, 76—84].

Пуанкаре о числе так называемых исходных направлений инте­ гральных кривых из особой точки.

В это же время методическая разработка и дополнение ана­

Дополнение исследования Врио и Буке уравнения (4.6) с применением развитого Пюизё метода ломаных Ньютона 3 вы­ полнил Фине (45) [144.1] в 1889 г.

Ряд новых интересных результатов получил Дюляк (46) в серии работ по исследованию поведения интегралов уравнения (4.6) в области особой точки. Отметим из них диссертацию [137. 2], где вопрос рассмотрен для комплексной области. Им также подробно исследован случай так называемой дикритической точки [137.5].

§ 5. Классификация особых точек Пенлеве, Голубева и ее дополнения

Объектом изучения аналитической теории дифференциаль­ ных уравнений являются такие уравнения, в которых аргумент г и неизвестная функция w входят достаточно просто. По верно­ му замечанию В. В. Голубева, особый интерес представляют те случаи, когда неизвестная функция и ее производные входят в

1 О таких особых точках см. в [152].

114

не только изолированных особых точек, но распространялась и на точки, образующие особые линии

Рассматривая особые точки — алгебраические, трансцендент­ ные и существенные в роли начальных данных интегралов, Пенлеве отметил, что первый случай трактуется элементарно, вто­ рой ведет к изучению интегралов в окрестности начальных осо­ бых условий, третий — просто априори, выходит за пределы любого метода.

Говоря об особых точках интегралов дифференциальных уравнений, следует иметь ввиду еще одно важное обстоятель­ ство. В процессе интегрирования функция-интеграл получает произвольную постоянную С, входящую таким образом, что по­ ложение особых точек зависит или не зависит от С и в первом случае может меняться с изменением начальных условий. Такие особые точки интегралов называются подвижными. Если поло­ жение особых точек интегралов не зависит от начальных дан­ ных, то они называются неподвижными. На первых этапах раз­ вития теории, в силу ограниченности опыта, когда в основном изучались простейшие уравнения, в частности линейные, кото­ рые не обладали подвижными особыми точками, это обстоятель­ ство проходило мимо внимания исследователей. Однако в про­ цессе дальнейшего развития теории оно скоро было обнаружено. Едва ли не впервые Гамбургер [169.2, 186] (1877 г.) четко заметил, что для интегралов нелинейных дифференциальных уравнений (выше, чем второй степени) существуют подвижные критические точки и что положение особых точек зависит опре­ деленным, заранее неизвестным способом от констант, содер­ жащихся в общем интеграле уравнения и его п—-1 первых произ­ водных. А уже в начале 80-х годов в работе [153.10] Фукс вы­ делил класс дифференциальных уравнений первого порядка, интегралы которых обладают неподвижными критическими точ­ ками. Разработка этой идеи была продолжена затем Пуанкаре и особое развитие получила в трудах Пенлеве, указавшего еще в начале своей научной деятельности класс таких уравнений первого порядка, в интегралах которых отсутствуют подвижные трансцендентные и существенно особые точки.

Именно наличие или отсутствие того или иного вида подвиж­ ных особых точек в интегралах изученных дифференциальных уравнений было затем одним из существенных признаков, поло­ женных в основу классификации этих уравнений.

Во введении к лекциям [228.11] Пенлеве отмечал, что наличие подвижных существенно особых точек в интегралах, которые нельзя предусмотреть по виду уравнений, представляет большие трудности, встречающиеся в аналитической теории дифферен­ циальных систем. Подвижные существенно особые точки могут быть: 1) изолированными, или пределами изолированных точек;

С м . о б эт о м в [16 .3, 41 и с л е д .].

116

2) образующими в некоторой части плоскости множество, ника­ кая точка которого не является изолированной, без чего это множество не составит никакой части линии; 3) образующими подвижные особые линии, как, например, в случае уравнений третьего порядка, интегралы которых являются либо фуксовыми функциями, существующими только в круге, либо клейновыми функциями, допускающими как сечение неаналитическую линию без кривизны.

Так обстоит дело, если рассматривать интегралы как функ­ ции аргумента г. Новый источник трудностей появляется, когда эти функции допускают существенные особенности в области начальных условий и независимо от г, как можно показать на

W

теоремы, известные для аналитических функций многих переменных и их особенностей, не могут оказать здесь большой помощи, ибо они предполагают особенности, удовлетворяющие некоторым упрощенным условиям, которые не выполняются для системы интегралов.

Отсюда легко понять, что результаты изучения уравнений первого порядка за рассматриваемый период по природе своей весьма отличны от соответственных результатов для уравнений высших порядков. В первом случае были получены теоремы бо­ лее точные. Но ряд положений, найденных для уравнений пер­

вого порядка, мог быть обобщен и на уравнения высших по­ рядков.

Весьма важное значение при классификации особых точек имело введение понятия области их неопределенности, когда ха­ рактер особой точки определялся более полно. Происхождение самого понятия связано, видимо, с введенным Фуксом понятием точек неопределенности. Истоки нового понятия можно усмо­ треть уже в диссертации Пенлеве [228.1], когда для характери­ стики особой точки были привлечены понятия от теории мно­ жеств. Однако и в этой работе, и в его стокгольмских лекциях само понятие области неопределенности еще отсутствует (47). Оно было введено Пенлеве в 1900 г. в [228.18], затем попало в лекции Зоретти [282.3, 59—61] (1911 г.), на которые и ссылает­ ся В. В. Голубев в [16.5, 46]. Понятие это вводится так. Около рассматриваемой особой точки однозначной функции z0 прово­ дят окружность С радиуса р. Из точки внутри ее, где функция голоморфна, строят все возможные продолжения функции Lp, не выходя из окружности С. Обозначив через М множество зна­ чений, принимаемых функцией в точках, до которых можно дойти, и через М' его производное множество, получают F=M + + М' — континуум, ибо оно замкнутое и совершенное, так как любая точка М есть предельная. Кроме того, это множество та­ кое, что любые его две точки можно соединить непрерывной ли­

117

нией, все точки которой принадлежат к множеству: назовем его F(p), так как оно зависит от р. Множество D всех точек, принад­ лежащих всем Е(р), Пенлеве назвал областью неопределенно­ сти функции w—f(z) в точке Zq. Можно доказать, что оно есть непрерывное множество или состоит из одной точки. Обособив полюсы, рассматриваем только трансцендентные точки. Если область неопределенности состоит из одной точки, то такая осо­ бая точка называется обыкновенной трансцендентной точкой; точки, для которых область неопределенности составляет неко­ торое непрерывное множество, называются существенно особы­ ми. Если область неопределенности особой точки покрывает всю плоскость, то она называется точкой с полной областью не­ определенности. В противном случае будут точки с неполной об­ ластью неопределенности. Дальнейшее уточнение понятия обла­ сти неопределенности принадлежит В. В. Голубеву [16.5, 47].

С накоплением новых фактов, расширением и углублением теории с начала нынешнего века происходила и дальнейшая эволюция в области классификации особых точек, хотя класси­ ческие основы ее по существу не менялись. Дополнялось, уточня­ лось и углублялось изучение особых точек более сложных кате­ горий. Кроме того, в дальнейшем особые точки дифференциаль­ ных уравнений более детализировались. Так, рассматривая тео­ рию уравнения

вает на пять категорий особых точек его интегралов, которые сводились к алгебраическим критическим (и подвижным) транс­ цендентным (неподвижным). Он дает свой принцип классифи­ кации трансцендентных точек в отличие от данных Пенлеве двух видов (обычных трансцендентных и существенно особых).

Интерес к исследованию особенностей аналитических функ­ ций в начале нашего века весьма возрос. Существенные резуль­ таты в этом направлении были получены Штуди, Каратеодори, Кёбе, Гроссом, Данжуа, Гурвицем, Ф. Неванлинной, Иверсеном и многими другими. В частности, Иверсен в [182], используя терминологию Бутру, провел интересное исследование свойств моногенных функций в окрестности существенно особой точки.

Большой вклад в развитие аналитической теории дифферен­ циальных уравнений и теории функций комплексного переменно­ го в первые десятилетия нашего века внес В. В. Голубев (49). Еще в студенческие годы он исследовал характер особых точек уравнений Пенлеве (1) — (5), значительно упростив метод изу­ чения и дополнив таким образом результаты Пенлеве, получен­ ные для уравнения (6). В скором времени была опубликована магистерская диссертация В. Голубева [16.5], содержащая глу­ бокие исследования автором однозначных аналитических функ­ ций с совершенным множеством особых точек и ставшая, как

118