книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

хотя еще не обеспечивают решения, помогают прибли­ зиться к нему. Эти ассоциации создают состояние психо­ логической готовности к поиску решения задач в разных направлениях, осуществляют преемственность мысли­ тельного процесса. За ними следуют более конкретные ассоциации, которые актуализируются или не актуали­ зируются, в зависимости от результатов, полученных при актуализации наводящих ассоциаций.

Слабостью наводящих ассоциаций у менее способных к математике учащихся объясняется своеобразная прямо­ линейность мышления, когда учащиеся идут как бы не от задачи, а от метода, навязывая его задаче, когда еще не ясно, что из этого получится. Однако в своих ранних исследованиях мы не знали механизма возникновения ориентирующих обобщенных связей и тем более не могли указать управляемого регулярного процесса для их фор­ мирования.

Мы теперь попытаемся на одном примере показать, что роль ориентирующего обобщения могла бы выпол­ нить модель знаний, отраженная логической формой со­ ответствующего алгоритма. Этот вопрос сложен, и мы неоднократно будем возвращаться к нему в дальнейшем. В этом параграфе он, по существу, только ставится.

Оператор как обозначение формализованного в алго­ ритме действия всегда конкретен. Невозможно рассма­ тривать, проверять, проводить вообще. Рассматривают уравнение, проверяют перпендикулярность отрезков, про­ водят биссектрису и т. д.

Напротив, одно и то же логическое условие может связываться с различными операторами, чему соответст­ вуют одинаковой логической структуры переходные со­ стояния объекта между различными умственными дейст­ виями, относящимися к нему. Этот факт как раз и позво­ ляет характеризовать логические условия, независимо от реальной природы отражаемых состояний объекта, преи­ мущественно двумя символами: 0; 1.

Таким образом, логическая форма открывается нам новой стороной — обобщенностью отражаемой модели знания. Что касается действий, то они обобщены, по­ скольку направлены к знаниям как одному из своих ис­ точников. Но в своей обращенности к объекту, в объек­ тивной роли «двигателей» решения задачи они имеют сравнительно частный характер. Этим вопросам посвя­ щен анализ решений нескольких алгебраических задач.

Если в итоге действия, отраженного оператором, можно сказать «да» («имеется», «можно»), то переходят к действию, обозначенному следующим в строке опера­ тором. В противном случае обращаются к оператор}', указанному соответствующей стрелкой.

На основе таблицы операторных последовательностей получена дизъюнктивная нормальная форма: v — pqf \J pq.

После упрощения приходим к логической форме:

Метод применим, если через время (наполнения бас­ сейна) одной (трубой) можно выразить время (наполне­ ния бассейна) второй (трубой) и, кроме того, дано время (наполнения бассейна) обеими (трубами) или это время может быть выражено через х (р = 1 и <7=1 или р= 1 и

г = 0 ) .

Таблица 13

Ттипу задач.

Мы получили логический продукт операционального процесса. Таким же образом формализуется «поиск» в задачах 2 и 3, с заменой слов «наполнение бассейна» и «труба» словами «прохождение пути» и «мотоциклист» для задачи 2 и «выполнение работы» и «каменщик» в за­ даче 3. Однако эти слова относятся к операторам дейст­ вий, но не к логическим условиям. В логической форме различия между задачами уже нет. Теперь логические связи обрели относительную самостоятельность, опера­ торы стали абстрактными символами, обезличились. Ес­ ли вместо них «подставить» содержательное действие (например, наполнение бассейна трубами), то вычленится конкретная задача.

Создаются объективные предпосылки для восприятия всех трех задач как одной. Процесс обучения показыва­ ет, что учащиеся действительно приходят к такому обоб­ щению, при котором за конкретным содержанием, преж­ де всего, видится тип [52].

Логическая форма, освобожденная от непосредствен­ ных действий, таким образом, может служить схемой обобщенного математического мышления. Она как бы является инвариантом относительно конкретного содер­ жания задачи. В этом смысле, вероятно, можно говорить о законе сохранения логической формы в алгоритмиче­ ских структурах.

Описанный алгоритм относится к распознаванию при­ менимости метода решения, а не к самому решению за­ дачи. В результате актуализации алгоритма распознава­ ния может оказаться, что предполагаемый метод нецеле­ сообразен или вовсе не применим. Так, например, если в задаче 2 не будет дано время до встречи и его нельзя найти или выразить, то метод решения непригоден. Но сам этот факт открывается вследствие предварительного «срабатывания» алгоритма распознавания, содержащего

Таким образом, логическая форма знаний служит для обобщенного анализа ситуации, для определения сте­ пени ее согласованности с предполагаемым методом-

s. Мы хотим обратить внимание на аналогию между оператор­ но-логическими описаниями мышления и обучения и некоторыми понятиями математической лингвистики. Это тем более уместно, что формальные грамматики моделируют реальные языки, а мы пытаемся построить алгоритмические модели психологических форм мышле­ ния, находящего, как известно, выражение в речи.

языковых объектов данной грамматики — назовем эти объекты грам­ матически правильными. Формальная грамматика называется распо­ знающей, если для любого объекта грамматики она решает вопрос, правилен он или нет, и при положительном ответе — дает указания о строении объекта. В первом случае имеется в виду общий метод вывода (образования) любого правильного объекта, во втором — распознавание для произвольного объекта возможности или невоз­ можности его вывода в данной г ратяматике. Речь, таким образом, идет о двух противоположно направленных процессах *>. Если объ­ ектами взять понятия в терминах развиваемой здесь алгоритмиче­ ской схемы мышления и обучения, то операторные формы выпол­

операторные формы соотносятся как порождающая и распознающая грамматики в математической лингвистике и теории автоматов. Ана­ логия усиливается тем, что обе модели (языка и мышления) вы­ ражают свои объекты на различных уровнях «свернутости» — от минимальных структурных элементов (морф; неделимых операторов, логических условий) до слов, предложений, когда «морфологизм» в реальной речи уже не сознается, и соответстзенно-обобщенных ло­ гических «блоков», которые психологически воспринимаются нерас-

члененно.

Возможно, это соответствие глубже, чем кажется с первого взгляда, и отражает математически внутреннее единство процессов формирования реального мышления и реального языка. Далее, в ма­ тематической лингвистике доказывается, что наиболее важные поро­ ждающие грамматики служат также распознаванию. Что касается

низм «развертывания»). Это, по-видимому, необходимо, когда тре­ буется полное сознавание процесса решения задачи. С другой сто­ роны, мы видели, распознающие структуры свертываются в порож­ дающие в соответствии с формулой: от алгоритмов — к суждениям. Вероятно, эту адаптивную структуру человеческого мышления надо учитывать при построении формальных грамматик, если мы

*) Классическими структурами порождающего типа являются ассоциативные системы (полугруппы) и группы, заданные конечными наборами определяющих соотношений типа А,—В,, которые служат для преобразований исходных слов. В них обратная задача — о су­ ществовании для произвольно взятого слова дедуктивной цепочки подстановок (замен подслов Л; на B t или наоборот), ведущей от исходного слова к данному, — представляет большие трудности. В ряде случаев вообще не существует алгоритма для решения этой задачи (алгоритмическая неразрешимость проблемы слов (115]).

правильных объектов: с помощью правил, либо с помощью словаря (если объект имеется в словаре, он правильный, в противном слу­ чае — неправильный) *>.

Такой подход нам представляется плодотворным с точки зрения модели мышления и обучения. Можно, по-видимому, утверждать, что операторная форма понятия относится к его логической форме, как задание объектов с помощью правил к их заданию словарем. Тогда процесс свертывания операторной структуры интерпретируется как формирование «словаря». Объем и содержание «словаря», возможно, определяют эффективность соответствующих сформированных обоб­ щенных понятий.

4. Нас теперь будет интересовать механизм обобщения в связи с алгоритмизацией понятий. Будем говорить о готовности понятий, описываемых алгоритмами, к включению в единый «пучок» на базе сходства операторных структур. С этой целью возьмем два упорядо­ ченных множества операторов алгоритмов а и ß

Попытаемся до введения количественных оценок перечислить некоторые условия, необходимые для возникновения обобщений. Прежде всего, обобщение предполагает «близость» в каком-то смысле алгоритмов соответствующих понятий. Мерой близости могла бы слу­ жить степень совпадения операторов. Так, при Аі = Вх, A2= ß 2 ве­ роятность обобщения а и ß в процессе применения алгоритмов, точ­ нее, их готовность к обобщению, почвидимому, выше, чем, например, когда Ах = Вх, А2 Ф В 2 .

Далее, наиболее важным стимулом к обобщению является ра­ венство первых операторов. Проверка последующих операторов как бы служит уточнению, доводке. По мере продвижения «направо» их вклад в процесс обобщения уменьшается. Возникает своеобразная инерция движения, и, как свидетельствует эксперимент, при доста­ точно глубоком совпадении обобщение возникает независимо от того, равны или нет другие операторы.

Рассмотрим, наконец, предельные случаи. Совпадение всех пар операторов, т. е. равенство структур, естественно, должно отразиться «нулевым расстоянием» между алгоритмами. Напротив, отсутствие равных операторов свидетельствует о максимальном «расстоянии». Исходя из этих соображений, условимся за расстояние между двумя алгоритмами р(а, ß) принять число 1Д, где Я— номер первой в по­ следовательности пары несовпадающих операторов (считая слева на­ право) .

*> А. В. Гладкий, И. А. Мельчук. Элементы математической лингвистики. «Наука», М., 1969, стр. 152.

странства являются всевозможные упорядоченные операторные струк­ туры, и для них введена метрика — расстояние р, удовлетворяющее перечисленным выше естественным требованиям обобщения.

ственно число равных операторов в (5.4) и (5.5). р, по определению,

С увеличением числа совпадающих операторов убывание метри­ ки происходит все медленнее, что согласуется с ведущей ролью первых операторов в обобщении. Таким образом, р в первом прибли­

р (метрика), что для любых точек х, у, z выполняются следующие

точке (z), то они, в силу указанного неравенства, не могут быть «слишком» удалены друг от друга, точнее, расстояние между ними не больше суммы их расстояний до 3-й точки.

*> Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и функций. М , Гостехиздат, 1948.