книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

группы с задачей справилось, тогда как в первой группе ни один человек ее не решил. Аналогична картина в экс­ перименте с задачей 9. В контрольном классе получился такой же результат.

Таким образом, наибольшие затруднения у учащих­ ся, как и следовало ожидать, вызывают задачи, решение которых опирается на координаты второго типа. Однако и в задачах с координатами первого типа учащиеся, как мы видели, сталкиваются с трудностями. Чтобы понять причину, посмотрим, как решали задачу 15 некоторые учащиеся второй группы. В начале эксперимента испы­ туемые получили указание: «Рассмотрите остатки от деления сумм

Pi ; Рі +'Р г ; •••Р 1І+Р 2 .-+ —+ p ^ tIa п -

Учтите, что разность между последующей и любой пре­ дыдущей суммой является суммой искомого типа». Кро­ ме того, мы предварительно убедились, что испытуемым известна особенность г). Устранив, таким образом, другие факторы, мы получили возможность исследовать психологический механизм проявления особенности в) первого типа.

В соответствии с указаниями можно сформулировать алгоритм решения в терминах операторов и логических условий (табл. 26). Как видно из таблицы, после выпол­ нения указания 6 возвращаются к указанию 3 и повто­ ряют прежний цикл операций. Ясно, что цикл повторя­ ется не более (п—1) раз, и в процессе его повторения

с, е), которым соответствует 8 упорядоченных наборов нулей и единиц. Каждому набору удовлетворяет неко­ торая реализация алгоритма — последовательность опе­ раторов. Из графа видно, что пока с= е= 1, цикл CDEF

повторяется. При нарушении этого условия цикл раз­ рывается операторами Н или G.

Используя совершенную нормальную форму [78], по­

или дает при делении на я такой же остаток, как неко­

довательно перебрала 4 суммы с раз­ ными остатками от деления на п, но так и не «добра­

лась» до необходимости повторения остатка, т. е. до осо­ бенности 3. По нашему предложению К. проделала все рассуждения сначала — результат тот же. Наконец, ис­ пытуемая пытается разобрать частный случай: п = 3. Составлены все возможные суммы

PÎ ; P! + ^ ; PÎ + A£ + / £.

После трехкратного рассуждения (неожиданно) обнару­ живается повторение остатка. Вскоре этот факт открыл­ ся в общем виде — задача была решена.

Для сравнения приводим протокол решения способ­ ного к математике Д. Д. (После рассмотрения рі2+рг2): «... Так конца не будет. Всех сумм п. А разных остат­ ков? (Пауза) п—1. Все ясно». Далее в развернутой форме реализуется алгоритм (3.1). Чем объяснить, что один и тот же алгоритм актуализируется у разных уча­

щихся по разному? Нам думается, суть в том, что К. только «рассматривает», «делит», «сравнивает» и т. д. При этом не имеется в виду определенная цель. Алго­ ритм как бы навязывается задаче. Оставаясь на уровне отдельных действий, учащаяся видит алгоритм «изнут­ ри». Однако сознавание результативности алгоритма (завершимости процесса рассуждений) не заложено в самом процессе. В итоге испытуемая проходит мимо особенности 3. Открыть эту особенность удается, только уловив логическую структуру процесса. Но для этого необходимо на время «оторваться» от операциональной последовательности конкретных действий, подняться над алгоритмом (3.1), увидеть все циклы одновременно, в совокупности.

Вот как это происходит у Д., в терминах математи­ ческой модели. Решение сначала «нащупывается» в со­ кращенной логической форме (3.2). Задача прослежи­ вается не до конца, но на такую глубину, когда уже можно оценить целесообразность подхода. Это первая прикидка. Алгоритм (3.1) в операторной форме втори­ чен и срабатывает или нет, в зависимости от результа­ тов действия предварительной, пробной логической мо­ дели (3.2). Так решается вопрос о сознавании системы, то как нерасчлененный элемент, то как подсистему, ко­ торый Я. А. Пономарев считает центральным при пере­ ходе от логической модели мышления к психологической (гл. I, § 1). Этим также создается та «самонастраиваю­ щаяся организация», то состояние «готовности», когда решения будущих задач, как отмечает Л. Н. Ланда, уже как бы предварены в сложившихся системах знаний.

С другой стороны, вычленение логических координат, по-видимому, относится к тем отмеченным американским математиком Р. Веллманом «правильным» лишь в общих чертах, не «строгим» методам работы, к которым при­ бегает мозг в процессе мышления.

По своей способности увести в сторону эти методы

близки к эвристическим.

Вернемся к анализу. Алгоритм (3.1), возможно, дей­ ствительно является формализованной моделью реаль­ ного психологического процесса решения задачи. Однако

синдивидуально-психологическими различиями учащихся приходит

Л.Н. Ланда [56].

психологическими особенностями испытуемых. Озна­ чает ли это, что учащиеся с более ограниченными мате­ матическими способностями вовсе не приходят к логи­ ческой форме? Нет, не означает. В противном случае, они ни при каких обстоятельствах нс решили бы задачу. Однако у этих учащихся логика не опережает, не управ­ ляет, а только следует из действий. В итоге они не мо­ гут заглянуть вперед, сократить действия, предвидеть вероятный результат, а решение полностью сознается только тогда, когда оно уже получено. Операторный и логический компоненты, т. е. психологическая и логиче­ ская модели, в мышлении этих учащихся расчленены. Мы пришли к феномену «разрывного» мышления. Итак, непрерывность, связность мышления, опора на ведущие логические координаты одних учащихся позволяют им как бы одномоментно «схватить» решение. Разрывность мышления других — препятствует Einfall.

Рассмотрим решение задачи 7. Оно содержит 2 ло­ гические координаты первого типа.

а) Пятиугольное плоское сечение параллелепипеда имеет параллельные стороны.

б) В правильном пятиугольнике нет параллельных сторон.

Каждая координата, вообще говоря, является само­ стоятельной задачей, независимой логической формой.

по ходу решения других задач такие факты не встреча­ лись или, во всяком случае, они на них не обратили вни­ мание.

Тем не менее, из 26 испытуемых 8 человек (в течение урока) решили задачу 7.

Некоторый свет на вопрос проливает дальнейший ход эксперимента. 18 испытуемым, не,, решившим зада­ чу, мы сообщили обе логические координаты в такой формулировке, как они даны выше. В итоге— 15 из них справились е заданием: решили подзадачи а) и б) и сде-

пали вывод о невозможности построения. Более того, в контрольной группе мы сообщили испытуемым только одну координату — и получили такие лее результаты. Таким образом, дело, по-видимому, не в умении решать опорные задачи, а в умении их поставить.

Проанализируем решение Ш., справившегося с зада­ чей без указаний экспериментатора. Ш. с места построил сечение. Рис. 30.

Ш. (Мышление вслух) : «... AB вроде параллельно ED? ... Конечно, параллельные плоскости пересечены третьей... Тогда и CD\\AE. Какой-

гто странный пятиугольник... (Стро­

конца»). Дело в том, что у Д. вслед за первой коорди­ натой и в связи с ней, вероятно, возникла вторая коор­ дината, относящаяся к первой, как цепь к средству, тогда как у П. координаты актуализируются независимо. Главное, оказывается, не просто координаты, а их не­ прерывное единство, связность логической структуры. У П. здесь, надо думать, проявилась характерная для него разрывность мышления.

Таким образом, в математическом мышлении важ­ ную роль играют 2 противоположных процесса: сокра­ щение форм знаний и вычленение логико-ассоциативных координат — на одном полюсе и синтез координат, обра­ зование новых структур — на другом.

Продолжим анализ. Ведущим ів Einfall у III. является геометрическое «видение». Интуитивное чутье вызывает логические координаты, и в мышлении они вторичны. Это, по-видимому, математический «стиль» учащегося. Так, решение задачи 2 он сразу «увидел» на чертеже и только потом обосновал. Решение задачи 10 также сна­ чала «построил».

В задаче 6 учащихся, гляДя Иà чертеж, почти нё думая, обнаружил равновеликость прямоугольника полукругу. Его единственное замечание: «Такие зада­ чи встречались — когда одну фигуру заменяют дру­ гой, без вычислений, и все получается хорошо». Фраза проливает свет на источник решения — это логическая координата, одноактное проявление ранее усвоенного метода в его наиболее общей форме. Этот метод, вообще говоря, — не алгоритм, а скорее эвристический прием, ограничивающий поиск решения. Он не гарантирует оптимального решения и даже просто реше­ ния— его применение лишь должно быть интуитивно оправдано.

С другой стороны, между методами эв­ ристического поиска и алгоритмами нет жесткой грани {158]*). Началом, призвав­ шим, включившим координату в данной си­ туации, были геометрические представле­

ния. (Многие авторы отмечают, что у творчески мысля­ щих ученых наиболее ценные идеи возникают при рас­ смотрении некоторой модели задачи [48].) Испытуемый Д. также решил задачу 7. В его решении нам не уда­ лось обнаружить заметных геометрических опор. Приво­ дим фрагменты его «мышления вслух».

Д.: «... В пятиугольнике — 2 пары параллельных сто­ рон: из 5 граней 2 пары обязательно параллельны ...

В правильном пятиугольнике углы по ... (быстро вычис­ ляет) по 108° ... Если 2 его стороны параллельны, то углы по 90°... Невозможно».

Задача решалась без чертежей. Больше того, Д. даже затруднился сразу построить пятиугольное сечение па­ раллелепипеда, когда, уже после решения, перед ним была поставлена такая задача. Не лишен интереса от­ вет испытуемого на вопрос «как он думал?». «Я поду­ мал, что надо ухватиться за параллельные стороны многоугольника — больше не за что ... Сначала все шло гладко, и вдруг мысль как бы метнулась в сторону,

в основу так называемых эвристических программ, если последние действительно рассматривать как теорию поведения человека при решении задач [157].