книги из ГПНТБ / Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления

с критериями оценки ситуации. Можно, по-видимому, утверждать, что без критериев для суждения об эффек­ тивности предпринятых действий задачу (за исключени­ ем тривиальных случаев) решить нельзя.

Критерии, конечно, в разных задачах различны. Больше того, они, в общем, различны для одной и той же задачи у разных людей, имеют субъективный, лично­ стный характер, зависят от способностей человека и его знаний. Это особенно ясно, когда речь идет о логических координатах 2-го типа (§ 3, гл. III). Поэтому говорить о полной формализации действия, описываемого опера­ тором Р, не приходится. И все же здесь также можно выделить общие элементы.

Прежде всего, задание, основное или производное, оценивается в сокращенной форме, т. е. оценке подлежит не вся логическая форма, а лишь наиболее важные её координаты. Например, в уравнении sin4x + sin4(x + n/4) = = 1/4, четвертые степени (—)*\ аргументы при синусах разные (—); сложный аргумент (х + я/4) (—); п/4( + ). Ясно, что выбор координат, хотя и не произволен, в из­ вестной мере субъективен. Однако наиболее общим кри­ терием руководствуются все. Речь идет о требовании простоты выражения.

Действительно, решить уравнение — значит выразить X числом, привести уравнение к некоторому простейше­ му, стандартному виду. Далее, результат действия также оценивается в сокращенной форме. Преимущество «свер­ нутого» выполнения действий, как мы это здесь понима­ ем, состоит, наряду с прочим, в том, что результат сразу получается в сокращенной форме. В этом смысле «свер­ нутые» действия экономны не только для предваритель­ ной разведки пригодности выбранной стратегии или пла­ на решения. Развернутые формы пришлось бы специаль­ но сокращать, вычислять логические координаты.

Рассмотрим для пояснения вторую стратегию в реше­ нии нашего уравнения (стр. 207) 1/4—sin4x {D}. Разло­ жим разность квадратов; Ѵг— sin2x как-то преобразует­ ся, но с V2+ sin2x делать нечего {F}. Тут суть не только в том, что действия -произведены не до конца, не последо-

вательно — у учащегося нет полного представления о по­ лучающемся результате. Но это и хорошо, у него зато есть более ценное — логические координаты: одна четвертая степень исчезает ( + ); сохраняются аргумент (х + л/4)

(~) , а также другие недостатки. Кроме того, выражение становится более громоздким, и не видно дальнейших упрощений. Отличие (рассогласование) полученного вида уравнения от того, что требуется (найти х), не меньше рассогласования между исходным видом и тре­ буемым. Отсюда заключение — предпринятое действие отрицательно, от него следует отказаться. «Разность» между исходным видом уравнения и видом, полученным в результате сокращенного действия, создаёт перепад уровней, градиент, являющийся предпосылкой продви­ жения решения.

Теперь перейдём к формальному описанию состава Р.

мОценка сокращенной исходной формы

NОценка сокращенного результата „свернуто­ го“ выполнения действия.

кОпределение рассогласования между N и М в логических координатах.

*(не удается).

ТПринятие решения о переходе к оператору Е.

QРешение о переходе к D.

RРешение о переходе к G. =2(2—является подструктурой 5(,.

структур. Можно согласиться с мнением Л. Б. Ительсона о том, что общим принципом переработки информа­ ции как при формировании понятий, так и при их приме­ нении является иерархическое перекодирование, в про­ цессе которого образуются высшие символы, обозначаю­ щие целую систему операций или свойств *\

Во второй главе мы показали, как происходит этот процесс при формировании понятий. В третьей и осо­ бенно в четвертой главах —пытаемся показать, как при

*> Этому вопросу посвящено также приложение 3.

решении математических задач «свернутые» понятия выступают как модели 'классов объектов, к которым от­ носятся задачи, и, соответственно, как модели способов их решения. Можно 'Предположить, что приведенные фор­ мальные структуры имеют более широкий характер и выходят за рамки ограниченного эксперимента, описан­ ного выше.

2. Модель вторая

Ниже предпринята попытка построения с позиций операторно-логических форм модели для задач несколь­ ко иного типа — на доказательство математических тож­ деств. Для этих задач характерно, что одна часть равен­ ства (допустим, левая) после ряда преобразований при­ водится к другой части (правой). В отличие от родст­ венных примеров на упрощение выражений, здесь перед глазами учащихся готовый ответ, с которым можно срав­ нивать текущие преобразования, и это, с психологической точки зрения, создает особую ситуацию.

Приводим протокольную запись «мышления вслух» учащегося 10 кл. при доказательстве тригонометрическо­

го тождества: ctg-|— 2ctga=tg-^-.«... Аргументы в обеих

частях не одинаковы и функции тоже... В левой части

разность {AB}. Приведем левую часть к -^-{С}. ctga

надо рассмотреть как функцию двойного аргумента {/’}. Так мы не упростим {Я}. (Выпало обоснование: не знаю формулы котангенса двойного аргумента {BN}— С. Ш.) Заменим слева ctg через tg{£>} и воспользуемся танген­ сом двойного аргумента {А}. Функции и аргументы будут как в правой части {Я}, это то, что нужно {BN}. Проде­ лаем:

a

Тождество доказано {HBNT}.»

Опишем механизм явления с помощью операторов и логических условий (табл. 27),

se